Freitag, 19. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, fünfter Streich

Ein Lob möchte ich dann doch noch loswerden: Unter den vielen bescheuerten Aufgaben aus dem diesjährigen Mathematikabitur in BW war eine, die tatsächlich sehr interessant war. Ich kann beim besten Willen nicht verstehen, wie das passieren konnte.

Schüler übersetzen "interessant" mit "Einserbremse", und das war diese Aufgabe auch: Im Schnitt hat etwa ein Schüler pro Kurs die Aufgabe korrekt gelöst. Hier ist sie:
      Eine Funktion g ist gegeben durch g(x) = x - 1/x3; x ≠ 0.
      (b) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten 
            Abstand zur  Geraden mit der Gleichung y = 2x-1 besitzt.
            Ermitteln Sie die x-Koordinate dieses Punktes.
Wie kann man hier vorgehen? Eine Möglichkeit ist, den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkte auf f(x) = 2x-1 und g(x) hinzuschreiben und das Minimum zu bestimmen. Nehmen wir den Punkt P(a|f(a)) auf dem Schaubild von f und Q(b|g(b)) auf demjenigen von g, dann ist der Abstand d gegeben durch
                              d2 = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
Das ist eine Funktion von zwei Variablen, die im Unterricht eher selten und im Schulbuch eher gar nicht vorkommt. Der Abstand d wird genau dann extremal, wenn dies für d2 gilt, folglich genügt es,  d2 zu betrachten. Nehmen wir b als fest an, wird  d2 zu einer Funktion von a:
       D(a) = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
Setzt man die Ableitung gleich 0, erhält man
      a = (6b4 + 4b3 - 4)/(10b3).
Einsetzen in D(a) liefert
       d2 = (b8- 2b7 + b6 + 2b4 - 2b3 + 1)/(5b).
Wer sieht, dass im Zähler ein Quadrat steht, kann dies in der Form
      d =  (b4 - b3 +1)/(√5b3)
schreiben, jedenfalls wenn man sieht, dass der Zähler b4 - b3 +1 > 0 ist. Nachrechnen kann man das durch die Bestimmung des Tiefpunkts dieser Funktion. Der letzte Schritt besteht in nochmaligen Ableiten und Nullsetzen, was auf b = 31/4 führt.

Nicht einmal das IQB, das den Aufgabenpool überwacht, traut baden-württembergischen Gymnasiasten eine solche Lösung zu. Diese hätten wie folgt vorgehen sollen:
      Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet,
Aber woher wissen wir das? Der GTR zeigt uns ja nur, dass es für, sagen wir, |x| < 10 keine Schnittpunkte gibt. In A 1.1. mussten wir die Käuferzahlen bis nach dem Ende des Universums als monoton steigend nachweisen, und hier mogeln wir uns mit dem GTR durch? Das verstehe, wer will. Der Nachweis, dass g die Gerade nicht schneidet, läuft auf die Gleichung x4 - x3 + 1 = 0 hinaus. Die üblichen Techniken (in BW gibt es nur noch zwei: Ausklammern und Substitution) greifen hier nicht, aber man kann, wie wir schon gesehen haben, das Problem umschiffen, indem man die Tiefpunkte dieser Funktion ausrechnet. Man muss halt nur darauf kommen.
        Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet, muss
        die Tangente an den Graphen von g im gesuchten Punkt Q(v|g(v))
        parallel zur gegebenen Geraden sein.
Das wollen wir gerne glauben, aber wem? Im Schulbuch findet sich kein Satz,
der einem so etwas auch nur nahelegen würde. Ein solcher Satz könnte in etwa so aussehen:
      Satz 1. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
      Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
      von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist f '(x) = g '(x).
Man muss den Satz etwas genauer formulieren, um Probleme mit Randpunkten auszuschließen, etwa wenn g(x) = √x und f(x) = -x-1 ist.

Setzt man f(x) = mx + c, so kann man diesen Satz wie im Spezialfall oben beweisen (Ableiten nach a, Nullsetzen, Einsetzen, Ableiten nach b, Nullsetzen),
dass
      d2 = (f(b) - g(b))2/(m2+1)
gilt. Wenn sich f und g nicht schneiden, folgt durch Ableiten und Nullsetzen
     f'(b) = g'(b).

Man sieht auch, dass das Minimum von d dort angenommen wird, wo | f(x) - g(x) | minimal wird, wo also die vertikale Differenz am kleinsten ist:

      Satz 2. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
      Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
      von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist auch die vertikale 
      Differenz  | f(x) - g(x) | minimal.

Schüler, die den unbewiesenen Satz 1 benutzt haben, bekamen die volle Punktzahl.
Schüler, die den unbewiesenen Satz 2 benutzt haben, bekamen keinen Punkt, denn dieser Ansatz ist ja ein Denkfehler. Hier lautet die Frage also, wie richtig eine Lösung sein muss, damit man dafür Punkte vergeben kann.


   

Kommentare:

  1. s/Punkt auf der Geraden/Punkt auf dem Graphen (von g)/ in Zeile 7?

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  2. Herzlichen Dank, dass Sie diesen Wahnsinn so ausführlich kommentieren!

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  3. Welche Sätze im Kontext des BW-Abiturs bekannt sind und/oder benutzt werden dürfen, kann ich nicht beurteilen. Der IQB-Lösungsweg ist aber einer, den viele geübte Mathematiker wählen würden -- und den auch ich benutzte, nachdem ich die Aufgabe gelesen hatte und bevor ich den Rest des Blog-Posts las. Dass der Graph von g disjunkt zur Geraden ist, sieht man so: Gelöst werden muss x +1/x^3 = 1. Für x<0 ist die linke Seite <0. Für x>0 sind x und 1/x^3 >0 und eine der beiden Zahlen ist >=1.

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  4. Danke für den informativen Beitrag! Satz 1, der korrekterweise bewiesen werden müsste, ist, unter der Voraussetzung dass g und die Gerade disjunkt sind, recht "einsichtig", wenn man sich das Koordinatensystem so dreht, dass y=2x-1 parallel zur x-Achse ist.

    Ich sehe hier und auch im Allgemeinen das Problem, dass wegen mangelnder Strenge im Mathematikunterricht überhaupt nicht mehr klar ist, was beweis- oder besser begründungswürdig ist und was nicht.

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  5. Es ist schlimmer: man kann anhand des Lehrbuchs nicht einmal entscheiden, ob die Funktion y=0 einen Extrempunkt besitzt, oder ob y=0 eine waagrechte Asymptote der Funktion f(x) = sin(x)/x ist oder nicht. Es fehlen also schon die Definitionen.

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  6. Zitat:"Es fehlen also schon die Definitionen."
    Ich gebe Ihnen da völlig recht.

    Ich möchte nochmals auf die Aufgabe zurückkommen.
    a) Die Lösung des IQB.
    Man dreht das Koordinatensystem KO so, dass y=2x-1 parallel zur x-Achse ist. In dem gedrehten Koordinatensystem KO' ist der geringste Abstand zwischen den beiden Graphen (unter der Voraussetzung, dass sie sich nicht schneiden) der Tiefpunkt von g(x) in KO'. Die notwendige Bedingung "g'(x)=0" entspricht dann in KO' dann der Forderung, dass g'(x)=y'(x) sein muss. Die hinreichende Bedingung lässt sich durch das VZW-Kriterium in KO' zeigen oder durch Argumentation mit dem Monotonieverhalten von d(x).

    Mein Fazit: Ja, die Aufgabe ist gut und interessant. Die Aufgabe ist auch mit dem Wissen eines Schülers lösbar. Satz 1 ist aus meiner Sicht, für Schüler mit der obigen Argumentation gut begründbar, ich würde sogar soweit gehen die obige Argumentation als Beweisidee zu akzeptieren.

    b) Die von Ihnen vorgestellte Lösung ist natürlich fachlich einwandfrei. Aber m. E. ist die für Schüler kritische Stelle:
    "Nehmen wir b als fest an, wird d2 zu einer Funktion von a:".

    Wieso darf man das (immer aus Schülersicht!) so machen? Wäre das nicht auch beweis- oder begründungswürdig?

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    1. Die Lösung mit der Drehung des Koordinatensystems ist hübsch, wenn auch kein Schüler die Chance hat, da drauf zu kommen - und gefordert war eine Begründung ja auch gar nicht. Woher wissen Sie denn, dass das die Lösung des IQB ist? Ich wusste nicht einmal, dass die Aufgabe von dort stammt.

      Was b) angeht: Funktionen in zwei Variablen sind nicht Teil des Schulstoffs, wenn man von Funktionenscharen absieht. Aber aus Schülersicht darf und muss man alles machen, was eine Lösung ergibt (vorzugsweise die richtige), Begründungen und Beweise kennen sie ja nicht, woher denn auch?

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