Montag, 15. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, zweiter Streich

Heute schauen wir uns den zweiten Teil der Pflichtteilaufgabe 4 an:

       Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle.

Diese Frage ist verwandt mit einer, die in den letzten Jahren im Internet kursiert:

       Berechne 6/2*(1+2).

Natürlich weiß ich, dass man in einer solchen Verkettung von gleichberechtigten Operatoren die Aufgabe von links nach rechts zu lesen hat: Man muss also erst 6/2 = 3 und dann 3(1+2) = 9 rechnen.

Auf der andern Seite ist jemand, der statt des eindeutigen 6*(1+2)/2 die obige Variante hinschreibt und das gleiche meint, entweder bescheuert oder hinterhältig oder beides. Wenn ich x/2sin(x) schreibe, meine ich nämlich den Ausdruck, der 2 *sin(x) im Nenner hat, und wenn es um (x/2) * sin (x) geht, schreibe ich x sin(x)/2.

Ebenso vermute ich, dass die Aussage "Die Funktion f hat eine Nullstelle" bedeutet, dass sie mindestens eine Nullstelle besitzt. Wenn es aber darum geht, ob eine Funktion eine oder mehr als eine Extremstelle hat und man die Frage absichtlich so stellt, dass möglichst viele Schüler darauf hereinfallen, dann ist der Aufgabensteller ein geistiger Tiefflieger, wenn er die Probleme nicht gesehen hat, oder hinterhältig, wenn er es mit Absicht gemacht hat.

Jedenfalls haben die Erstkorrektoren der Arbeiten, die ich gerade korrigiere, nur die Musterlösung gelten lassen und Antworten wie "Die Aussage ist falsch, weil eine Funktion 4. Grades auch mehr als eine Extremstelle besitzen können" als falsch gekennzeichnet.

Die Musterlösung verrät uns, dass die Schüler wie folgt hätten vorgehen sollen: Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, und von der wissen wir, dass sie eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

Woher wissen wir, dass ganzrationale Funktionen 3. Grades einen Vorzeichenwechsel besitzen? Das Schulbuch kann es nicht bewiesen haben, weil man dazu eine Definition eines Vorzeichenwechsels braucht, und die findet man im Lambacher-Schweizer nicht. Wenn wir uns die Definition eines Vorzeichenwechsels aus Wikipedia holen, müsste man zu einem Beweis zeigen, dass eine ganzrationale Funktion f vom Grad 3 für x gegen unendlich nach oben geht, wenn sie für x gegen -unendlich nach unten geht, und andersherum, und dann aus der Stetigkeit schließen, dass eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel existiert. Weil der Begriff der Stetigkeit aber kein Schulstoff mehr ist, geht das auch nicht. Selbst der Beweis, dass x3 + ax2 + bx + c für große x gegen Unendlich geht, dürfte heutige Schulbuchautoren überfordern, denn mit mehr als zwei Buchstaben in einem Ausdruck kommen heutige Schüler wegen der Abschaffung der Algebra nicht mehr zurecht, und Ungleichungen kennen sie nicht einmal vom Hörensagen.

Im Wesentlichen müssen wir also den vielen Beispielen und dem GTR glauben, dass ganzrationale Funktionen dritten Grades eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel haben, und daraus schließen, dass ganzrationale Funktionen vom Grad 4 eine Extremstelle haben.

Ist das "mathematisches Argumentieren"? Arg viel besser als die Antwort, jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 habe eine Extremstelle, weil sie parabelförmig aussieht, ist das wohl nicht, denn wenn ich wissen soll, wie eine Funktion 3. Grades aussieht, dann werde ich ja wohl auch wissen dürfen, wie Funktionen 4. Grades aussehen. Kann man die letzte Aussage daher als Begründung durchgehen lassen? Wenn ja, was ist mit "jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 hat eine Extremstelle, weil sie eine Parabel ist"? Nun, ganzrationale Funktionen vom Grad 4 sind keine Parabeln (also Kegelschnitte - wobei kaum ein Schüler weiß, was das ist), außer man nennt sie Parabeln höherer Ordnung. Aber dann sind kubische Parabeln auch Parabeln, und die haben keinen Extrempunkt. Wir sind also wieder bei der Diskussion, wie falsch eine Antwort sein darf, bis sie nicht mehr als korrekt gewertet werden kann. Darauf gibt die Musterlösung leider keine Antwort.

Dieses war der zweite Streich, doch der dritte folgt sogleich.

Kommentare:

  1. Was bitte ist denn der Unterschied zwischen einer ganzrationalen Funktion und einem Polynom?

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  2. Der Unterschied ist, dass Polynome im Schulunterricht in BW ganzrationale Funktionen heißen. Vielleicht ist es aber auch so, dass ein Polynom eine ganzrationale Funktion definiert. Ich weiß aber auch nicht, ob das dann etwas zu bedeuten hätte.

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  3. Tatsächlich habe ich oft genug erlebt, dass Abituraufgaben entweder aufgrund der Formulierung nicht sinnvoll lösbar, oder die Musterlösungen falsch waren. Eine stringente Argumentation wird durch Pseudobeweise ersetzt, die der Lambacher-Schweizer ja auch besonders liebt.
    PS: In Ihrem Aufsatz "Des Didaktors neue Kleider" schreiben Sie an einer Stelle:
    "Es ist dagegen geradezu eine Wohltat,wenn man die moderneren Machwerke mit dem Band Analysis[LSA] aus dem Jahre 1968 vergleicht, das bis Ende der 70er Jahre verwendet wurde, um dann für kurze Zeit durch ein pädagogisch wenig erfolgreiches, aber deutlich anspruchsvolleres abstrakteres Lehrbuch ersetzt zu werden, das ganz auf den Cauchyschen ε-δ-Definitionen und den Mittelwertsätzen aufgebaut war."
    Um welches Lehrwerk handelt es sich dabei ("das pädagogisch wenig erfolgreiche")?

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  4. Das waren die schwarzen Lambacher-Schweizer-Bände - wir hatten 1979 die ersten bekommen. Die waren wohl selbst für uns damalige Schüler recht heftig: man hatte Folgen. Konvergenz, epsilons, deltas, die kompletten Mittelwertsätze usw. Für sehr gute Leistungskurse war das machbar. Wie lange die geblieben sind, weiß ich nicht.

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