Sonntag, 14. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, erster Streich

Ich habe ja bereits angedeutet, dass einige Aufgaben im Mathematik-Abitur (mit Bindestrich für Leser aus Schleswig-Holstein) 2017 hierzulande etwas, sagen wir, gewöhnungsbedürftig sind. Ich habe das dem Ministerium am Dienstag zu verstehen gegeben, aber keine Antwort erhalten. Ich werde mir daher ab heute jeden Tag einen Fehler vornehmen und hoffe, bis zum Ende der Zweitkorrektur dann durch zu sein. Wer mir eine Dienstaufsichtsbeschwerde an den Hals wünscht, weil ich Details aus den Lösungen veröffentliche: ich unterrichte am Gymnasium St Gertrudis in Ellwangen.

Wir beginnen mit Aufgabe 4.(1) des Pflichtteils.

      Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle.

Dies ist eine legitime Aufgabe, sieht man von der Tatsache ab, dass die Funktion auf einem offenen Intervall definiert und dort differenzierbar sein sollte, damit man diese Frage überhaupt stellen kann. Aber wir wollen nicht kleinlich sein.

Die Musterlösung gibt f(x) = x3  als Gegenbeispiel, obwohl f(x) = 0 ein schöneres gewesen wäre. Von 82 Lösungen, die ich bisher gesehen habe, hat aber keine das erste (und nur eine das zweite) Beispiel benutzt.

Vielmehr haben die meisten Schüler völlig richtig geschrieben, dass, wenn die Ableitung 0 ist, die Funktion auch einen Sattelpunkt haben könne. Manche Schüler allerdings haben noch mehr von ihrem Wissen preisgegeben und geschrieben, dass die Ableitung eine Nullstelle mit VZW von + nach - haben müsse, damit f dort einen Hochpunkt besitzt. Das lernt man auf der Schule zwar so, ist aber falsch. Richtig ist nur die Umkehrung: wenn f' einen Vorzeichenwechsel von + nach - besitzt, dann hat f dort einen Hochpunkt.

Natürlich ist es wenig sinnvoll, Schüler dafür zu bestrafen, dass man ihnen falsche Dinge beigebracht hat. Die Frage stellt sich aber doch, wie falsch eine Lösung denn nun sein darf, bevor man sie nicht mehr als korrekt werten kann.

Schauen wir erst einmal in den Lambacher-Schweizer 6 (Klasse 10), in dem es um Vorzeichenwechsel geht. Arg viel schlauer wird man daraus nicht, weil dort gar nicht definiert ist, was ein Vorzeichenwechsel (oder ein Hochpunkt) überhaupt ist, sondern nur eine Zeichnung mit einem Beispiel dafür drinsteht.

Die Probleme beginnen bei der Frage nach Montonie. Der Monotoniesatz auf S. 51 besagt, dass eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion f streng monoton wachsend ist, wenn dort f'(x) > 0 gilt. Weiter steht da, dass die Umkehrung falsch ist, wie das Beispiel f(x) = x3  zeigt.

Der Beweis ist ein Meisterwerk der modernen Lehrbuchliteratur, sodass wir ihn vollständig wiedergeben wollen:

     Ist die Ableitung positiv, so kann die Funktion nur streng monoton 
     wachsend sein.

Hoch- und Tiefpunkte folgen auf S. 54:

     Bei differenzierbaren Funktionen kann man die Extremstellen und
     Extremwerte mithilfe der Ableitung bestimmen.

     Damit f an der Stelle x0 ein lokales Maximum besitzt, muss die 
     Funktion in der Umgebung von x0 links von x0 monoton zunehmen 
     und rechts von  x0 monoton abnehmen.

     Dies ist nach dem Monotoniesatz der Fall, wenn f'(x) links von x0 
     größer als 0 und rechts von x0 kleiner als 0 ist. Man sagt dann, 
     dass f' an der Stelle x0 einen Vorzeichenwechsel (VZW) von  + 
     nach - hat.

Der Nachteil von "Definitionen durch Beispiel" ist, dass man damit nicht wirklich etwas anfangen kann. So ist es auf Grund dieses Vorgehens nicht möglich zu entscheiden, ob die Funktion f(x) = 1/x in x=0 einen Vorzeichenwechsel hat oder nicht. Nach dem, was im Lambacher-Schweizer steht, müsste die Antwort lauten, dass ein VZW vorliegt; andererseits hat die Stammfunktion F(x) = ln(x) dort keine Extremstelle.

Schauen wir uns den Beweis etwas genauer an: damit es ein Maximum gibt, muss
die Funktion links davon streng monoton steigen. Dann ist nach dem Monotoniesatz f'(x) > 0  und rechts davon ist f'(x) < 0, sodass die Ableitung in  x0 einen Vorzeichenwechsel von  + nach - hat. Ein Schönheitsfehler hierbeit ist, dass das gar nicht der Monotoniesatz ist, sondern dessen falsche Umkehrung. Der zweite Schönheitsfehler ist, dass das gar nicht dasteht. Was dasteht ist folgendes:
  • f ist links von   x0  streng monoton steigend, rechts davon fallend.
  • Wenn f'(x) > 0 links von  x0 und f'(x) < 0 rechts von  x0  dann ist f links von   x0  streng monoton steigend, rechts davon fallend.
Mit anderen Worten: es ist A ⇒ C und B ⇒ C, und wenn das mal kein Grund dafür ist, dass auch A ⇒ B ist, dann weiß ich auch nicht.

Der "Beweis" im Lambacher-Schweizer ist also eher peinlich als überzeugend. Das macht aber nichts aus, schließlich ist der dazugehörige Satz ja auch falsch. Das dazugehörige Gegenbeispiel ist die Funktion

      f(x) = x4 (2 + sin 1/x)

mit f(0) = 0. Diese ist differenzierbar mit

      f'(x) = x^2[4x(2 + sin 1/x) - cos(1/x)]

und f'(0) = 0. Nun ist es leicht zu sehen, dass f in x=0 einen Tiefpunkt hat, denn es ist f(0) = 0 und f(x) > 0 für alle x ≠ 0. Weiter ist der Term cos(1/x) dafür verantwortlich, dass f' in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 das Vorzeichen unendlich oft wechselt. Es gibt also keinen VZW von - nach +.

Natürlich muss man das im heutigen Schulunterricht nicht erklären. Natürlich muss es auch nicht im Schulbuch stehen. Aber ebenso natürlich darf man dann halt im Abitur nicht danach fragen.

Dieses war der erste Streich, doch der zweite folgt sogleich.
    

Kommentare:

  1. Das zeigt den alltäglichen Wahnsinn im dt. Mathematikunterricht: falsche Beweise statt echter Mathematik. Oder sind das schon "alternative" Beweise (und Fakten)?
    Eine Frage habe ich aber: Wie kommt man auf f(0)=0, wenn Null doch nicht im Definitionsbereich liegt? Ist es nicht eher lim f(x)=0 für x gegen 0?

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  2. Weil x=0 nicht im Definitionsbereich liegt, muss man f(0) festlegen. Natürlich macht man das so, dass lim f(x) = f(0) ist für x gegen 0 (das ist die Stetigkeit), und dann muss man prüfen, dass f auch differenzierbar ist (oder, wie es inzwischen heißt, dass das Schaubild von f keinen Knick hat)

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  3. Ich weiß nicht, wie baden-württembergische Schulbücher den Begriff "Extremstelle" definieren. Nach allen mir bekannten Definitionen (siehe z.B. Wikipedia: Extremwert) hat die konstante Funktion 0 aber Extremstellen (denn jedes Element des nach Voraussetzung nichtleeren Definitionsbereichs ist eine). Daher ist diese Funktion kein Gegenbeispiel zur Aussage von Aufgabe 4.1.

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    1. Baden-württembergische Schulbücher definieren Minima nicht - wo kämen wir da hin, dann könnten wir ja wieder erklären, was ein Beweis ist. Die Bücher malen ein Bild des Graphen einer Funktion hin samt Pfeilen auf Tief- und Hochpunkte und sagen, Extrempunkte seien Punkte wie in diesem Beispiel.

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