Mittwoch, 12. Juli 2017

Logik für Anfänger Didaktiker

Dass ich von der heutigen Mathematikdidaktik in Deutschland bis auf Ausnahmen von wenig mehr als ε Prozent nichts halte, sollte sich herumgesprochen haben. Es ist aber auch zu leicht, ihren Hauptprotagonisten Schlamperei und Unfähigkeit an allen Ecken und Enden nachzuweisen. Professor Aiso Heinze (wie fast alle seiner jüngeren Kollegen in der Didaktik hat auch er nie an einer Schule unterrichtet, sondern sich in die Wissenschaft von einem guten Unterricht hineinhabilitiert) hat Hochschuldozenten in MINT-Fächern befragt, welche Kenntnisse und Kompetenzen sie bei ihren Erstsemestern für notwendig halten und welche nicht. Wer mit Studien Erfahrung hat, die von der Telekom (oder von TI oder Casio) bezahlt werden, wird die Ergebnisse dieser Befragung nicht mit der ungeschminkten Wahrheit verwechseln; wer mag, kann die wesentlichen "Erkenntnisse" hier nachlesen.

"Tu Gutes und rede darüber", hat sich Herr Heinze gedacht und dem Göttinger Tageblatt ein Interview gegeben. Darin zeigt er sich überrascht von einigen Ergebnissen:

      "Ein überraschendes Ergebnis war für mich, dass 78 Prozent der 
        Befragten ein sicherer Umgang mit Taschenrechner und Computer
        wichtig ist", hebt Heinze hervor.

Was daran überraschend sein soll, wenn jemand MINT-Fächer studieren möchte, weiß ich beim besten Willen nicht. Wer zu doof ist, einen Taschenrechner zu bedienen, sollte nicht Ingeneur werden wollen. Deshalb erklärt Herr Heinze der Leserschaft, warum ihn das überrascht:

      "Das widerspricht der Darstellung eines Brandbriefes, den 
       Mathematik-Professoren im April veröffentlicht hatten. Darin 
       wurde der frühe Einsatz von Taschenrechnern kritisiert."

Jetzt wäre ich überrascht, wenn ich mich nicht daran gewöhnt hätte, dass Deutschlands Didaktiker keine große Ahnung vom Unterrichten oder von höherer oder nicht so hoher Mathematik haben. Ich werde also versuchen, Herrn Heinze zu erklären, was ein Widerspruch ist, und zwar mittels eines Beispiels, das man vor nicht allzu langer Zeit in Schulbüchern noch gefunden hat und in vielen auch heute noch findet, nämlich mit dem Beweis, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist.

Hier nimmt man an, dass sich √2 = p/q als Bruch schreiben lässt, also als Quotient zweier natürlicher Zahlen p und q. Dabei darf man annehmen, dass der Bruch vollständig gekürzt ist. Das bedeutet, Herr Heinze, dass p und q sich durch keine Zahl > 1 gleichzeitig teilen lassen. Quadriert man die Gleichung √2 = p/q und schafft die Nenner weg, folgt 2q2 = p2. Daraus wiederum folgt, dass p gerade ist. Dann ist aber  p2 durch 4 und damit q2 durch 2 teilbar, d.h. auch q muss gerade sein. Wir haben also gezeigt, dass p und q gleichzeitig durch 2 teilbar sind, während wir doch angenommen haben, dass sie teilerfremd sind. Das, Herr Heinze, ist ein Widerspruch, weil zwei Zahlen nicht gleichzeitig teilerfremd sein können und einen gemeinsamen Teiler 2 besitzen können.


Nun zu dem, was Sie, Herr Heinze, nicht verstanden haben: Die Forderung nach einem sicheren Umgang mit dem Taschenrechner widerspricht nicht der Kritik im Brandbrief, wonach der exzessive Umgang mit dem Taschenrechner ab Klasse 7 dafür sorgt, dass die in Klasse 6 eingeführte Bruchrechnung sich durch Übung nicht festigen kann. Auf die Gefahr hin, meine wenigen Leser zu langweilen, will ich es Ihnen zu erklären versuchen: Man kann einen sicheren Umgang mit dem Taschenrechner erlernen, ohne dass man dies ab Klasse 7 übt; ebenso kann man mit 18 Jahren Pizzabote werden, ohne dass man mit 12 Jahren den Autoführerschein gemacht hat. Und man kann sich in diesem Land sogar dafür bezahlen lassen, Lehrern zu erklären, wie guter Unterricht funktioniert, ohne dass man jemals eine Klasse unterrichtet und erfolgreich zum Abschluss geführt hat. Das letzte Beispiel müssten Sie verstanden haben, ist es doch durch und durch kompetenzorientiert und direkt aus Ihrem Leben gegriffen.

Noch zwei kleine Nachträge:

1. Die im Bericht des Göttinger Tagblatts angesprochene "Podiumsdiskussion mit Vertretern aus Politik und Wissenschaft" zur Brandbriefkritik hat es nicht so mit den Vertretern aus der Wissenschaft gehabt: die Nichtpolitiker waren Heinze, Koepf und Elschenbroich, von denen die beiden letzteren in den vergangenen 20 Jahren aktiv und federführend am Abbau des Mathematikunterrichts beteiligt waren. Anscheinend konnte man Kritiker dabei nicht gebrauchen.

2. Den Brandbrief findet man hier (man kann ihn immer noch unterschreiben, indem man eine Email an Astrid Baumann schickt) , und in der Wirtschaftswoche ist in den letzten Tagen ein Artikel zum Bruchrechnen erschienen.

Sonntag, 2. Juli 2017

Didaktik-Kasper machen den Otto

Die Einbindung neuer technischer Erfindungen in den Mathematikunterricht hat eine jahrhundertelange Tradition. Die Römer unterrichteten mit dem Abakus, die Griechen mit Sandtafeln, und Adam Ries lehrte das Rechnen auf den Linien. Man erfand Sextanten und zeigte den Schülern, wie man mit trigonometrischen Funktionen umgeht und dies mit den eben dazu entwickelten Logarithmen berechnen kann. Der Rechenschieber erlaubte es, viele Rechnungen noch schneller durchzuführen, und mit dem Taschenrechner war auch das Rechnen mit hyperbolischen Funktionen kein Problem mehr.

Etwas später haben die Didaktiker gemerkt, dass sogar Kinder einen Taschenrechner bedienen können. Dies hat zu den absurdesten Vorschlägen geführt; insbesondere Krauthausen und Meißner sind nicht müde geworden, die Einführung des Taschenrechners in Grundschulen und Kindergärten zu fordern. Wobei man Meißner zugute halten muss, dass er das wohl weniger aus Überzeugung denn aus finanziellen Gründen (TI hat der Uni Münster ein Jahrzehnt lang Drittmittelmillionen für das Absingen der Hymnen auf die Taschenrechner überwiesen) getan hat.

Als dann die graphikfähigen Taschenrechner (GTR) auf den Markt kamen, haben Didaktiker bundesweit ihre Chance erkannt, über diese Geräte ihre Publikationsliste zu verlängern und mit Hilfe eigens dafür entworfener schwachsinniger realitätsbezogener Aufgaben Einfluss erst auf das Abitur und dann auf die Bildungspläne zu nehmen. Das gleiche gilt für die wenig später entwickelten CAS-Geräte (Computer-Algebra-Systeme). Wurde früher bei Einführung von Logarithmentafeln, Rechenschiebern und Taschenrechner der Schulstoff ausgeweitet, sorgen jetzt aber Didaktiker dafür, dass der Schulstoff durch die Einführung jedes neuen technischen Schnickschnacks wesentlich reduziert wird.

Warum Baden-Württemberg 2004 den GTR im Abitur eingeführt hat, kann man 10 Jahre später in NRW nachlesen:

       Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht
  • beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen,
  • durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger   Darstellungsmöglichkeiten,
  • mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen,
  • durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von Kontrollmöglichkeiten.
Dass das hohles Geschwätz ist mag man daran erkennen, dass in Baden-Württemberg gleichzeitig die Abkehr vom GTR beschlossen wurde (nächstes Jahr kommt das letzte GTR-Abitur). 

Einer der ganz großen Verteidiger der Rechenknechte (und zwar von CASIO, schließlich kann TI nicht alle Didaktiker bezahlen) ist Hans-Jürgen Elschenbroich, der sich dann auch lautstark gegen die Abschaffung des GTR in BaWü geäußert hat, etwa im Artikel "Rechnen wie in der Steinzeit" . Dort kann man die gesammelten Märchen der Reformer nachlesen, etwa dass das Nachlassen der Rechenfertigkeiten durch den Einsatz technischer Hilfsmittel nicht wissenschaftlich fundiert sei. Das glaube ich sofort, denn eigentlich haben doch die Didaktiker die Aufgabe, solche Studien zu machen; das haben die aber nicht getan. Dass sie es deswegen nicht getan haben, weil sie von TI und Casio bezahlt worden sind, ist aber ein böses Gerücht, das meines Wissens durch keine Studie wissenschaftlich fundiert belegt ist. Dass sich Baden-Württemberg in die digitale Isolation begibt, wie Elschenbroich suggeriert, ist angesichts der Fakten eine seltsame Behauptung: auch in Bayern, Berlin, Brandenburg, Hamburg, Sachsen-Anhalt und Schleswig-Holstein gibt es keinen GTR im Abitur, und mir ist keine einzige deutsche Universität bekannt, die dieses Gerät in Klausuren der ersten Semester zulassen würde. Aber was sind schon Fakten.

Schauen wir uns also einige der Gründe an, weswegen Lehrer ihre Schüler mit CASen beglücken sollten. Herget (der, das muss man ihm lassen, seit Jahrzehnten für die Abschaffung von Rechenfertigkeiten der Schüler kämpft), Heugl,  Kutzler und Lehmann beantworten die Frage, was man im CAS-Zeitalter noch rechnen können sollte, eindeutig und ausführlich in ihrem Artikel so: 
  1. Die Primfaktorzerlegung von 15 sollte man von Hand können, die von 30 dem CAS überlassen.
  2. Den Bruch 102/105 vereinfacht man von Hand, 100 x3y2/10xy5 dagegen mit dem CAS.
  3. 2(ab) vereinfacht man per Hand zu 2ab, während (2a+t)ein CAS übernimmt.
  4. Die Gleichung 5x-6 = 15 löst man per Hand nach x, 5x - 6 = 2x + 15 dagegen mit dem CAS.
Seit wann man eine Gleichung nach x löst (und nicht nach x auflöst), weiß ich nicht. Sei's drum.
 
Im neuen Lambacher-Schweizer 7 sind die Hergetschen Vereinfachungsaufgaben jedenfalls bereits aufgenommen; dort findet sich eine ganze Aufgabengruppe, bei der man 2n/3, 3/4*x, m*5/6 usw. vereinfachen soll. 

Offizielles Ziel der Didaktik war es, durch Abschaffung der Rechenfertigkeit das Verständnis der Mathematik zu erhöhen. Ich weiß nicht, ob das außer der Politik je jemand geglaubt hat, denn zeitgleich haben die Didaktiker ja auch Definitionen, Sätze und Beweise aus den Büchern entfernt und durch mathematisches Argumentieren ersetzt, was in der schulischen Praxis auf ein Wiederkäuen auswendig gelernter Phrasen hinausläuft.

Selbstverständlich kann ein CAS viel mehr als nur Gleichungen der Form 2x+1 = 16 lösen. In den TI-Nachrichten von 2002 demonstriert Josef Böhm, wie man mit einem CAS Gesichter malen kann:

Ein popliger Taschenrechner, da geben wir Elschenbroich recht, kann das nicht.

Im Computer-Algebra-Rundbrief von 2011 geben Prof. Guido Pinkernell und Clemens Diemer eine weitere Anwendungsmöglichkeit von Computer-Algebra-Systemen: man gibt seinen Vornamen, etwa Otto, in ein CAS ein und setzt Rechenzeichen zwischen die Buchstaben:
Toll, gell? Man kann jetzt Algebra entdecken, indem man versucht, den Otto zur Null zu machen. Und man kann erforschen, ob man den Otto auch zur 1 oder zur 2 machen kann. Die Idee dahinter ist, anhand der Ausgabe des CAS die Rechenregeln für Klammerausdrücke zu erkunden. Ich gebe zu, dass es schwer ist, die Benutzung eines CAS zu rechtfertigen, nachdem man die ganzen Inhalte aus dem Mathematikunterricht entfernt hat. Aber sollte man derartige Perversitäten, wie sie Pinkernell da allen Ernstes vorschlägt, nicht doch verbieten? Oder zumindest dafür sorgen, dass dieser Schwachsinn nicht mehr vom Steuerzahler bezahlt wird? Im Ernst: Was machen diese Kasper mit meinem Fach? 

Was machen diese Kasper mit meinem Fach?

Samstag, 17. Juni 2017

Begründen Sie, dass!

Als Lehrer stumpft man im Laufe der Zeit ab und wundert sich über gar nichts mehr. Nur wenn man dann eine Aufgabe vorgesetzt bekommt wie

    Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f mit
    f(x) = x3+3x–1 genau eine Nullstelle hat,

dann will man es doch wissen: Seit wann heißt es denn "Begründen Sie, dass"? Google kann helfen: Es findet zwar für "Begründen Sie, weshalb" knapp 5000, für "Begründen Sie, warum" deren 30800 und für "Begründen Sie, dass" mehr als 60000 Treffer. Allerdings führen die ersten 100 Treffer bei der letzten Suche bis auf vereinzelte Ausnahmen auf lauter Aufgaben zur Schulmathematik. Schränkt man die Suche auf Bücher ein, liefert google fast 4000 Treffer, davon 10 aus den Jahren vor 2000, während es in diesem Zeitraum 30mal so viel Treffer mit "Begründen Sie, warum" gibt.

Die Floskel "Begründen Sie, dass" wurde also nach der Jahrtausendwende in der Schulmathematik eingeführt, und zwar aus guten Gründen. Als ich Mathematik studiert habe, haben die Aufgaben mit "Zeigen Sie, dass" begonnen, und erwartet wurde ein sauberer Beweis. Auch Schüler mussten damals noch etwas zeigen, etwa mit vollständiger Induktion oder durch einfache Rechnung, und ganz früher auch mit Hilfe einfacher geometrischer Sätze, die heute kein Didaktiker mehr kennt. Weil man das Beweisen in der Schule abgeschafft hat (Beweisen ist keine Allgemeinbildung, und Mathematikunterricht, so lehrt es die moderne Didaktik, muss nach Winter allgemeinbildend sein), geht das nicht mehr. Und weil man nicht mehr zeigen kann, weshalb etwas gilt, muss man jetzt begründen, dass etwas gilt. Zum Beispiel, dass eine kubische Funktion eine Nullstelle hat, und manche darunter genau eine - wir kennen das ja aus dem diesjährigen BW-Abi.

Die obige Aufgabe stammt aus der Aufgabensammlung  von diversen Autoren, darunter Prof. Pinkernell, Heidelberg (genauer: PH Heidelberg, aber das steht nicht im Dokument) und dem Casio-Luder Elschenbroich (in der Didaktik gibt es TI-Luder (etwa Prof. Hartwig Meissner und Prof. Bärbel Barzel) und Casio-Luder (wie eben Herr Elschenbroich), je nachdem, welche Firma Millionen springen lässt, damit die Begünstigten Artikel über die Vorteile des Unterrichtens mit TI bzw. Casio schreiben und sich in offenen Briefen an die Landesregierung darüber beschweren, dass die Abschaffung des GTR Baden-Württemberg in die mathematische Steinzeit katapultieren wird).

Interessant ist dabei nicht so sehr die Aufgabe selbst, sondern der Erwartungshorizont:

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden,

Das ist richtig, weil man Algorithmen wie Hornerschema, Polynomdivision und Newtonverfahren aus dem Lehrplan gekegelt hat, um Platz zu schaffen für die Bedienungsanleitung der graphikfähigen Taschenrechner. Warum das hier erwähnt wird, ist nicht ganz klar, denn es soll ja nicht die Nullstelle von f bestimmt werden, sondern begründet werden, dass die Funktion eine solche besitzt.

Das dürfte Schülern, die im letzten Jahrtausend Abitur gemacht haben, nicht schwerfallen, denn es ist f(0) = -1 und f(1) = 3. Die Funktion f ist stetig auf den reellen Zahlen und hat einen Vorzeichenwechsel auf dem Intervall [0,1], folglich hat f (nach dem Zwischenwertsatz) eine Nullstelle in diesem Intervall. Weil aber die Stetigkeit auch abgeschafft wurde (vom Zwischenwertsatz ganz zu schweigen), kann diese Lösung auch "nicht vorausgesetzt werden".

Wie sollen Schüler also begründen, dass die Funktion f genau eine Nullstelle hat? Nun, Pinkernell und Elschenbroich erwarten das folgende:

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
       graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
       erwartet 

Da wäre ich, das gebe ich zu, in 100 Jahren nicht draufgekommen. Warum macht man aus der Nullstelle von x³ + 3x – 1 einen Schnittpunkt der beiden Funktionen
x³  – 1 und 3x (genauer wäre natürlich – 3x, das kann man schon mal übersehen)? Ich vermute, dass es daran liegt, dass Schüler zwar noch  x³  – 1 skizzieren können, aber bei  x³ + 3x – 1 überfordert sind, schließlich hat das ja bisher der GTR gemacht. Begründet, warum die Funktion einen Schnittpunkt hat, haben wir natürlich nicht; wir haben ja nicht einmal begründet, dass sie einen hat. Aber anscheinend reicht das den Herren Pinkernell und Elschenbroich.

Es gibt aber (und so soll es bei guten Aufgaben ja auch sein) noch eine zweite Begründung (gut, die erste war keine, aber wir wollen nicht kleinlich sein):

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
       graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
       erwartet, oder eine Analyse der ersten Ableitung f‘(x) = 3x² + 3, aus 
      der hervorgeht, dass f überall streng monoton steigend ist.

Was uns diese Begründung sagen will, erschließt sich mir nicht. Die Ableitung der Funktion g(x) = ex ist ebenfalls positiv, woraus hervorgeht, dass g überall streng monoton steigend ist. Aber hat g deswegen genau eine Nullstelle? Die Exponentialfunktion, das haben Schüler auswendig gelernt, hat jedenfalls keine. Also ist sie ein Gegenbeispiel zur Begründung, dass eine Funktion genau eine Nullstelle hat, wenn f streng monoton steigt.

Natürlich kann ich mir denken, was Pinkernell und Elschenbroich gemeint haben, schließlich korrigiere ich seit 10 Jahren ganz ähnliche Fehler bei meinen Schülern. Sie haben gemeint, dass f keine zwei Nullstellen haben kann, wenn f streng monoton steigend ist. Aber zum einen steht das nicht da, zum andern ist es auch noch falsch: die Funktion h(x) = x – 1/x ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich streng monoton steigend und hat die beiden Nullstellen x1 = –1 und x2 = 1.  Aber natürlich, werden Sie einwenden, gilt dies nur bei stetigen Funktionen ohne Definitionslücke. Und damit sind wir wieder am Anfang: die Bestimmung von Definitionsbereichen wird in BW nur an Realschulen unterrichtet (noch; für die Einführung von Quartilen, Medianen und Boxplots, die inzwischen auch die Gymnasiasten beglücken, braucht man sicher wieder etwas Platz).

Die ganze "Begründen-Sie-dass"-Industrie der modernen Didaktik ist ein ganz großer Schwindel. Es wird geschwurbelt, was das Zeug hält, und mit Mathematik hat das nicht nur nichts zu tun, vielmehr kann es mit Mathematik nichts zu tun haben, weil man dafür Definitionen und ein paar Sätze über reellwertige Funktionen braucht. Pinkernell und Elschenbroich können ganz sicher nicht "zeigen dass", und sie können auch nicht "begründen, warum". Sie können noch nicht einmal "begründen, dass".

Freitag, 16. Juni 2017

Gefahren des modernen Mathematikunterrichts

Heute gibt es eine (etwas holprige) Übersetzung eines Artikels von Stuart Wachowicz. Mehr dazu am Ende.

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  "Stolz auf handwerkliches Können verpflichtet die Mathematiker
   einer Generation dazu, unerledigte Probleme ihrer Vorgänger
   zu erledigen."

          E.T.Bell, The Last Problem

Die obige Aussage beschreibt höchst genau das Vermächtnis einer  Generation von Mathematikern für die nächste. Allerdings ist man versucht darüber nachzudenken, ob dies in Nordamerika weiterhin so sein wird. Das Fach Mathematik, wie wir es kennen, ist offenbar bedroht. Diese Bedrohung ist eine Folge davon, dass man Lehrplanautoren erlaubt, die jahrhundertelang gültige Definition von Mathematik und davon, was gelernt werden soll, zu ändern, und zwar auf der Grundlage des Utilitarismus, kombiniert mit der derzeitigen Praxis, die Pädagogik durch unbewiesene Modeerscheinungen zu versetzen.

Vor einem Jahrhundert wurde die Drohung des Utilitarismus von Andrew  Carnegie kurz und prägnant so formuliert: "Schulen sind ein Ort, wo Kinder lernen, Dinge herzustellen." Heute wird dieselbe Idee im  Gedanken verkleidet, wonach Mathematik, um einen Wert zu haben, in einer Art studiert werden muss, die notwendig eine realitätsbezogene Anwendung (was immer das bedeutet) besitzt. Es ist natürlich richtig, dass Schüler  davon profitieren, wenn sie die Kraft der Mathematik bei der Lösung eines Problems aus dem Alltag erfahren; es gibt aber einen weiteren Aspekt des Fachs Mathematik, einen der den Einzelnen befähigt, die höchst elegante und genaue Sprache zu würdigen. Dies erinnert mich an eine Aussage, die Harold Jacobs im Vorwort seines Buchs "Mathematics: A Human Endeavor" geschrieben hat:

    "Einige der Themen in diesem Buch mögen scheinbar wenig praktischen
     Nutzen haben, aber die Bedeutung der Mathematik beruht nicht auf
     ihrem praktischen Wert. Es ist schwer zu glauben, dass jemand, der
     das erste Mal über den Grand Canyon fliegt, die Frage "Wozu ist
     der gut?" stellt. Manche Leute sagen exakt dasselbe von der Mathematik.
     Ein großer Mathematiker unseres Jahrhunderts, G.H. Hardy, sagte einmal
     "Ein Mathematiker ist, wie ein Maler oder ein Dichter, jemand, der 
      Muster herstellt." Einige dieser Muster haben eine umgehende 
     und offensichtliche Anwendung; andere werden vielleicht nie zu  
     irgendetwas nützlich sein. Aber wie der Grand Canyon hat die
     Mathematik ihre eigene Schönheit und übt einen Reiz auf die aus,
     die bereit sind zu sehen."

In seinem Streben nach einem utilitaristischen Wert  der Mathematik versucht  der moderne Lehrplan an öffentlichen Schulen nicht mehr ernsthaft, den  Schülern ein tiefes Verständnis davon zu vermitteln, was Newton "die Sprache des Universums" genannt hat. Es ist nur ein Lippenbekenntnis, wenn das Ziel ausgesprochen wird, den Schülern Kompetenzen im Problemlösen zu vermitteln: moderne Lehrpläne legen keinen Wert auf die Grundlagen des Problemlösens: die Beherrschung von Beziehungen zwischen Zahlen und der fundamentalen Axiome und Postulate, auf welche das mathematische Argumentieren basiert. Praktisch alle Schüler könnten und sollten diese lernen.

Die zweite Bedrohung ist, politisch gewollte Modeerscheinungen die  Pädagogik an unseren Schulen beeinflussen zu lassen. Hätten vor  vielen Jahrhunderten die Entwickler des Abakus der Gesellschaft die Idee verkaufen können, dass diese neue Technologie es überflüssig mache, dass Schüler weiterhin die grundlegenden arithmetischen Rechnungen beherrschen, dann hätte sich die Mathematik wohl anders entwickelt.  Sicherlich  wäre dieses Argument für Gesellschaften gültig gewesen, die recht umständliche Zahlensysteme hatten, etwa diejenigen in Griechenland und Rom. Aber nicht einmal in Gegenden, in welchen die indischen Ziffern übernommen wurden, hat der Abakus die Vorstellung entfernt, dass ein auch nur teilweise gebildeter Mensch das schriftliche Rechnen  beherrschen sollte. Trotz späterer technischer Erfindungen hat nie jemand ernsthaft behauptet, das Beherrschen des schriftlichen Rechnens wäre überflüssig. Heute dagegen, mit all den Fortschritten in der  Mikroelektronik (eine Folge der traditionellen Strenge in Mathematik und Technik), gibt es Leute, die vorschlagen, die Beherrschung des schriftlichen Rechnens durch den Taschenrechner zu ersetzen. Überall in den USA und in Kanada gibt es Didaktiker, die ständig auf der Suche nach etwas Neuem und Innovativem sind. Dies ist selten mit quantifizierter Forschung verbunden, die untersucht, ob die Neuerung tatsächlich ein besseres Resultat liefert, aber es kann zu einem akademischen Abschluss führen und jemanden im lukrativen Vortragszirkus plazieren. Getrieben von einer progressivistischen Ideologie versuchen sie, Schüler von der Schinderei des Rechnens zu befreien, insbesondere von der schriftlichen Division.

Da die Taschenrechner der 1970er Jahre noch nicht mit Brüchen umgehen konnten, wurden die Lehrpläne dahingehend abgeändert, dass Dezimalzahlen früher eingeführt wurden, und die antiquierten Brüche wurden an den Rand gedrängt. Die Rolle des Bruchrechnens wurde so in der Grundschule reduziert und wurden nun an weiterführenden Schulen nachgeholt. Aber leider wurden die Taschenrechner besser und lernten bald, mit Brüchen umzugehen. Moderne Lehrpläne (wie das Western Canadian Protocol Framework für Mathematik) begannen damit, den Schülern freizustellen, ob sie derartige Rechnungen mit Papier und Bleistift und/oder mit einem Taschenrechner erledigen. In der Folge haben sich zuerst Lehrer und Eltern und dann Arbeitgeber darüber beschwert, dass sich Schüler nach dem Abgang von der Schule als unfähig erweisen, rationale Zahlen zu verstehen und mit ihnen zu rechnen. Lehrer an den High Schools, die sich mit Schülern befassen, welche  Beziehungen zwischen Zahlen nicht internalisiert haben, wie es früher  als Ergebnis der Beherrschung schriftlicher Rechenverfahren der Fall  gewesen ist, haben vermehrt Schwierigkeiten, ihren Schülern den flüssigen Umgang mit rationalen algebraischen Termen zu vermitteln.

Vor wenigen Jahren haben die Hersteller den graphikfähigen Taschenrechner eingeführt. Die Gurus haben sofort die Änderung des Lehrplans verlangt, damit diese Neuerung die Schüler (bereits ohne ein sicheres Gefühl für den Umgang mit Zahlen) auf eine "neue Ebene" des Verständnisses heben könne. Nie mehr sollten sie langwierig die Parameter einer Hyperbel berechnen müssen. Man gibt einfach die Koeffizienten ein und schaut zu, wie kleine Linien auf dem Display erscheinen. Nie mehr würden Schüler die  quadratische Ergänzung beherrschen oder die Gleichung des Einheitskreises auswendig lernen müssen. Der umgehende Abruf aus dem Gehirn konnte ersetzt werden durch einen Mikrochip. Diejenigen, welche die Entscheidungen  getroffen haben, haben sich nie gefragt, wer graphikfähige Taschenrechner nach der High School noch verwendet. Die Tatsache, dass es praktisch überhaupt keine Verwendung für sie gibt wurde übersehen. Die Tatsache, dass Universitäten diese in Klausuren nicht erlaubten, wurde nicht in Erwägung gezogen. Sogar das Konzept des Auswendiglernens, das großartigste Werkzeug für die Entwicklung geistiger Fähigkeiten, wurde verdrängt.

Hier liegt ein logischer Fehlschluss vor, den nur wenige  Bildungsexperten zuzugeben bereit sind. Neue Zugänge zur Mathematik an öffentlichen Schulen postulieren, dass es Schülern auch ohne eingeübte  Grundkenntnisse und einem Gespür für den Umgang mit Zahlen, ohne Fertigkeiten im Rechnen und beim algebraischen Umformen von Termen, sowie ohne Übung im Argumentieren möglich sei, algebraische, trigonometrische und geometrische Prinzipien auf einem Niveau zu verstehen, das es ihnen erlaubt, zu echten Problemlösern in Mathematik zu werden. Die Tatsache, dass weniger als 10 % der Master-Studenten in unserer Provinz Alberta ihre  frühe Ausbildung an öffentlichen Schulen in Nordamerika erhalten haben,  sollte Zweifel an dieser Theorie wecken, welche die Weisheit von Jahrhunderten missachtet. Die Wahrheit ist, dass ohne eine Wertschätzung des Fachs  Mathematik, die bereits in jungen Jahren entwickelt wird, mathematisches Argumentieren und die Entwicklung von mathematischem Potential erschwert wird.

Der neue Zugang basiert auf der Grundidee, dass Technologie untrennbar mit dem Fach Mathematik verbunden ist. Technologie ist aber nur eine Folge der Mathematik. Wirkliche Mathematik ist nämlich unabhängig von Technologie. Heute dagegen ist Technologie der geistlose Motor hinter Erziehungsphilosophie, Lehrplanentwürfen und Lernstandserhebungen.  Mathematisches Argumentieren wird dadurch erschwert und ist zur Geisel dieser anti-intellektuellen technologischen Bewegung geworden.

Während Technologie viele positive Anwendungen in der Erziehung haben mag, etwa um einem Lehrer im Unterricht zu helfen, ist der derzeitige übertriebene Gebrauch ein Problem sowohl aus finanzieller wie aus pädagogischer Perspektive. Die Didaktik behauptet, dass es, weil es so viel Information gibt, unmöglich sei, alles zu wissen. Also müssten Schüler, anstatt sich Wissen anzueignen, in der Beschaffung von Informationen kompetent  gemacht werden. Auch dies ist ein logischer Fehlschluss. Wissen war, ist und wird immer das Rohmaterial des Verstands sein, und ohne eine interne Basis an Wissen werden Kompetenzen nutzlos. Nirgendwo ist dies wahrer als in Mathematik.

Wenn wir handwerkliche Meister haben wollen, welche die unerledigten Arbeiten unserer Vorgänger erledigen sollen, wie Bell bemerkte, dann müssen wir Schüler an öffentlichen Schulen das Wissen und die Fähigkeiten vermitteln, die es ihnen erlauben, genau das zu tun. Wenn die Kaiserin nackt ist, dann ist es die Pflicht derjenigen, die sich dieser Tatsache bewusst sind, so mutig zu sein, um sie zu informieren.

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Dieser Artikel ist, das mag überraschen, bereits 16 Jahre alt. Er stammt aus der Zeitschrift  Pi in the sky vom Juni 2001. Wer sich diesen (oder andere) Artikel im Original zu Gemüte führen mächte, kann dies hier tun.

Stuart Wichowicz war Direktor einer High School in Alberta und hat Abschlüsse in Geographie und Erziehungswissenschaften.


Zum Schluss noch das Urteil eines der größten Mathematiker aller Zeiten, Carl-Friedrich Gauß:

      Aber nicht bloss unsere Armuth documentirt eine solche Art zu 
      urtheilen, sondern zugleich eine kleinliche, engherzige und träge 
      Denkungsart, eine Disposition, immer den Lohn jeder Kraftäusserung 
      ängstlich zu calculiren, einen Kaltsinn und eine Gefühllosigkeit gegen
      das Grosse und den Menschen Ehrende. Man kann es sich leider nicht 
      verheelen, dass man eine solche Denkungsart in unserm Zeitalter sehr 
      verbreitet findet, und es ist wohl völlig gewiss, dass gerade diese 
      Denkart mit dem Unglück, was in den letzten Zeiten so viele Staaten
      betroffen hat, in einem sehr genauen Zusammenhange steht; verstehen 
      Sie mich recht, ich spreche nicht von dem so häufigen Mangel an Sinn 
      für die Wissenschaften an sich, sondern von der Quelle, woraus derselbe
      fliesst, von der Tendenz, überall zuerst nach dem Vortheil zu fragen, und 
      alles auf physisches Wohlsein zu beziehen, von der Gleichgültigkeit gegen
      grosse Ideen, von der Abneigung gegen Kraftanstrengungen bloss aus 
      reinem Enthusiasmus für eine Sache an sich. 

Freitag, 19. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, fünfter Streich

Ein Lob möchte ich dann doch noch loswerden: Unter den vielen bescheuerten Aufgaben aus dem diesjährigen Mathematikabitur in BW war eine, die tatsächlich sehr interessant war. Ich kann beim besten Willen nicht verstehen, wie das passieren konnte.

Schüler übersetzen "interessant" mit "Einserbremse", und das war diese Aufgabe auch: Im Schnitt hat etwa ein Schüler pro Kurs die Aufgabe korrekt gelöst. Hier ist sie:
      Eine Funktion g ist gegeben durch g(x) = x - 1/x3; x ≠ 0.
      (b) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten 
            Abstand zur  Geraden mit der Gleichung y = 2x-1 besitzt.
            Ermitteln Sie die x-Koordinate dieses Punktes.
Wie kann man hier vorgehen? Eine Möglichkeit ist, den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkte auf f(x) = 2x-1 und g(x) hinzuschreiben und das Minimum zu bestimmen. Nehmen wir den Punkt P(a|f(a)) auf dem Schaubild von f und Q(b|g(b)) auf demjenigen von g, dann ist der Abstand d gegeben durch
                              d2 = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
Das ist eine Funktion von zwei Variablen, die im Unterricht eher selten und im Schulbuch eher gar nicht vorkommt. Der Abstand d wird genau dann extremal, wenn dies für d2 gilt, folglich genügt es,  d2 zu betrachten. Nehmen wir b als fest an, wird  d2 zu einer Funktion von a:
       D(a) = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
Setzt man die Ableitung gleich 0, erhält man
      a = (6b4 + 4b3 - 4)/(10b3).
Einsetzen in D(a) liefert
       d2 = (b8- 2b7 + b6 + 2b4 - 2b3 + 1)/(5b).
Wer sieht, dass im Zähler ein Quadrat steht, kann dies in der Form
      d =  (b4 - b3 +1)/(√5b3)
schreiben, jedenfalls wenn man sieht, dass der Zähler b4 - b3 +1 > 0 ist. Nachrechnen kann man das durch die Bestimmung des Tiefpunkts dieser Funktion. Der letzte Schritt besteht in nochmaligen Ableiten und Nullsetzen, was auf b = 31/4 führt.

Nicht einmal das IQB, das den Aufgabenpool überwacht, traut baden-württembergischen Gymnasiasten eine solche Lösung zu. Diese hätten wie folgt vorgehen sollen:
      Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet,
Aber woher wissen wir das? Der GTR zeigt uns ja nur, dass es für, sagen wir, |x| < 10 keine Schnittpunkte gibt. In A 1.1. mussten wir die Käuferzahlen bis nach dem Ende des Universums als monoton steigend nachweisen, und hier mogeln wir uns mit dem GTR durch? Das verstehe, wer will. Der Nachweis, dass g die Gerade nicht schneidet, läuft auf die Gleichung x4 - x3 + 1 = 0 hinaus. Die üblichen Techniken (in BW gibt es nur noch zwei: Ausklammern und Substitution) greifen hier nicht, aber man kann, wie wir schon gesehen haben, das Problem umschiffen, indem man die Tiefpunkte dieser Funktion ausrechnet. Man muss halt nur darauf kommen.
        Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet, muss
        die Tangente an den Graphen von g im gesuchten Punkt Q(v|g(v))
        parallel zur gegebenen Geraden sein.
Das wollen wir gerne glauben, aber wem? Im Schulbuch findet sich kein Satz,
der einem so etwas auch nur nahelegen würde. Ein solcher Satz könnte in etwa so aussehen:
      Satz 1. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
      Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
      von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist f '(x) = g '(x).
Man muss den Satz etwas genauer formulieren, um Probleme mit Randpunkten auszuschließen, etwa wenn g(x) = √x und f(x) = -x-1 ist.

Setzt man f(x) = mx + c, so kann man diesen Satz wie im Spezialfall oben beweisen (Ableiten nach a, Nullsetzen, Einsetzen, Ableiten nach b, Nullsetzen),
dass
      d2 = (f(b) - g(b))2/(m2+1)
gilt. Wenn sich f und g nicht schneiden, folgt durch Ableiten und Nullsetzen
     f'(b) = g'(b).

Man sieht auch, dass das Minimum von d dort angenommen wird, wo | f(x) - g(x) | minimal wird, wo also die vertikale Differenz am kleinsten ist:

      Satz 2. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
      Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
      von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist auch die vertikale 
      Differenz  | f(x) - g(x) | minimal.

Schüler, die den unbewiesenen Satz 1 benutzt haben, bekamen die volle Punktzahl.
Schüler, die den unbewiesenen Satz 2 benutzt haben, bekamen keinen Punkt, denn dieser Ansatz ist ja ein Denkfehler. Hier lautet die Frage also, wie richtig eine Lösung sein muss, damit man dafür Punkte vergeben kann.


   

Mittwoch, 17. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, vierter Streich

Analysis also. Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Käufer soll, so will es die Aufgabe, beschrieben werden durch die Funktion f mit (eine der beliebten "mit"-Konstruktionen; vermutlich lernt man heute auf der Grundschule, dass 2 * 2 gleich der Zahl a mit a = 4 ist)
       f(t) = 6000 t e-0,5 t
(t in Monaten nach der Einführung und f(t) in Käufer pro Monat).

Mathematisch betrachtet ist dies natürlich ein Ding der Unmöglichkeit: die Funktion, welche die Anzahl der Käufer beschreibt, ist eine Treppenfunktion, und deren Ableitung ist überall dort, wo sie existiert, gleich 0. Aber will wollen nicht päpstlicher sein als der Papst, jedenfalls noch nicht. Machen wir das Spiel also mit.

Dazu müssen wir zeigen, dass f für alle t > 2 streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt. Das ist soweit kein Problem. Komisch ist der zweite Teil der Aufgabe b):

      Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen.

Mit Käuferzahlen sind die Werte der Funktion F gemeint, die durch  F(0) = 0 und F' = f festgelegt ist, also nicht die Käuferzahlen pro Monat, wie die meisten Schüler und die meisten Erstkorrektoren gemeint haben. Manche Schüler haben den Aufgabenstellern auch die Dämlichkeit der Frage erklärt und geschrieben, dass die Anzahl der Käufer ja schlecht abnehmen könne, wenn niemand die App zurückgibt. Sei's drum.

 Weil f positiv ist, so die Musterlösung, muss die Anzahl der Käufer immer zunehmen, und weil f ' negativ ist, wird diese Zunahme immer kleiner.

Das sieht bestechend aus, weil man es genau so gelernt hat. Es ist aber falsch. Die Funktion F kann man ausrechnen, wenn man vor mindestens 25 Jahren in BW zur Schule gegangen ist oder derzeit in Thüringen zur Schule geht; partielle Integration ergibt nämlich
          F(t)  = 24000 - 24000 e-0,5t - 12000 t e-0,5t .
Hieraus folgt unmissverständlich, dass die Anzahl der Käufer gegen 24.000 strebt.
Die Anzahl der Käufer wird also nicht immer zunehmen, denn wenn der letzte der 24.000 die App gekauft hat, kauft sie keiner mehr. Und wenn die Anzahl der Käufer nicht mehr zunimmt, dann kann die Zunahme auch nicht geringer werden.

Dies zeigt, dass man die Positivität von f und die Monotonie von f ' gar nicht in Bezug auf die Käuferzahlen interpretieren kann, und dass die angegebene Lösung falsch ist. Das Bildungsministerium und das Regierungspräsidium wissen das seit letzten Mittwoch (oder, wenn sie genauso spät arbeiten mussten wie die Erstkorrektoren, denen man ganze 4 Werktage zum Korrigieren von 40 Abiturarbeiten gegeben hat, seit letzten Dienstag abend), halten aber still.
Vermutlich will man hier von Hamburg lernen, bei denen es manch ein Abitur in zwei Ausfertigungen gibt: eines, das die Schüler zu bearbeiten hatten, und eines, in dem man nachträglich Fehler korrigiert hat. Aber auch in Hamburg schweigt man dazu in den zuständigen Ministerien eisern und antwortet auf Nachfragen lieber nicht.

Und was bedeutet es, dass die Techniken, die man Schülern im Zusammenhang mit den Pseudomodellierungen beibringt, falsche Ergebnisse liefern? Mich erinnert das an einen Satz von Charlie Brown, der Mitleid mit seinem Kumpel Linus hatte, weil dieser doppelt so lange zur Schule gehen müsse wie er selbst: einmal, um all die Dinge zu entlernen, die Lucy ihm beigebracht hat, und dann noch einmal, um die Sachen richtig zu lernen. So ähnlich sieht es in BW wohl auch aus, außer dass es nicht nur Linus betrifft, sondern alle, die später irgendein mathematiklastiges Studium aufnehmen wollen. Alle andern werden den Schrott ohnehin schnell vergessen.

Dienstag, 16. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, dritter Streich

Bevor wir zur ganz großen Katastrophe, dem Wahlteil Analysis A1, kommen, geben wir heute ein paar Kommentare zur Einkleidungen der Aufgaben ab. Und davor, wie auf youtube, etwas Werbung. Mein Kollege Hans-Jürgen Matschull hat auf seiner Seite einen großen Artikel zum Abitur 2016 in Niedersachsen und einen zum diesjährigen Abitur 2017, die beide gelesen werden möchten - es lohnt sich.

Ob man die Vektorrechnung erfunden hat, um Aufgaben über Quader zu lösen, wage ich zu bezweifeln. Aber was soll man machen, wenn der Geometrieunterricht nur noch Punkte, Geraden und Ebenen kennt. Nach schiefen Häusern, unpraktischen Pralinenschachteln und seltsamen Truhen ging es dieses Jahr um einen Quader. Damit das nicht nur ein ganz popeliger Quader ist, sondern einer aus der Lebenswelt der Schüler und Schülerinnen, muss noch etwas dazu. Und weil man in Stuttgart Phantasie hat, ging die heurige Aufgabe so los:

     Ein Künschtler teilt einen quaderförmigen Container durch einen ebenen
     Schnitt in einen großen und einen kleinen Teilkörper.

 Gut, ich gebe zu, ich habe etwas gemogelt. In Wirklichkeit war es kein Künschtler, sondern ein Künstler. Vermutlich einer von der Sorte, die von Kunst soviel verstehen wie die meisten Mathematikdidaktiker von Mathematik. Der Künschtler jedenfalls taucht im Rest der Aufgabe nicht mehr auf, selbst dann nicht, als der kleine Teilkörper mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt wird. Vermutlich hat das seine Frau gemacht, denn hinter jedem großen Künschtler steckt eine große Frau. Allerdings fragen sich Frauen, das habe ich jetzt gelernt, wie man etwas "nach unten auf den großen Teilkörper" setzen kann.

Dass die Frau nicht mehr auftaucht, entspricht übrigens nicht den Richtlinien, die heutzutage an Aufgaben aus der Lebenswelt der Schüler und Schülerinnen gestellt wird: in jeder Aufgabe müssen gleich viele Männlein wie Weiblein vorkommen. Oder wir sind schon einen Schritt weiter und der Künschtler war irgendwie transsexuell. Vorschlag für die Geometrieaufgabe für nächstes Jahr: Der Berliner Senat plant eine quaderförmige Unisex-Toilette. Darin fliegt eine Fliege auf einer Kreisbahn um den Punkt - aber ein bisschen was sollen die Experten in Stuttgart ja auch noch machen. Dafür werden sie ja bezahlt.

Die andere Aufgabe war eine, bei der man schon beim Lesen einschläft, weil sie schon ein gefühltes Dutzend mal dran war: zwei punktförmige Flugzeuge bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit auf Geraden. Leider wird nicht erklärt, wie punktförmige Flugzeuge ihren Auftrieb erzeugen, und dasselbe gilt für den punktförmigen Ballon, der in c) auftaucht. Damit die Fragen nicht ganz so banal klingen, werden sie sprachlich etwas aufpoliert: so soll nicht etwa der Steigungswinkel der Flugbahn bestimmt werden, sondern die Weite des Winkels, mit dem das zweite Flugzeug steigt.

Von allen Fragen über punktförmige Flugzeuge, die keinen normalen Menschen interessieren (würden Sie wissen wollen, dass sich die Flugbahnen der punktförmigen Flugzeuge schneiden?), war die in Teil c) sicherlich die bescheuertste der letzten 10 Jahre: Die Punkte auf der Meeresoberfläche, die zu dem Zeitpunkt, in dem die beiden Flugzeuge denselben Abstand zum Ballon haben, ebenfalls von beiden Flugzeugen gleich weit entfernt sind, liegen auf einer Geraden. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung dieser Geraden bestimmen kann. Die Lebenswelt lässt grüßen.

Und jetzt zu Ana 1.1.

      Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll
      modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben
      durch die Funktion f mit 

Es soll also etwas modelliert werden. Die Anzahl der Käufer. Wie macht man das? Man nimmt die Anzahl der Käufer in jedem Monat und legt per Regression irgendeine Funktion darüber, die der Taschenrechner kennt. Damit löst man dann die Probleme, die beim Verkauf von Smartphone-Apps so auftreten, etwa die Bestimmung  Gesamtzahl der Käufer in den ersten sechs Monaten. Sicherlich hätte man dazu einfach die Verkaufszahlen der ersten 6 Monate addieren können, aber dann hätte sich der Nutzen eines graphikfähigen Taschenrechners nicht gezeigt. Wenn man die Funktion F der Gesamtzahl aller Käufer hat, kann man die momentane Änderungsrate f = F' bestimmen - nicht dass das jemanden interessieren würde, aber man kann es machen. Man könnte sogar fragen, wann diese momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist, aber warum sollte man das wissen wollen? Interessanter (nun ja) wäre es sicherlich zu fragen, wann die Anzahl der Käufer pro Monat größer als 4000 ist. Das ist aber erstens etwas ganz Anderes und zweitens etwas, was wir ja von Anfang an wussten, weil man das an den Verkaufszahlen ablesen kann, von denen wir ausgegangen sind.

Um den Nutzen der modernen Mathematik für die Lebenswelt der Schüler (und Schülerinnen) nachzuweisen, geht man jetzt von der momentanen Änderungsrate f aus und bestimmt rückwärts die Zahlen, die man beim Herleiten von F hineingesteckt hat. Wer sich davon nicht von der unglaublichen Anwendbarkeit der Mathematik überzeugen lässt, dem ist wohl nicht mehr zu helfen.

Ist übrigens jemandem aufgefallen, dass der Aufgabentext nicht erwähnt, wovon f die momentane Änderungsrate ist? Nicht dass das irgendeinen Schüler gestört hätte. Man hat das solange geübt, dass die Aufgaben auch mit dem halben Text auskommen würden.

 Im vierten Streich geht es morgen dann wieder um einen richtigen Fehler.

Montag, 15. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, zweiter Streich

Heute schauen wir uns den zweiten Teil der Pflichtteilaufgabe 4 an:

       Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle.

Diese Frage ist verwandt mit einer, die in den letzten Jahren im Internet kursiert:

       Berechne 6/2*(1+2).

Natürlich weiß ich, dass man in einer solchen Verkettung von gleichberechtigten Operatoren die Aufgabe von links nach rechts zu lesen hat: Man muss also erst 6/2 = 3 und dann 3(1+2) = 9 rechnen.

Auf der andern Seite ist jemand, der statt des eindeutigen 6*(1+2)/2 die obige Variante hinschreibt und das gleiche meint, entweder bescheuert oder hinterhältig oder beides. Wenn ich x/2sin(x) schreibe, meine ich nämlich den Ausdruck, der 2 *sin(x) im Nenner hat, und wenn es um (x/2) * sin (x) geht, schreibe ich x sin(x)/2.

Ebenso vermute ich, dass die Aussage "Die Funktion f hat eine Nullstelle" bedeutet, dass sie mindestens eine Nullstelle besitzt. Wenn es aber darum geht, ob eine Funktion eine oder mehr als eine Extremstelle hat und man die Frage absichtlich so stellt, dass möglichst viele Schüler darauf hereinfallen, dann ist der Aufgabensteller ein geistiger Tiefflieger, wenn er die Probleme nicht gesehen hat, oder hinterhältig, wenn er es mit Absicht gemacht hat.

Jedenfalls haben die Erstkorrektoren der Arbeiten, die ich gerade korrigiere, nur die Musterlösung gelten lassen und Antworten wie "Die Aussage ist falsch, weil eine Funktion 4. Grades auch mehr als eine Extremstelle besitzen können" als falsch gekennzeichnet.

Die Musterlösung verrät uns, dass die Schüler wie folgt hätten vorgehen sollen: Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, und von der wissen wir, dass sie eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

Woher wissen wir, dass ganzrationale Funktionen 3. Grades einen Vorzeichenwechsel besitzen? Das Schulbuch kann es nicht bewiesen haben, weil man dazu eine Definition eines Vorzeichenwechsels braucht, und die findet man im Lambacher-Schweizer nicht. Wenn wir uns die Definition eines Vorzeichenwechsels aus Wikipedia holen, müsste man zu einem Beweis zeigen, dass eine ganzrationale Funktion f vom Grad 3 für x gegen unendlich nach oben geht, wenn sie für x gegen -unendlich nach unten geht, und andersherum, und dann aus der Stetigkeit schließen, dass eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel existiert. Weil der Begriff der Stetigkeit aber kein Schulstoff mehr ist, geht das auch nicht. Selbst der Beweis, dass x3 + ax2 + bx + c für große x gegen Unendlich geht, dürfte heutige Schulbuchautoren überfordern, denn mit mehr als zwei Buchstaben in einem Ausdruck kommen heutige Schüler wegen der Abschaffung der Algebra nicht mehr zurecht, und Ungleichungen kennen sie nicht einmal vom Hörensagen.

Im Wesentlichen müssen wir also den vielen Beispielen und dem GTR glauben, dass ganzrationale Funktionen dritten Grades eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel haben, und daraus schließen, dass ganzrationale Funktionen vom Grad 4 eine Extremstelle haben.

Ist das "mathematisches Argumentieren"? Arg viel besser als die Antwort, jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 habe eine Extremstelle, weil sie parabelförmig aussieht, ist das wohl nicht, denn wenn ich wissen soll, wie eine Funktion 3. Grades aussieht, dann werde ich ja wohl auch wissen dürfen, wie Funktionen 4. Grades aussehen. Kann man die letzte Aussage daher als Begründung durchgehen lassen? Wenn ja, was ist mit "jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 hat eine Extremstelle, weil sie eine Parabel ist"? Nun, ganzrationale Funktionen vom Grad 4 sind keine Parabeln (also Kegelschnitte - wobei kaum ein Schüler weiß, was das ist), außer man nennt sie Parabeln höherer Ordnung. Aber dann sind kubische Parabeln auch Parabeln, und die haben keinen Extrempunkt. Wir sind also wieder bei der Diskussion, wie falsch eine Antwort sein darf, bis sie nicht mehr als korrekt gewertet werden kann. Darauf gibt die Musterlösung leider keine Antwort.

Dieses war der zweite Streich, doch der dritte folgt sogleich.

Sonntag, 14. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, erster Streich

Ich habe ja bereits angedeutet, dass einige Aufgaben im Mathematik-Abitur (mit Bindestrich für Leser aus Schleswig-Holstein) 2017 hierzulande etwas, sagen wir, gewöhnungsbedürftig sind. Ich habe das dem Ministerium am Dienstag zu verstehen gegeben, aber keine Antwort erhalten. Ich werde mir daher ab heute jeden Tag einen Fehler vornehmen und hoffe, bis zum Ende der Zweitkorrektur dann durch zu sein. Wer mir eine Dienstaufsichtsbeschwerde an den Hals wünscht, weil ich Details aus den Lösungen veröffentliche: ich unterrichte am Gymnasium St Gertrudis in Ellwangen.

Wir beginnen mit Aufgabe 4.(1) des Pflichtteils.

      Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle.

Dies ist eine legitime Aufgabe, sieht man von der Tatsache ab, dass die Funktion auf einem offenen Intervall definiert und dort differenzierbar sein sollte, damit man diese Frage überhaupt stellen kann. Aber wir wollen nicht kleinlich sein.

Die Musterlösung gibt f(x) = x3  als Gegenbeispiel, obwohl f(x) = 0 ein schöneres gewesen wäre. Von 82 Lösungen, die ich bisher gesehen habe, hat aber keine das erste (und nur eine das zweite) Beispiel benutzt.

Vielmehr haben die meisten Schüler völlig richtig geschrieben, dass, wenn die Ableitung 0 ist, die Funktion auch einen Sattelpunkt haben könne. Manche Schüler allerdings haben noch mehr von ihrem Wissen preisgegeben und geschrieben, dass die Ableitung eine Nullstelle mit VZW von + nach - haben müsse, damit f dort einen Hochpunkt besitzt. Das lernt man auf der Schule zwar so, ist aber falsch. Richtig ist nur die Umkehrung: wenn f' einen Vorzeichenwechsel von + nach - besitzt, dann hat f dort einen Hochpunkt.

Natürlich ist es wenig sinnvoll, Schüler dafür zu bestrafen, dass man ihnen falsche Dinge beigebracht hat. Die Frage stellt sich aber doch, wie falsch eine Lösung denn nun sein darf, bevor man sie nicht mehr als korrekt werten kann.

Schauen wir erst einmal in den Lambacher-Schweizer 6 (Klasse 10), in dem es um Vorzeichenwechsel geht. Arg viel schlauer wird man daraus nicht, weil dort gar nicht definiert ist, was ein Vorzeichenwechsel (oder ein Hochpunkt) überhaupt ist, sondern nur eine Zeichnung mit einem Beispiel dafür drinsteht.

Die Probleme beginnen bei der Frage nach Montonie. Der Monotoniesatz auf S. 51 besagt, dass eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion f streng monoton wachsend ist, wenn dort f'(x) > 0 gilt. Weiter steht da, dass die Umkehrung falsch ist, wie das Beispiel f(x) = x3  zeigt.

Der Beweis ist ein Meisterwerk der modernen Lehrbuchliteratur, sodass wir ihn vollständig wiedergeben wollen:

     Ist die Ableitung positiv, so kann die Funktion nur streng monoton 
     wachsend sein.

Hoch- und Tiefpunkte folgen auf S. 54:

     Bei differenzierbaren Funktionen kann man die Extremstellen und
     Extremwerte mithilfe der Ableitung bestimmen.

     Damit f an der Stelle x0 ein lokales Maximum besitzt, muss die 
     Funktion in der Umgebung von x0 links von x0 monoton zunehmen 
     und rechts von  x0 monoton abnehmen.

     Dies ist nach dem Monotoniesatz der Fall, wenn f'(x) links von x0 
     größer als 0 und rechts von x0 kleiner als 0 ist. Man sagt dann, 
     dass f' an der Stelle x0 einen Vorzeichenwechsel (VZW) von  + 
     nach - hat.

Der Nachteil von "Definitionen durch Beispiel" ist, dass man damit nicht wirklich etwas anfangen kann. So ist es auf Grund dieses Vorgehens nicht möglich zu entscheiden, ob die Funktion f(x) = 1/x in x=0 einen Vorzeichenwechsel hat oder nicht. Nach dem, was im Lambacher-Schweizer steht, müsste die Antwort lauten, dass ein VZW vorliegt; andererseits hat die Stammfunktion F(x) = ln(x) dort keine Extremstelle.

Schauen wir uns den Beweis etwas genauer an: damit es ein Maximum gibt, muss
die Funktion links davon streng monoton steigen. Dann ist nach dem Monotoniesatz f'(x) > 0  und rechts davon ist f'(x) < 0, sodass die Ableitung in  x0 einen Vorzeichenwechsel von  + nach - hat. Ein Schönheitsfehler hierbeit ist, dass das gar nicht der Monotoniesatz ist, sondern dessen falsche Umkehrung. Der zweite Schönheitsfehler ist, dass das gar nicht dasteht. Was dasteht ist folgendes:
  • f ist links von   x0  streng monoton steigend, rechts davon fallend.
  • Wenn f'(x) > 0 links von  x0 und f'(x) < 0 rechts von  x0  dann ist f links von   x0  streng monoton steigend, rechts davon fallend.
Mit anderen Worten: es ist A ⇒ C und B ⇒ C, und wenn das mal kein Grund dafür ist, dass auch A ⇒ B ist, dann weiß ich auch nicht.

Der "Beweis" im Lambacher-Schweizer ist also eher peinlich als überzeugend. Das macht aber nichts aus, schließlich ist der dazugehörige Satz ja auch falsch. Das dazugehörige Gegenbeispiel ist die Funktion

      f(x) = x4 (2 + sin 1/x)

mit f(0) = 0. Diese ist differenzierbar mit

      f'(x) = x^2[4x(2 + sin 1/x) - cos(1/x)]

und f'(0) = 0. Nun ist es leicht zu sehen, dass f in x=0 einen Tiefpunkt hat, denn es ist f(0) = 0 und f(x) > 0 für alle x ≠ 0. Weiter ist der Term cos(1/x) dafür verantwortlich, dass f' in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 das Vorzeichen unendlich oft wechselt. Es gibt also keinen VZW von - nach +.

Natürlich muss man das im heutigen Schulunterricht nicht erklären. Natürlich muss es auch nicht im Schulbuch stehen. Aber ebenso natürlich darf man dann halt im Abitur nicht danach fragen.

Dieses war der erste Streich, doch der zweite folgt sogleich.
    

Donnerstag, 11. Mai 2017

They shoot horses, don't they?

They shoot horses don't they? ist ein schönes und fast vergessenes Lied von den Racing Cars aus den späten 1970ern, und es gibt auch einen Film mit diesem Titel. Eigentlich ist es aber eine englische Redewendung, die besagt, dass man Pferde, die sich die Beine gebrochen haben, durch einen Gnadenschuss erlösen sollte.

Zum Thema: Klett hat mir heute wieder einmal einen Link geschickt, bei dem man ein kostenloses Arbeitsblatt herunterladen kann. Normalerweise lösche ich das Zeug ungelesen, aber heute wollte ich mal nachsehen, was die sich so ausdenken. Es geht, wie ich festgestellt habe, um eine Aufgabe aus der Lebenswelt der Schüler, nämlich den Fußballplatz. Schon der erste Satz ist vom Feinsten:

     Ein Sportplatz liegt in der positiven x1x2-Ebene.

Das hilft jedem weiter, der weiß, was eine positive x1x2-Ebene ist. Ich kann mir denken, was in den Köpfen der Aufgabensteller vorgegangen ist, wage aber dennoch zu fragen, was denn dann eine negative Ebene ist.

Dann folgt der übliche Schmuh mit punktförmigen Fußbällen auf Parabelbahnen. Ich kann den Scheiß nicht mehr hören. Echt. Aber dann geht es so weiter:

     Ein Fußballtor hat eine Höhe von 2,44 Metern und eine Breite von 7,32 
     Metern. Die Sonne steht im Punkt S (28 | ‒ 15 | 10) hinter dem Torwart. 

Die Einheiten sind in Meter angegeben. Die Sonne steht also keine 40 Meter hinter dem Torwart in der Luft. Heiß. Wie krank muss ein Hirn sein, das sich so etwas ausdenkt? Wie bescheuert muss der Klett-Verlag sein, wenn er mit solchen Aufgaben für seine Bücher wirbt? Ich weiß die Antwort nicht.

     Das Sonnenlicht kann als konzentrisch angenommen werden.

Oh ja. Das Sonnenlicht kann als konzentrisch angenommen werden. Ich gebe zu, dass ich etwas gebraucht habe, bis ich verstanden habe, was damit gemeint ist. Damit ist gemeint, dass die Sonne, wie der Fußball, punktförmig sein soll. Nur hat das nichts mit konzentrisch zu tun. Zwei Kreise sind konzentrisch, wenn sie denselben Mittelpunkt haben, aber Sonnenlicht ist kein Kreis. Die Aufgabensteller haben also inzwischen so wenig Ahnung von Geometrie, dass sie nicht mehr wissen, was konzentrisch bedeutet, schrecken aber gleichzeitig nicht davor zurück, Wörter zu benutzen, deren Bedeutung sie nicht kennen. Die wissen nicht einmal, dass sie nichts wissen. Es ist einfach nur schrecklich.

Natürlich muss man jetzt den Schatten des Tors ausrechnen (ohne die zusätzliche Angabe, dass die Latten keine Ausdehnung besitzen, also Strecken sind). Das, so das Arbeitsblatt, ist eine Aufgabe auf unterstem (man sagt: einfachstem) Niveau. Darauf folgt eine Aufgabe auf mittlerem Niveau:

      Berechnen Sie mithilfe der Vektorrechnung den Flächeninhalt des Tores.

Und Petrus ging hinaus und weinte bitterlich. Tatsächlich entblöden sich die Hanswurste (und Hanswurstinnen, vermute ich) von Klett nicht, den Flächeninhalt eines Rechtecks mit Hilfe des Kreuzprodukts auszurechnen.

Die Leitidee Daten und Zufall darf natürlich auch nicht fehlen:

       Bei einem Torwarttraining schießt er 100 Bälle von seinem Fünfmeterraum 
       in Richtung Mittelkreis. Es wird unterstellt, dass es sich dabei um ein 
       Bernoulli-Experiment handelt.

So stelle ich mir ein Torwarttraining vor. Als Bernoulli-Experiment. 100 mal schießen, ohne dass man sich verbessert. Da fragt man sich, wer hier am meisten Zeit totschlägt: Der Torwart, dem sein Training aber auch gar nichts nutzt, die Aufgabensteller, die allem Anschein nach nicht ganz bei Trost sind, oder Schüler, die solche Aufgaben rechnen. Freiwillig. Als Training.

       Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung dieses 
       Experiments.

Es wird nicht besser. Eine Zufallsvariable hat einen Erwartungswert, ein Zufallsexperiment dagegen nicht. Daten und Zufall können sie also auch nicht.

Es ist zum Heulen. Wer in den 1970ern aus den Lambacher-Schweizer-Büchern Mathematik gelernt hat, kann so einen Bockmist nicht ertragen. Es ist Zeit für den Gnadenschuss.

Mittwoch, 10. Mai 2017

Mathe-Abi 2017 BW: Hafer- und Bananenblues

Warum das Abitur in BW Staatsgeheimnis ist, bis die Korrektur vorbei ist, weiß ich nicht. In skandinavischen Ländern stehen die Abituraufgaben am nächsten Tag in der Tageszeitung, Bayern setzt sie am darauffolgenden Tag ins Netz, und in BW muss man Angst haben, ins Gefängnis zu kommen, wenn man die Lösungen veröffentlicht, bevor die Einspruchsfristen verjährt sind. Noch schlimmer ist es, glaube ich, nur noch in Hessen, wo man für einen Satz alter Abiaufgaben dem Ministerium Hunderte von Euro bezahlen muss.

Weil ich auch nicht gerne mit einem Fuß im Knast stehe, muss ich also Vorsicht walten lassen und stelle eine Frage, wie sie dieses Jahr im Abitur nicht dran war: Haben die Affen auf den folgenden Bildern eine Banane?




Nun kann man  bei allen drei Bildern sicherlich mit "Ja" antworten. Das Äffle hat eine Banane, der Schimpanse hat eine in der rechten und mindestens vier in der linken Hand, und der letzte hat sogar ganz viele.

Andererseits könnte man auch alle drei Fragen mit "Nein" beantworten, denn die Banane vom Äffle ist keine richtige, der Schimpanse hat mehr als eine, und im dritten Bild sieht es eher so aus, als hätten die Bananen einen Affen und nicht umgekehrt.

Wenn man so eine Aufgabe im Abitur stellt, muss man also präzisieren, was mit "Banane" und was mit "eine" gemeint ist.

Um die Sache etwas mathematischer zu machen: Die Antwort auf die Frage "Hat die Funktion f(x) = x2 - 1 eine Nullstelle?" hängt davon ab, ob man das Wort "eine" oder das Wort "Nullstelle" betont. Im ersten Fall lautet die Antwort Nein, weil die Funktion nicht eine, sondern zwei Nullstellen hat, im zweiten ist die Antwort "Ja" richtig. Wenn man also so eine Frage im Abitur stellt, dann muss man sie entweder vorlesen, oder man muss fragen, ob f genau eine Nullstelle oder mindestens eine Nullstelle hat. Dann hat die Frage eine eindeutige Antwort, egal wie man sie liest.

Wenn nun eine ganz ähnliche Frage in BW im Abitur steht, die von erfahrenen Lehrern erstellt und geprüft, im IQB noch einmal bearbeitet und dann aus dem Pool entnommen worden ist, dann fragt man sich schon, warum diese Zweideutigkeit keiner der Experten gesehen hat.

Montag, 1. Mai 2017

Gender und Genderinnen

Neulich fand der March for Science statt. Viele haben dafür geworben und mitgemacht, unter anderem auch die Uni Witten/Herdecke. Was auf den zweiten Blick etwas überrascht, denn dort gibt es etwas, was man an andern deutschen Unis bislang noch vergeblich sucht, nämlich eine Universitätsprofessur für Lebensqualität, Spiritualität und Coping.

Nicht mehr ganz so jung, aber auch aus der Reihe "Was es nicht so alles gibt", sind die Lehrstühle für Mathematik und Gender Studies, die neuerdings aus der deutschen Universitätslandschaft sprießen wie Löwenzahn. Auf diesen Gebiet wird also inzwischen ernsthaft geforscht. Ein Ergebnis dieser Forschung findet man hier. Bettina Langfeldt und Anina Mischau aus den Genderhochburgen Hamburg und Berlin beschweren sich in diesem Artikel darüber, dass sie mit ihrer Forschung der Zeit weit voraus sind. Dabei wäre ihre Arbeit für die gesunde Ausbildung von Lehrern eigentlich unabdingbar, denn

     Genderkompetente Lehre impliziert gute Lehre, gemäß der 
     Definition, dass eine gute Lehrkraft über ein "großes 
     Repertoire an wirksamen Lehrstrategien, Lehrmethoden und 
     Lehrfertigkeiten" (WEINERT, 1996, S.146) verfügt und diese 
     gendersensibel einsetzen kann.

Die Autorinnen berufen sich hier auf eine "Definition" einer guten Lehrkraft von Weinert. Bei ihm heißt es dazu

     ein guter Lehrender verfügt über ein großes Repertoire an 
     wirksamen Lehrstrategien, Lehrmethoden und Lehrfertigkeiten, 
     die sich durch enge, empirisch gesicherte Zusammenhänge mit 
     überdurchschnittlichen Schülerleistungen bewährt haben.

Dazu gibt es Einiges zu sagen.
  1.  Das ist keine Definition eines guten Lehrers, ebensowenig wie "Ein gutes Haus hat Fenster" eine Definition eines guten Hauses ist. Weinert gibt hier eine Eigenschaft an, die ein guter Lehrer seiner Meinung nach haben sollte. 
  2.  Die Autorinnen setzen an die zitierte Weinertsche Definition die Bedingung, dass der Lehrer dieses Repertoire "gendersensibel einsetzen kann". Das ist nicht Teil der Weinertschen Definition. So geht man nicht mit Quellen um.
  3. Selbst wenn es die Weinertsche Definition wäre und nicht die Erfindung der beiden Autorinnen, dann würde sie besagen, dass ein guter Lehrer sein Repertoire "gendersensibel einsetzen kann". Die Behauptung "Genderkompetente Lehre impliziert gute Lehre", welche die Autorinnen aus der gefälschten Definition ableiten wollen, zeigt, dass sie nicht verstanden haben, dass A ⇒ B und B ⇒ A zwei ganz verschiedene Aussagen sind. Aus "Jedes Quadrat ist ein Rechteck" folgt eben nicht, dass jedes Rechteck ein Quadrat ist, und aus "jeder gute Lehrer unterrichtet genderkompetent" folgt nicht, dass wer genderkompetent unterrichtet, ein guter Lehrer ist. Früher hat man das in der allerersten Vorlesung eines Mathematikstudiums gelernt, heute kann man die Arbeitsgruppe "Gender Studies in der Mathematik" an der FU Berlin leiten und es zur Gastprofessur für Gender Studies in der (Didaktik der) Mathematik bringen, wenn man vom einfachsten logischen Schluss keine Ahnung hat. Zumindest, würde ich bemerken, wenn ich böse wäre, als Frau. 
Gendergeforscht wird auch anderswo: Frau Prof.  Andrea Blunck zitiert in ihrer Präsentation die "These von Ellen Harlizius-Klück", wonach die Sätze der Arithmetik Euklids aus der von Frauen ausgeführten Musterweberei stammen.
Darauf muss man erst mal kommen. Man hat sich ja langsam daran gewöhnt, dass der Satz des Pythagoras von Frau Pythagoras (Theano) und die Relativitätstheorie von Frau Einstein stammen soll, während die Bücher Diophants ganz zweifellos zum größten Teil von Hypatia geschrieben worden sind. Ein Ende der genderbewussten Geschichtsschreibung ist noch nicht absehbar.

Auch an der PH Ludwigsburg ist die Genderista aktiv. Dor findet man den Artikel "Geschlechtsspezifische Unterschiede im Gehirn und mögliche Auswirkungen auf den Mathematikunterricht" von Birgit Ulmer,  für den sie den Genderpreis der PH Ludwigsburg im Jahr 2005 erhalten hat (das muss bitter sein, wenn man keine Preisin erhält).

Frau Ulmer zeigt gleich zu Beginn, wie viel sie von logischem Schließen versteht:

    Der Test wurde an einer Mädchenrealschule ohne eine 
    Begründung abgelehnt. Man hatte wahrscheinlich Bedenken 
    schlechter abzuschneiden als eine gemischte Realschule.

Dann beklagt sie sich über die schlechte Welt:

      Leider herrscht das Vorurteil, dass Mädchen in 
      Naturwissenschaften den Jungen unterlegen sind, immer noch 
      vor. Wie kann man diesen Vorurteilen entgegenwirken?      

Ganz einfach, sagt sie sich: mit einer Studie. Leider gibt es eindeutige Ergebnisse:

     Erschreckend ist, dass Mädchen generell schlechter abschneiden 
     als Jungen. . . .  Weiterhin ist ersichtlich, dass Mädchen bei 
    Transfer-Aufgaben große Schwierigkeiten haben.

Das scheint das Vorurteil nur vordergründig zu bestätigen. In Wirklichkeit ist alles viel komplizierter:

      Mathematik kann man eben oder kann man nicht - dieser Satz 
      kommt Mathematiklehrern nur allzu oft über die Lippen.
      Besonders den Mädchen wird suggeriert, dass Frauen und 
      Naturwissenschaften nicht zusammen passen.

Mathematiklehrer  sind also schuld, und zwar, wie man an der ungegenderten Berufsbezeichnung erkennen kann, nur die männlichen. Als Mathematiklehrer an einem Mädchengymnasium kann ich bestätigen, dass der Satz "Mädchen sind zu doof für Mathe" unser tägliches Mantra ist. Außer der Abschaffung männlicher Mathematiklehrer gibt es noch eine zweite Therapie:

     Dass Mathematik auch Spaß machen kann, ist leider vielen Schüler 
     nicht bewusst. Dem kann Abhilfe geschaffen werden, indem mehr 
     Alltagsphänomene mit der Mathematik verbunden werden.

Inzwischen gibt es kaum noch eine Mathematikstunde ohne Alltagsphänomene, aber der Spaßfaktor in Mathematik ist dadurch nicht gewachsen. Nicht einmal, möchte ich aus Erfahrung behaupten, bei Mädchen.

Da bleibt wohl nur die harte Kur, die man an der Wayne State University begonnen hat: dort hat man die Mathematikkurse zugunsten von "irgendetwas mit diversity" abgeschafft. Wenn also das ganze Gendern nicht hilft, bleibt das als Ausweg, und alle Universitäten, die jetzt schon Genderlehrstühle in Mathematik und Naturwissenschaften haben, werden dann im Vorteil sein.  

Zu guter Letzt ein Hinweis auf das Theaterstück Die Wolken des Aristophanes, das schon fast 2500 Jahre auf dem Buckel hat. Darin macht sich Aristophanes über die Sophisten seiner Zeit lustig, als deren Chef er Sokrates gesehen hat. Dieser soll dem verschuldeten Bauern Strepsiades die Kunst beibringen, Unrecht zu Recht zu machen, damit er seine Schulden nicht bezahlen muss. Sokrates lässt ihn männliche Tiere nennen, und Strepsiades nennt Widder, Stier, Bock, Hund und Spatz. Sokrates erklärt ihm, dass es nicht angehe, mit Spatz männliche und weibliche Spatzen zu bezeichnen, sondern dass es Spatz und Spätzin heißen müsse. Als Dank für diese Lehre befürchtet Strepsiades, er müsse den Backtrog von Sokrates bis zum Rand füllen, worauf dieser ihm erklärt, der Backtrog müsse ja wohl weiblich sein (mit einem Insiderwitz: der Backtrog ähnle Kleonymos; dieser Politiker war des öfteren das Ziel des Spotts von seiten des Aristophanes, weil Kleonymos in der Schlacht seinen Schild weggeworfen haben und desertiert sein soll). "Allein im Ernst - wie muss ich sagen?", fragt Strepsiades, und bekommt als Antwort:

      "Backtrögin"! Wie du sagst "die Demagögin".   

Oder, wie es bei manchen Grüninnen schon heißt: Elterinnen.

Sonntag, 16. April 2017

Wenn er denkt, er denkt . . .

 . . . dann denkt er nur, er denkt.

Nach seinem jüngsten durchaus seltsamen Gastkommentar in der  Sueddeutschen zum heutigen Mathematikunterricht habe ich bemerkt,  dass Herr Prof. Christian Hesse der Spezies der geistigen Wiederkäuern anzugehören scheint, denn die meisten verqueren Forderungen in seinem Kommentar hat er bei sich selbst abgeschrieben.

Der Titel, das muss man wohl erklären, ist ein Wortspiel:  zwei + zwei = wir. Get it? Wir statt Vier! Das ist so witzig wie 2 * 3 = sex oder 4 + 4 = Gute N8. Haha! Manche Mathematiker sind wahre Comedians.

Nach einem Lobgesang auf Ada Lovelace, die als Vorbild für heutige mathematikzubegeisternde Schülerinnen ebensowenig taugt wie die  von der Genderista erfundenen Biographien von Theano (Frau Pythagoras) und Hypatia, kommt er auf den Grund zu sprechen, der Mädchen von einem gesteigerten Interesse an Mathematik abhängt:

    Ein nicht unwesentlicher Grund dafür ist, dass der ganze MINT-Bereich
    (Mathematik, Informatik, Naturwissenschaften, Technik) landläufig immer 
    noch das Image hat, hauptsächlich von Nerds bevölkert zu sein, jenen 
    dick-bebrillten, unmodisch gekleideten, vertrottelten Sonderlingen.   [ . . . ]
    So will man natürlich nicht sein oder werden.

Wenn ich mir's recht überlege, möchte ich auch nicht so werden oder so geworden sein. Allerdings ist das ein Klischee, das Herr Hesse da erfunden hat - ich kann mich nicht entsinnen, in meiner Jugend irgendetwas davon mitbekommen zu haben.

Eigentlich ist damit ja alles geklärt: Schuld ist ein Klischee.  Aber so einfach ist es nicht, wenn man Hesse heißt. Als nächstes beweist er: Schuld ist Goethe.

      Schon Goethe hat sich als "zahlenscheu" bezeichnet und hatte 
      einen regelrechten Hass auf die Mathematik und viele Mathematiker.

Da hat der Herr Professor wenig Medienkompetenz bewiesen (was man  ihm nicht vorwerfen kann, da er in einer Zeit groß geworden ist,  als es das Internet noch gar nicht gab), denn hier kann man nachlesen, dass diese Charakterisierung von Goethe etwas an der Realität vorbeigeht, die nicht ganz so schwarz-weiß ist, wie Herr Hesse sie gern hätte.

      Goethe war der Meinung, dass Experimente, die man mathematisch 
      interpretieren müsse, nichts wert seien. Das ist eine Sicht,  mit der 
      er erkenntnistheoretisch in die Vorstellungswelt der alten Griechen 
      zurückfiel. 

Erstaunlich, was man hier über die Griechen lernt. Mit "die Griechen" meint Herr Hesse vermutlich das, was er über Aristoteles gelesen zu haben glaubt. Die Messung des Erdumfangs von Eratosthenes oder des  Abstands zu Mond und Sonne von Aristarch, der Almagest von Ptolemäus: ohne Mathematik wären diese Erkenntnisse schlicht und ergreifend nicht möglich gewesen. Und Goethe? Nun, das war seine Art sich darüber zu ärgern, dass er nicht mehr Mathematik gelernt hatte. Auch Dichter  sind nur Menschen.

      Dabei hatte die mathematische Methode der Naturforschung nicht 
      erst, aber besonders mit Newton schon ihren überwältigenden 
      Siegeszug angetreten. Mit mehr mathematischer Kompetenz hätte 
      Goethe das einsehen können.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass Herr Hesse von Goethes Problemen mit Newton im Zusammenhang mit seiner Farbenlehre keine Ahnung hat.  Sonst hätte er keinen solchen Bockmist geschrieben.

      Insofern sehe ich Goethe mitverantwortlich für die bei uns immer noch 
      grassierende Geringschätzung mathematisch-quantitativer Kompetenz. 

Goethe also. Ich fasse die Argumentationskette noch einmal zusammen:
1. Goethe hatte was gegen Mathematik
2. Heutige Schülerinnen haben auch was gegen Mathematik.
3. Also ist Goethe schuld.
Das wär eigentlich was für das Buch der Beweise, denn eleganter kann man kaum argumentieren.

      In einer Welt, in der es mehr Zahlen als Worte gibt, 

schreibt Herr Hesse, . . . egal. Aber den Vergleich mit der Neufassung in seinem jüngsten Kommentar gönnen wir uns:

      Mittlerweile gibt es mehr Zahlen als Wörter auf der Welt. 

Wie man sehen kann, muss ihm jemand in der Zwischenzeit den Unterschied zwischen Worten und Wörtern erklärt haben. Der Rest dagegen ist im wesentlichen derselbe Schmuh:

     brauchen wir ein höheres Niveau quantitativer Bildung in unserer 
     Gesellschaft. Wir brauchen weiter verbreitete Fähigkeiten, um in 
     unserer überkomplexen Welt mit Zahlen, Funktionen, Daten, 
     Statistiken umzugehen, Wahrscheinlichkeiten einzuschätzen, Chancen 
     und Risiken kompetent gegeneinander abzuwägen und fundierte 
     Entscheidungen daraus abzuleiten. Wir brauchen mehr Gauß und 
     weniger Goethe. Wir brauchen, etwas überpointiert auf den Punkt 
    gebracht, mehr Daten-Kompetenz und weniger Dativ-Kompetenz. 

heißt es ein seinem ersten Kommentar, und

     Wir brauchen deshalb dringend ein höheres Niveau an quantitativer
     Bildung. Wir brauchen stärker ausgeprägte und weiter verbreitete 
     Fähigkeiten, mit Zahlen, Funktionen, Statistiken umzugehen, 
     Wahrscheinlichkeiten einzuschätzen, Daten zu analysieren, Chancen 
     und Risiken zu bewerten. Kurzum: Wir brauchen mehr 
     Mathematik-Sachverstand in der Gesellschaft. Leicht überspitzt: 
     Wir brauchen in den Schulen mehr Gauß und weniger Goethe. Wir 
     brauchen mehr Daten-Kompetenz und weniger Dativ-Kompetenz.

in seinem zweiten. Plagiatssoftware hätte darauf wohl angeschlagen. Schade allerdings, dass er in seinem zweiten Kommentar darauf verzichtet, die Dinge pointiert auf den Punkt zu bringen.

In Hesses erstem Beitrag geht die Märchenstunde noch weiter:

     Für Barack Obama hat sein Team von Daten-Gurus 2012 die 
     Präsidentschaftswahl entschieden. Über jeden Wahlberechtigten 
     wurden mehr als 1000 Datenpunkte zusammengetragen - Geschlecht, 
     Alter, Wohngegend, Klubmitgliedschaften, Kreditkartenkäufe und 
     so weiter. 

Das wäre dann in etwa so das größte Spionageereignis aller Zeiten, ein System, das nicht mal die Stasi im Osten derart perfektionieren konnte. Jetzt müssen wir Herrn Hesse nur noch glauben.

     Die Datenanalytiker wussten in vielen Fällen schon, was jemand 
     wählen würde, noch bevor er es selber wusste.

Wie man Wahlen gewinnen kann, wenn man dieses Wahlverhalten nicht ändert und allem Anschein nach nicht einmal ändern will, bleibt Herrn Hesses Geheimnis. Übrigens hat big data nicht nur die Wahl Obamas entschieden, sondern auch die von Trump. Ganz zweifellos wird big data auch die Wahlen in in Frankreich und in Deutschland entschieden haben,  wenn sie erst einmal gelaufen sind. Denn im Gegensatz zu den Instituten, die Wahlprognosen abliefern, irrt sich big data nie.

Weiter mit einem Märchen der schönen neuen Welt:

    Bald schon werden die mit ihrem Know-how konstruierten 
    selbstfahrenden Fahrzeuge dafür sorgen, dass weniger Unfälle 
    im Straßenverkehr passieren, Staus der Vergangenheit angehören 
    und motorisierte Fortbewegung stressfreier wird.

Ganz zweifellos wird das so sein. Big Data bringt uns zurück ins Paradies und rückt Dinge zurecht, die eine Frau vor 6000 Jahren verbockt hat.

     Mit der personalisierten Medizin werden sie im Gesundheitswesen 
     bald eine neue Ära einleiten, die das Arzt-Patient-Verhältnis 
     revolutionieren wird. Dann wird auf der Grundlage von riesigen 
     medizinisch-pharmakologischen Datenbergen für jeden Patienten 
     und dessen Daten-Profil aus zigtausend Laborwerten, genetischen 
     Risikofaktoren und Symptomen eine maßgeschneiderte Behandlung 
     vom Computer entworfen.

Vermutlich ist dies ein Segen für den Teil der Versicherten, die nicht wie Herr Hesse privat versichert sind und sich weiterhin auf kompetente Ärzte verlassen können. Wer diese Daten sammeln soll, verrät Herr Hesse auch nicht? Der Arzt? Der Arbeitgeber? Der Staat ihres Vertrauens?

Samstag, 8. April 2017

Hesse und der Deppenwolf

Was immer man von dem Brandbrief halten mag, es scheint eine Art Diskussion in Gang zu kommen, wenn man es so nennen möchte. Die jüngste Reaktion steht in der Sueddeutschen : Mehr Gauß, weniger Goethe.

      Die Autoren fordern, dass man an "Deutschlands Schulen wieder zu einer an fachlichen
      Inhalten orientierten Mathematikausbildung zurückkehren solle" und dass "symbolische,
      formale und technische Elemente der Mathematik und abstrakte Inhalte wieder stärker
      gewichtet werden,"

       Was ist von diesen Forderungen zu halten? Nicht viel. Es handelt sich um seltsam
       rückwärtsgewandte, altmodische Vorschläge, die den Erfordernissen des 21. Jahrhunderts
       nicht gerecht werden.

Das ist eine erstaunliche Einstellung. Warum das erstaunlich ist, möchte ich anhand eines Zitats von Laurent Lafforgue zeigen, dem man keinem Mathematiker vorstellen muss, weil er die Fieldsmedaille verliehen bekommen hat, also die höchste Auszeichnung, die die Mathematik zu vergeben hat. Lafforgue kämpft seit 2004 gegen das Totreformieren des französischen Bildungssystems, und zwar wie seine deutschen Kollegen erfolglos.

     Meine Eltern, meine Geschwister und ich verdanken viel der Schule, einem Schulsystem, 
     das  für eine sehr lange Zeit einen großen Wert besaß und das es uns erlaubt hat, eine 
     höhere Ausbildung zu erhalten. Meine Eltern waren beide die ersten in ihren Familien, 
     die lange studieren konnten. Wir sind zu einem großen Teil das Produkt eines Schulsystems, 
     das uns die Grundfertigkeiten beigebracht hat, bevor es uns Zugang zur Kultur und zu
     immer feineren und komplexeren Kenntnissen verschafft hat. 

Auch Christian Hesse, der Autor, der sich weniger Goethe wünscht, ist in Deutschland groß geworden und vermutlich auch hierzulande zur Schule gegangen, und zwar in den 1960er und 1970er Jahren. Er hat es auf eine Professur in Stochastik geschafft, und aus Dankbarkeit will er den Ast absägen, auf dem sein Elfenbeinbaumhaus gebaut ist.

Rückwärtsgewandt sind die Vorschläge, aber das ist, wenn man vor dem Abgrund steht, nicht per se schlecht. Altmodisch können sie nicht sein, denn vor 30 Jahren hat niemand gefordert, man möge den Studenten der Ingeneurswissenschaften auf der Schule bitteschön das Bruchrechnen beibringen. Und dass sie den Erfordernissen des 21. Jahrhunderts nicht gerecht werden, bleibt abzuwarten. Ich nehme nicht an, dass irgendjemand Herrn Hesse zum Sprecher des 21. Jahrhunderts gewählt hat.

      Kompetenzorientierung bedeutet, dass realitätsnahe Fragen mit mathematischen Methoden 
      untersucht werden.

Ich weiß nicht, wo Herr Hesse diese Beschreibung der Kompetenzorientierung gelesen haben will. Vermutlich hat er sie erfunden, und ich kann ihm hiermit bescheinigen, dass er gar nicht weiß,. wovon er redet. Falls er sich nachbilden möchte, helfen für's Erste google und wikipedia..

Und was die realitätsnahen Fragen angeht, die den heutigen Unterricht überschwemmt haben, so habe ich auf diesen Seiten schon sehr viel dazu gesagt. Wenn Herr Hesse diese Aufgaben für realitätsnah hält, braucht er medizinische Hilfe. Meine Vermutung geht aber eher in die Richtung, dass er auch bei diesem Thema  nicht weiß, wovon er redet.

      Die Maßnahmen können als Schritt in die richtige Richtung gewertet werden, zeigt doch die 
      letztjährige PISA-Studie, dass sich Deutschland im internationalen Vergleich in den 
     vergangenen  eineinhalb Jahrzehnten ordentlich verbessert hat.

Was PISA-Aufgaben mit Mathematikkenntnissen zu tun haben, bleibt zu klären. Wer die beiden Begriffe gleichsetzt wie Herr Hesse, hat nichts verstanden. Vielleicht hat er aber auch nur nicht gelesen, um wieviel Prozentpunkte die deutschen Leistungen beim Ankreuzen von multiple-choice-Fragen gestiegen sind, denn als Statistiker könnte er dann der Frage nachgehen, ob das überhaupt etwas zu bedeuten hat.

        Das bedeutet aber nicht, dass diese Studienanfänger alle auch ein klassisches Abitur
        besitzen. Bei nur der Hälfte dieser Erstsemester ist das noch der Fall. Die angesprochene
        Mathematik-Malaise ist also nicht dem gymnasialen Unterricht anzulasten.

 Wer bin ich, dass ich die Statistik eines Statistikprofessors anzweifeln könnte? Aber die Statistiken, die das Internet kennt, sprechen von einer Quote von über 97% aller Studienanfänger, die ein Abitur besitzen.   Denkbar wäre, dass er mit klassischem Abitur nur ein Abitur meint, das man in den Räumen eines Gymnasiums geschrieben hat und nicht in denen eines beruflichen Gymnasiums. Vermutlich machen die Lehrer dort kein Bruchrechnen.

         Mittlerweile gibt es mehr Zahlen als Wörter auf der Welt.

Man kommt aus dem Nachdenken darüber, was Herr Hesse meinen könnte, nicht mehr heraus. Jede Zahl kann man durch Worte ausdrücken, und tatsächlich gibt es für die allermeisten Zahlen Wörter in sehr vielen Sprachen. Das scheint er nicht zu meinen. Vielleicht, dass die Nullen und Einser in Computern eine größeres Datenvolumen ausmachen als die Bibliotheken dieser Welt zusammen? Oder was? Ich weiß es nicht.

     Wir brauchen stärker ausgeprägte und weiter verbreitete Fähigkeiten, mit Zahlen, 
     Funktionen, Statistiken umzugehen, Wahrscheinlichkeiten einzuschätzen, Daten
     zu analysieren, Chancen und Risiken zu bewerten.

Nun gut. Wäre Herr Hesse Zahlentheoretiker, würde er das Hohelied der Kryptographie singen, und was liegt für einen Statistikprofessor näher als zu meinen, man müsse heute jedem Schüler beibringen, mit
Statistiken umzugehen, Wahrscheinlichkeiten einzuschätzen, Daten zu analysieren, Chancen und Risiken zu bewerten? Wahrscheinlich nichts außer dem Hemd, das er anhat.

        Nicht zuletzt müssen wir lernen, mit geringen Informationen und wenig Zeit gute
        Entscheidungen zu treffen.

Ich nehme an, dass Herr Hesse wenig Zeit hat, und ich kann ihm bestätigen, dass er nur geringe Informationen über das deutsche Schulsystem besitzt. Ob die Entscheidung gut war, die ganze Welt wissen zu lassen, wie gering seine Kenntnisse des heutigen Schulsystems sind, mögen andere beurteilen. Mutig war sie allemal.

Der letzte Absatz ist etwas wirr. Wenn ich Herrn Hesse richtig verstehe, will er in der Oberstufe die Fächer abschaffen, um dann etwa in einem Projekt big data "substanzielle Beiträge aus Mathematik, Wirtschaft, Technik, Medizin, Ethik" an die Schüler zu vermitteln.

      Durch diese Modularisierung wird für die weniger mathematik-affinen Schüler 
      das Fach an ihre Lebenswelt herangeführt.

Nun ja - alle Schüler, die bei drei nicht auf einem Baum sind, wenn der Lehrer "Projekt big data" ruft, werden dann im Ethikteil erfahren, wie google und facebook (und künftig die ganzen Programme, mit denen das sogenannte selbstgesteuerte Lernen von Schülern gesteuert werden wird) big data abgreifen und mit den von Herrn Hesse unterrichteten Methoden das Konsum- und Wahlverhalten ihrer Kunden steuern. An dieser Stelle eine Werbebreak: Weapons of Math Destruction. Amazon sammelt natürlich auch big data,

Abschließend der schönste Satz des ganzen Beitrags:

      Es kann erwartet werden, dass diese Veränderungen die Lernmotivation vieler
      Schüler gerade auch im Hinblick auf mathematische Lerninhalte steigern wird.

Sicher kann man das erwarten, schließlich stammt die Idee dazu von Herrn Hesse, der zweifellos weiß, wie man die Lernmotivation von Schülern im Hinblick auf mathematische Lerninhalte steigern kann. Ich möchte dem nur very small data entgegensetzen, nämlich zwei Wörter. Die lassen sich, Herr Hesse, auch mit ganz wenig Goethe lesen, und es kommt, sozusagen als Sahnehäubchen, nicht einmal ein Dativ vor.

    Schuster . Leisten .