Samstag, 12. August 2017

Heureka!

Die wichtigste Zutat zur Durchsetzung von Reformen - ein Lateiner würde hier von einer conditio sine qua non sprechen - ist die Verächtlichmachung der Art und Weise, wie man zuvor unterrichtet hat. Das ist auch in den USA so, wo der bis vor kurzem dümmste Präsident aller Zeiten mit seinem "No child left behind" und sein Nachfolger, der für die Tatsache, dass er weniger dumm war, gleich den Friedensnobelpreis bekommen hat, mit den "Common Core Standards" grobe Keile auf einen groben Klotz gesetzt haben. Seither maulen Republikaner über CCS und Demokraten über NCLB und alte Lehrer über beides - man kennt das.

Eine Umsetzung der CCS stammt von Eureka Math und wird auf sehr vielen Seiten recht gelobt (nicht auf allen - dieser Seite etwa verdanke ich die Erkenntnis, dass excel und open office, also die von deutschen Didaktikern über den grünen Klee gelobten Tabellenkalkulationsprogramme, die im modernen Mathematikunterricht unverzichtbar sind, den Ausdruck -2beide falsch berechnen). Jedenfalls lobt sich die Seite selbst - sicher ist sicher:

          Eureka Math unterscheidet sich vermutlich grundlegend von 
          Ihrem Mathematikunterricht und der Art und Weise, wie Sie 
          Mathematik gelernt haben.

Das werden wir weiter unten bestätigt sehen.

          Um diesen neuen Herausforderungen zu begegnen, müssen wir 
          unsere Schüler darauf vorbereiten, Denker und Problemlöser zu
          sein und Mathematik wirklich zu VERSTEHEN.
 
Was am alten Unterricht falsch war, wird der Sicherheit halber noch einmal unterstrichen:

           Mathematik wurde traditionell als "Tatsachen" und Formeln 
           gelehrt. Schülern wurde nur beigebracht, Formeln auswendig
           zu lernen und Probleme auf eine bestimmte Art zu lösen.

Ich dagegen, und ich war nicht der einzige, habe Mathematik gemocht, weil man nichts lernen musste, wenn man die Sache verstanden hatte. Das ging nicht allen so:

            Das Problem an dieser Art des Unterrichts war, dass viele von 
            uns die Mathematik, mit der wir uns beschäftigt haben,  nicht 
            wirklich verstanden haben.

Auch das mag stimmen. Das wirkliche Problem beginnt aber dort, wo die Leute, die als Schüler in Mathematik nichts verstanden haben, plötzlich Lehrbücher schreiben. Dazu schauen wir in die Lesson 4 auf dieser Seite, das sich mit der Berechnung von Flächeninhalten von Dreiecken in Klasse 6 beschäftigt. Aufgabe 5 geht so:


Realitätsnahe Mathematik - wir kennen das inzwischen auch. Wirklich realitätsnah ist das auf der anderen Seite auch nicht, denn in Geschäften für Segelbootzubehör kann man selten Segel in der Form eines solchen Dreiecks kaufen. Als Laie würde ich vermuten, dass man den Stoff erst zuschneiden und den "Abfall" ebenfalls bezahlen muss. Aber vermutlich weiß man nach 6 Jahren realitätsnaher Mathematik, wann man der Realitätsnähe Grenzen setzt und einfach das ausrechnet, was man vermutlich ausrechnen soll, nämlich den Flächeninhalt des Dreiecks.

Dass man dies tatsächlich machen muss, scheint aus dem Satz

             If the sailboat sales on are sail for $2 a square foot

hervorzugehen, allerdings hatte ich als nicht-native-speaker so meine Probleme mit dem Satzbau. Aber wozu gibt es google translate?

           Wenn der Segelbootverkauf auf Segel für $2 ein Quadratfuß ist

hilft uns aber nicht wirklich weiter, und auch auf Spanisch oder Französisch klingt das nicht sehr verständlich - anscheinend finden die Segelbootverkäufe dort nicht auf Segel, sondern auf einem Schiff statt. Nach langen Minuten des Nachdenkens über diesen Satz bin ich wohl auf die richtige Interpretation gekommen - die Lösung gibt's aber erst unten.

Sei's drum, als Schüler weiß man ohnehin, dass man die Fläche des Dreiecks ausrechnen soll. Als Sechstklässler weiß man noch nicht, dass Dreiecke mit den Seiten 5, 12 und 13 rechtwinklig sind, weil 52 + 122 = 132 ist, aber es ist schön zu sehen, dass die Lehrbuchautoren dies wissen. Weil das große Dreieck mit den Seiten 12, 13 und 20 mit dem kleinen den rechten Winkel gemeinsame hat, sollte man annehmen, dass auch 122 + 132 = 202
ist, aber wegen 122 + 13= 313 kann das nicht recht sein.

Eine kleine Skizze mit geogebra zeigt, dass die wirkliche Höhe eines Dreiecks mit den Seiten 8, 13 und 20 ft auf die Seite der Länge 8 ft nicht 12 ft sind, sondern 7,75 ft. Das werden die Anderson's (nur echt mit dem Deppenapostroph, den es auch im Englischen gibt) nicht gerne hören: offenbar hat man sie übers Ohr gehauen.

Nun ja, Fehler passieren. Schauen wir uns die nächste Aufgabe an:



Ich habe keine Ahnung, wie ich Russell erklären soll, warum seine Lösung korrekt sein soll. Es geht um ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundseite 43 cm und den Schenkeln 25 cm, und im rechtwinkligen Dreieck daneben (wieder ein pythagoreisches wegen 72 + 242 = 252) scheint die halbe Grundseite 24 cm lang zu sein. Nun ja, Fehler passieren.


Die Apostrophe sind schon mal richtig gesetzt, das gibt uns Hoffnung. Auch die Mutter aller pythagoreischen Dreiecke, das mit den Seiten 3, 4 und 5, gibt sich die Ehre. Das große macht aber wieder Probleme, weil 152 + 42 einfach nicht 182  sein will. Damit hat Donovan das Problem sicherlich nicht richtig gelöst, während Darnell den Flächeninhalt des falschen Dreiecks ausgerechnet hat, dafür aber richtig. Wie groß ist nun die wirkliche Höhe des Dreiecks mit den Seiten 5, 12 und 18?

Die Antwort verblüfft: ein solches Dreieck gibt es nicht, weil die Seiten 5 und 12 zusammen kürzer sind als die dritte Seite 18. Aber wie gesagt, so ein Fehler kann schon einmal passieren.

Auch hier wieder ein pythagoreisches Dreieck, nämlich das mit dem Faktor 2 vergrößerte (3, 4, 5)-Dreieck, und ein größeres Dreieck, das wieder keines ist, weil 10 inches und 24 inches zusammen deutlich kleiner sind als 42 inches. Vermutlich bin ich etwas kleinlich heute.
 
Von allen Dreiecken, die es nicht gibt, gefällt mir das hier am besten, und zwar weil es Wasser auf die Mühlen der Didaktiker ist, die auch hierzulande seit Jahrzehnten für Taschenrechner ab dem Kindergarten und Computeralgebrasystemen in der Grundschule kämpfen (Meißner, Krauthausen, Barzel, Herget): um den Flächeninhalt des Dreiecks so auszurechnen, wie sich die Autoren das vorgestellt haben, muss man in Klasse 6 zweifellos den Taschenrechner benutzen, was kurz nach der Einführung der Bruchrechnung zweifellos eine sehr gute Idee ist. Und wenn der Taschenrechner sagt, der Flächeninhalt sei 121,125 ft, dann kann es ja gar nicht sein, dass es das Dreieck gar nicht gibt, denn wenn es dieses nicht gäbe, dann hätte es keinen Flächeninhalt, den der Taschenrechner ausrechnen kann. Ein ontologischer Dreiecksexistenzbeweis vom Feinsten, gell?

Ein Versprechen gilt es noch einzulösen: ich wollte die Bedeutung des Satzes

    If the sailboat sales on are sail for $2 a square foot, how much will 
    the new sale cost?

nachreichen. Meine Vermutung:

    If the sailboat sails are on sale for $2 a square foot, how much will 
    the new sail cost?

Im Nachhinein ganz einfach. Aber so ist das immer in der Mathematik: hat man es erst einmal verstanden, ist es trivial. In diesem Sinne: Sales of Silver von Steeleye Span.


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