Dienstag, 19. September 2017

Aufgaben und die Realität

Heute geht es nicht um eine besonders bescheuerte Aufgabe, sondern um eine ganz normal bescheuerte Aufgabe, also eine von denen, wie sie seit 20 Jahren ununterbrochen im Mathematikunterricht wiedergekäut werden - nur mit anderen Zahlen und in wechselnden Einkleidungen. Diese hier stammt aus dem Nachtermin des BW-Abiturs 2008:

Man hat also ein paar Messwerte, die sich wöchentlich fast verdoppeln, schließt daraus (man lernt das auswendig) auf exponentielles Wachstum, und bestimmt dann eine Exponentialfunktion, die diese Verkaufszahlen modelliert. Im Laufe der Aufgabe wird diese Funktion dann dazu benutzt, um Vorhersagen für die Verkaufszahlen der ersten 20 Wochen zu machen.

Das, so sagen die Modellierungsdidaktiker (Blum, Greefrath, Siller, Kaiser - hinter diesen Namen steckt eine ganze Industrie, die mit Forschungsgeldern und Promotionen um sich wirft), zeigt den Schülern, dass Mathematik in ihrem täglichen Leben eine Rolle spielt. Natürlich wird Mathematik in der Praxis nicht so angewandt - welches Label stellt einen Mathematiker ein, der aus den Verkaufszahlen von drei Wochen Vorhersagen für ein halbes Jahr macht? Und wozu?

Zehn Jahre lang habe ich im Glauben gelebt, dass es solche Mathematiker nicht gibt, und jetzt werde ich eines Besseren belehrt. Nun ja, eigentlich ist es kein Mathematiker, sondern ein Physiker, und eigentlich nicht mal das. Aber er wurde vom Spiegel interviewt, und die steile These des Herrn Randoll ging durch den ganzen Blätter- und Seitenwald der Qualitätsmedien. Was hat er gemacht? Er hat sich die Verkaufszahlen von E-Autos angesehen:


Dann hat er (in seiner Dissertation bei Daimler - wenn man bei Penny studieren kann, warum soll man dann bei Daimler nicht promovieren können?) festgestellt, dass sich die Verkaufszahlen jährlich etwa verdoppeln, auf das Vorliegen eines exponentiellen Wachstums geschlossen und dann die paar Zahlen dazu benutzt um vorherzusagen, dass 2026 die gesamte Weltproduktion von Autos aus E-Autos bestehen  wird. Nach 20 Jahren Unterricht in Modellieren haben wir hier das erste Exemplar des homo modellensis, der diese Strukturen aufgesaugt hat wie ein trockener Schwamm Wasser und sie jetzt tröpfchenweise wieder von sich gibt. Modellierung lebt! Modellierung funktioniert! Und man kriegt einen Doktor dafür!

Etwas unprofessionell erscheint dagegen die Tatsache, dass Dipl.-Phys. Randoll sein Diagramm nicht zurechtgedoktert hat. Die lila Rauten geben die Verkaufszahlen der Hybrid-Fahrzeuge an, die sich zuerst auch brav an exponentielles Wachstum halten, dann aber 2015 plötzlich einbrechen. Dürfen die das? Wenn man die ersten 4 lila Rauten verbunden hätte, dann bestünde 2025 die gesamte Weltproduktion der Autos aus Hybrid-Fahrzeugen. Vermutlich werden die dann sofort verschrottet, damit die Weltproduktion 2026 aus lauter E-Autos bestehen kann.

Verbindet man die Verkaufszahlen für 2014 und 2015, dann findet man heraus, dass 1850 die gesamte Weltproduktion von Autos Hybrid-Autos waren. Mathematik ist überall!

Zu meinen Studienzeiten hätte man jemand, der mit so einer Hausarbeit angetanzt
wäre, wieder nach Hause geschickt - heute reicht das für eine Promotion. Tempora mutantur - googelt das, Jugend! Wenn die Weltproduktion 2026 lauter E-Autos herstellt, braucht man Strom. Wenn man nachts tanken und tagsüber fahren will (solche Leute soll es geben), braucht man auch Strom, wenn die Sonne nicht scheint und der Wind nicht weht. Weil wir bis dahin die AKWs heruntergefahren haben, sollte jemand, der solche Vorhersagen macht, doch vielleicht ein klein wenig darüber nachdenken, wo dieser Strom herkommt. Oder wer in 8 Jahren die ganzen Zapfanlagen baut. Oder die Millionen von Batterien. Oder woher das Lithium in diesen Batterien kommen soll. Und was das Lithium kostet, wenn plötzlich der Bedarf an Lithium exponentiell in die Höhe schießt.

Stattdessen praktiziert Herr Randoll  Malen nach Zahlen und darf im Spiegel seine "Forschungsergebnisse" präsentieren. Wenn es noch eines Beweises bedurft hätte, dass unser Bildungssystem (und ja, auch unsere Medien im allgemeinen und der Spiegel im besonderen) nicht mehr ganz das ist, was es mal gewesen ist, ja dann . . . könnten wir Herrn Randoll hernehmen.

Freitag, 25. August 2017

Brinkmann, Brügelmann, Grundschulverband

Dass der Professor für Grundschuldidaktik und frühes Schreiben Brügelmann zu seiner Professur gekommen ist, ohne in seinem ganzen Leben auch nur einen Schüler unterrichtet zu haben, hatte ich bereits erwähnt (aber Wiederholung, das wissen Lehrer, ist wichtig). Nicht viel besser sieht es mit der Prof'in Brinkmann (PH Schwäbisch Gmünd) aus, die es von 1992 bis 1993 immerhin auf den Unterricht einer Klasse gebracht hat, wie wikipedia vermeldet.

Beiden gemein ist das Mantra, wonach die orthographischen Leistungen der Kinder, die mit der von ihnen im Elfenbeinturm ersonnenen Methode des Schreibens nach Gehör unterrichtet worden sind, nicht schlechter, sondern besser geworden sind.

Wieviel besser, erfahren Lehrer täglich. Ein solcher Lehrer hat im Jahre 2009 die Schüler seiner 5. Klasse aufgefordert, "gar nicht" an die Tafel zu schreiben, und diese haben sich alle Mühe gegeben:


Noch schrecklicher als der sich ausbreitende Analphabetismus an deutschen Schulen ist der Kommentar eines Kollegen:

     Ich bin selbst auch Lehrer, und ich kann dich beruhigen, 
     dass dich das nicht schockieren sollte. Die Rechtschreibdidaktik 
     geht heute davon aus, dass beim Erlernen der Rechtschreibung drei 
     Stadien durchlaufen werden. In der fünften Klasse ist das zweite 
     Stadium dominant und Fehler beim Schreiben sind völlig normal, 
     weil Kinder in diesem Alter bestimmte Kompetenzen nicht haben.

Es ist also heute nicht nur normal, dass Fünftklässler nicht schreiben können, nein, es muss geradezu so sein, weil die Rechtschreibdidaktik besagt, dass das praktisch gar nicht anders sein kann, weil ihnen wegen der Dominanz des zweiten Stadiums bestimmte Kompetenzen fehlen. Wenn man den Leuten an den PHs beibringt, das sei ein Argument, wäre es besser, die künftigen Lehrer gar nicht auszubilden.

      In diesem Thead wird mal wieder mit vor "Halbwissen"
      strotzenden Aussagen und Feststellungen um sich geworfen. 
      Nur weil ihr das Schreiben erlernt habt oder selbst mal zur 
      Schule gegangen seid, seid ihr noch lange nicht in der Lage 
      zu beurteilen, ob die dargestellten Schreibweisen "schlimm" sind.

Das darf nur ein Lehrer, der Schreiben nach Gehör unterrichtet, weil alle andern Dummköpfe sind. Kritik ist verboten. Und weiter:

      Wenn du Interesse hast, deine Kinder wirklich fundiert zu 
      untersuchen, mach das mit der Hamburger Schreibprobe.

Auf die habe ich ja schon mal hingewiesen; inzwischen habe ich auch herausgefunden, wie die Sache mit den Graphemtreffern genauer funktioniert. Mit der Hamburger Schreib-Probe wird die Orthographie der Kinder getestet, aber nicht so billig wie in einem Diktat, wo ein falsch geschriebenes Wort einen Fehler bedeutet - weit gefehlt:

      Mit ihr wird nicht nur die richtige Schreibung von Wörtern,
      sondern die Zahl der richtig geschriebenen Grapheme ausgewertet.
      Damit soll auch ein Beitrag zur Überwindung der Defizit-Sichtweise
      auf die Schreibungen der Schülerinnen und Schüler geleistet
      werden. Nicht die Fehler stehen im Mittelpunkt der Betrachtung, 
      sondern das Gekonnte, das sich auch in teilweise richtigen 
      Schreibungen zeigt.

Wie das Gekonnte bewertet wird, damit aus Analphabeten Experten für moderne Orthographie werden, kann man hier bewundern:
   


Wer also Fart statt Fahrrad schreibt, bekommt immerhin noch ein Drittel aller Graphemtrefferpunkte für das Wort (vermutlich gibt's noch einen Extrapunkt für gutes Englisch, wenn man stattdessen Furz schreibt), und  der Graphemtrefferpunkteunterschied zwischen Fahrad und Fahrrad ist marginal.

Zählt man Rechtschreibfehler so, wie Leute außerhalb von PHs wie Schwäbisch Gmünd und Unis wie Bremen und Siegen Rechtschreibfehler zählen, sieht die Sache nach einer Untersuchung von Steinig und Betzel anders aus:
   

Der starke Abfall bei Schülern aus bildungsfernen Schichten liegt natürlich nicht daran, dass diese Kinder besonders dumm sind, sondern daran, dass deren Eltern glauben, ihre Kinder würden Lesen, Rechnen und Schreiben in der Grundschule lernen. Eltern, die noch wissen, was Bildung ist, erledigen den Job nachmittags in persönlicher Nachhilfe.

Nun, früher hieß es

           You can fool all the people some of the time, 
           and some of the people all the time, 
           but you cannot fool all the people all the time.

Anscheinend hat das Abraham Lincoln gesagt, aber wenn ich mir ansehe, was aus seinen Landsleuten geworden ist, dann weiß ich nicht, ob ich das noch unterschreiben würde. Jedenfalls befassen sich inzwischen auch Landtage mit dem Schreiben nach Gehör, und wenn diese Landtage ein Gutachten brauchen, dann fragen sie Experten. Also den Professor Brügelmann vom Grundschulverband und die Prof'in Brinkmann vom  Grundschulverband. Dieses Duo habe nicht nur ich gefressen; sogar in  der Taz (!) kann man lesen:

     Beide dominieren als Fachreferenten unterwegs und im 
     Grundschulverband eine mittlerweile ideologisch erstarrte 
     Auffassung von modernem Grundschulunterricht, speziell zum 
     Schriftspracherwerb. Man weiß nie: Sind sie gerade Gutachter, 
     Herausgeber oder Lehrplaner? Treten sie als Lobbyisten, 
     Professoren oder Autoren in eigener Sache auf. Sie interviewen 
     sich gern auch gegenseitig in Fachorganen. Die Funktionen sind 
     undurchschaubar hermetisch verquickt. Niemand nimmt Anstoß daran. 
     Reputation und Definitionsmacht wachsen unaufhaltsam.

Auch der Landtag in NRW fragt Experten, wenn er Experten hören will. Und Herr Brügelmann ist Experte: In seinem Gutachten zieht der Experte den Parlamentariern sofort alle Zähne, und zwar nacheinander.

1. Rechtschreibung ist nicht so wichtig, denn

      Ziel des Unterrichts ist das Verstehen fremder und das 
      Verfassen eigener Texte. 

    Ob die auch richtig geschrieben sind: scheiß der Hund drauf.

2. Es liegt nicht am Schreiben nach Gehör, denn Rechnen können die Kinder ja auch nicht mehr:

      Diese Probleme zeigen sich allerdings auch in anderen 
      Leistungsbereichen: für Mathematik und Fremdsprachen,
      für Politik und Naturwissenschaften.

3. Früher wurde auch nicht besser geschrieben. Die oben zitierte  Studie von Steinig sei "methodisch in mehrfacher Hinsicht" problematisch.   Und:

      für die Grundschule sprechen Untersuchungen aus den letzten 
      zehn Jahren eher für eine Leistungszunahme (vgl. Kowalski u.a.
      2010; May 2013). 

Die Untersuchung von May benutzt natürlich die von May entwickelte Hamburger Schreib-Probe (s.o.).
 
4. Die Kinder lernen später automatisch, richtig zu schreiben:

     Empirische Studien zeigen eine erhebliche Zunahme der Kompetenz 
     über die Schulzeit hinweg.

D.h. die Lehrer auf den weiterführenden Schulen bringen den ihnen übergebenen Analphabeten ein bisschen Rechtschreibung bei.

5. Die Schüler aus den Unterschichten sind zu doof, als dass man sie ordentlich beschulen könnte:

      Es ist zudem sozialromantisch zu glauben, man könne die
      Bildungs- und Lebenschancen von Unterschichtkindern durch 
      einen anderen und intensiveren Rechtschreibunterricht verbessern.

Wie Steinig gezeigt hat, kann man ihn bei der Wahl geschickter Methoden wie Schreiben nach Gehör aber zumindest verschlechtern, und das ist ja auch schon was. Sinnvoller als Rechtschreibung wäre es nach Brügelmann wahrscheinlich, man würde ihnen zeigen, wie man einen Hartz-IV-Antrag ausfüllt.

6. Schreiben nach Gehör kann an der Misere, die es nicht gibt, nicht schuld sein, denn:

      Dort wird durchgängig die Bedeutung einer verbindlichen 
      Rechtschreibung (für die Erleichterung des Lesens) betont.

Man bringt den Kindern die Rechtschreibung nicht bei, damit man sie nicht in seelische Abgründe stürzt, aber man betont, wie wichtig eine verbindliche Rechtschreibung ist. Das ist schön, Herr Herodes.

      Für die aktuelle Diskussion ist dabei besonders wichtig: Über 
      das freie Schreiben prägt sich nichts Falsches ein [ . . . ], 
      denn in der alphabetischen Phase konstruieren die Kinder 
      einzelne Wörter immer wieder neu - zum Teil verschieden in 
      demselben Text.
 
Die Kinder prägen sich also nichts Falsches ein, weil sie Wörter bei jedem Auftauchen neu konstruieren und anders schreiben. Wenn es nach mir ginge, würde der Professor seinen Lebensabend im Gefängnis verbringen. Zusammen mit seiner Kollegin Brinkmann, die intellektuell wenig Originelles zu bieten hat:

      Die Sorge vieler Eltern, dass sich die Kinder mit ihren 
      lautgerechten Schreibungen, die noch nicht allen orthografischen 
      Normen entsprechen, etwas Falsches einprägen könnten, ist 
      meines Erachtens verständlich, aber unbegründet. Beim 
      lautierenden Schreiben konstruieren die Kinder jedes Wort 
      jedes Mal Laut für Laut neu. Dass sich dabei diese Schreibungen 
      nicht in den Köpfen der Kinder festsetzen, belegen eindrucksvoll 
      die Variationen, die die Kinder immer wieder finden: Oftmals wird 
      das gleiche Wort in kurzer Zeit mehrfach unterschiedlich 
      geschrieben, z. B. Fahrat, Fahrrat, Farrat.

Das werden alle Eltern toll finden, die ihre Kinder zu Lehrerinnen in den Unterricht schicken, die an der PH Gmünd ausgebildet worden sind. Aber letztendlich ist die Rechtschreibung, wie Brügelmann eingangs schon gesagt hat, relativ unwichtig:

      Denn in einem sind wir uns sicher einig: Wem nutzt es, 
      Belanglosigkeiten oder inhaltlichen Unsinn orthographisch 
      korrekt schreiben zu können?

Diess Frage, Herr Professor Dr. Brügelmann, stelle ich mir auch. Ich hätte bei Ihrem Traktat allerdings nicht zum Euphemismus "inhaltlicher Unsinn" gegriffen - das wäre in etwa so, als würde man den Holocaust als Mobbing bezeichnen.

Mittwoch, 23. August 2017

GröDaZ Brügelmann

Letztens habe ich mich noch gewundert, wie ein studierter Jurist mit Aufbaustudium Grundschulpädagogik auf eine Professur "für Anfangsunterricht" an die Universität Bremen und später an die Uni Siegen berufen werden konnte, ohne jemals auch nur eine Woche an einer Grund- oder irgendeiner anderen Schule auch nur ein Kind unterrichtet zu haben, und wie es dazu kommen konnte, dass dessen am Schreibtisch ersonnenen abstrusen Theorien Grundlage der Grundschullehrerausbildung in ganz Deutschland geworden sind. Inzwischen habe ich gelernt, dass sich der Herr Brügelmann darüber selbst gewundert hat:

       Als ich 1980 von der Universität Bremen auf eine Professur für          
       Anfangsunterricht berufen wurde, hatte ich von Lese- und Schreibdidaktik
       kaum Ahnung. Um mich vor den Studierenden nicht zu blamieren, las 
       ich alles, was ich in die Hände bekam – und war irritiert: Überall konnte 
       ich lesen, wie man Lesen und Schreiben lehrt, aber ich fand kaum 
       empirische Befunde bzw. Erklärungsansätze dazu, wie Kinder lesen 
       und schreiben lernen.

Wir halten fest: die Universität Bremen stellte Professoren ein, die von ihrem Fachgebiet "kaum Ahnung" hatten. Und an der PH Schwäbisch Gmünd, an der Brügelmanns Jüngerin Frau Prof'in Erika Brinkmann leert und froscht, findet man das noch nicht einmal seltsam, sonst hätte diese das Bekenntnis des Führers ja wohl nicht dort hingestellt

Kritik an diesen didaktischen Überfliegern ist nicht neu, und das macht mir schon ein bisschen Angst: ist gegen diese Brut wirklich kein Kraut gewachsen? Günter Jansen hat Brügelmann in Grund und Boden geredet und geschrieben (ich weiß, dass Lesen Zeit kostet), und Rainer Dollase hat die Möchtegernpädagogen an PHs und Unis so beschrieben:

        Fachfremde Professorinnen und Professoren [. . . ] phantasieren 
        auf der Basis von Literatur sich neue pädagogische Theorien zusammen,
        bilden im Brustton der Überzeugung Lehrkräfte aus, die dann den Stoff 
        in Prüfungen perfekt herunterrasseln, ohne in irgendeiner Form 
        irgendetwas für die Praxis gelernt zu haben. 

Aber es scheint überhaupt keinen Fortschritt zu geben: die Schweine am Futtertrog der Hochschulen haben die Wissenschaft auf ihrer Seite, da hilft auch ein Fahndungsplakat nicht, das ich auf  diesem blog  gefunden habe:


Und der Spiegel, früher einmal ein angesehenes Nachrichtenmagazin, leistet sich heutzutage so etwas:
  
     SPIEGEL: Sie bestreiten trotz teilweise katastrophaler Studienergebnisse,
     dass es mit der Rechtschreibung seit Jahren  abwärts geht?

     Brügelmann: Ich sage, dass die Datenlage zu einem Rechtschreibverfall       
     widersprüchlich ist. Es gab zu den meisten Zeiten mehr Menschen mit 
     Lese-Rechtschreib-Schwierigkeiten als heute. Das zeigt aktuell die 
     repräsentative "leo."-Untersuchung.

      SPIEGEL: "leo." ist eine Untersuchung über funktionalen Analphabetismus. 
      Selbst in der Kategorie "Fehlerhaftes Schreiben" - in der die 40- bis 
      49-Jährigen übrigens besser abschneiden als die Jüngeren - geht es nicht 
      nur um die Rechtschreib-, sondern auch um die Lesefähigkeiten. 

Das ist echt unglaublich: der Professor "beantwortet" die Frage nach dem Abwärtstrend bei der Rechtschreibung mit einer Studie zum Analphabetismus von Erwachsenen. Erstaunlicherweise merken das die Interviewerinnen und erklären dem Experten, was Sache ist, machen dann aber so weiter:

         Unbestritten dagegen ist, dass Sie einer der einflussreichsten 
         Pädagogen Deutschlands sind. 
             
Hä? Einflussreich bestimmt, aber was macht den Größten Didaktoren aller Zeiten zum Pädagogen? Offenbar hat er nach seiner Emeritierung von seinem Fach noch genausowenig Ahnung wie zu Beginn, nämlich gar keine. Dass die Orthographie heute nicht mehr das ist, was sie einmal war, pfeifen inzwischen sogar die Spatzen in Siegen von den Dächern, wie man ebenfalls im Spiegel nachlesen kann. Ein Journalist hätte hier nachgebohrt; wie das geht, hätte man durchaus von "Erwin Pelzig" lernen können. Aber vermutlich wissen die Spiegel-Redakteusen gar nicht, wer das ist.

Günter Jansen hat guten Grund, auf Brügelmann sauer zu sein. Er hat nämlich selbst ein Lesebuch für die Grundschule geschrieben, das ich weder kenne noch beurteilen möchte. Das hat nämlich der Herr Brügelmann bereits in einem Gutachten getan, das er im Auftrag des Landesinstituts für Schule und Medien Berlin-Brandenburg erstellt hat, und er kommt zu dem unzweideutigen Schluss, dass man das Buch verbieten muss, und zwar aus folgenden Gründen:


  • Jansen/Streit nehmen die kognitive Wende in der pädagogischen 
  •       Psychologie,  die Einsichten konstruktivistischer Lerntheorien im 
          Anschluss an Piaget,  Wygotsky und andere, vor allem aber mehr 
          als 30 Jahre Schriftspracherwerbsforschung nicht zur Kenntnis.

    Das klingt vernünftig; wenn ein Autor die Forschungsergebnisse von Brügelmann nicht berücksichtigt, kann sein Buch ja nichts taugen. 
    • Vor allem aber wurde es nicht unter Normalbedingungen in Klassenzimmern evaluiert.
    Der ist echt gut. Brügelmanns Lesen durch Schreiben ist seit 15 Jahren in Gebrauch - wann wurde es unter Normalbedingungen in Klassenzimmern evaluiert? Wie die FAZ im März 2015 berichtet hat, sieht es so aus:
    •  Bei ihrer Tagung in Leipzig haben sich die Kultusminister dazu durchgerungen, zum ersten Mal bei einem Ländervergleich für die Grundschule auch die Rechtschreibung zu untersuchen. [ . . . ] Umso notwendiger wird es werden, bestimmte Unterrichtsmethoden und ihre Effekte auf den Lernerfolg zu erforschen. Auf diese Weise wird untersucht, ob das Schreiben nach dem Hören (phonetische Schreibung), das in nahezu allen Ländern in den ersten beiden oder gar drei Schuljahren der Grundschule üblich ist, zu schlechteren Rechtschreibkenntnissen führt.
    Nach 15 Jahren Schreiben nach Gehör wird also unter Normalbedingungen in Klassenzimmern untersucht, ob diese Methode zu schlechteren Rechtschreibkenntnissen führt. Das wird der Grundschulverband, so etwas wie der legale Arm von Brügelmann und Brinkmann, nicht gerne hören, denn das letzte, was das Duo möchte, ist, dass Kinder in der Grundschule Lesen und Schreiben lernen. Deshalb hat der Verband auch in einem offenen Brief Ministerpräsident Kretschmann  aufgefordert,  er möge seine Kultusministerin an die kurze Leine nehmen, nachdem diese das Schreiben nach Gehör kritisiert hatte. Inzwischen ist sie von einem Verbot des Schwachsinns aber wieder abgerückt.

    Das deutsche Bildungssystem ist echt nicht mehr zu retten.
      


    Freitag, 18. August 2017

    Realitätsnahe Aufgaben IV

    Bevor wir wieder einige besonders gelungene Beispiele dafür geben, wie man SuSen (Schüler und Schülerinnen, oder vermutlich Schüler*innen, damit die Kinder nicht in ein Geschlechtsschema gepresst werden und sich nicht schon mit 15 entscheiden müssen, ob sie gerade lieber Jungs oder Mädchen sind - ich frage mich jetzt schon, wie die Leute, die den Eintrag des biologischen Geschlechts in Ausweisen abschaffen wollen, sich später über den sogenannten gender pay gap aufregen wollen, den es nach der Abschaffung von Mann und Frau ja nicht mehr geben wird. Oder wird dann das finanzielle Geschlecht eingeführt? Aber auf welche Toilette sollen dann finanzielle Frauen gehen?) heutzutage von der Nützlichkeit der Mathematik überzeugt, erinnern wir die älteren Leser daran, wie man das früher gemacht hat.

    Ich halte mich heute an das Schulbuch Analysis 1 von Kurt Degen aus dem Jahre 1977. Damals hat man im Mathematikunterricht begonnen, die Analysis so sauber wie möglich darzustellen. Bevor es also in diesem Buch für Klasse 11 (und die Grundkurse in der Oberstufe) mit der Differentialrechnung losging, hat man etwas mehr als 100 Seiten für das Rechnen mit reellen Zahlen (Vollständigkeit, Beschränkheit, Intervalle, Umgebungen), vollständige Induktion (samt Binomialsatz), reelle Funktionen (surjektive, injektive, bijektive Abbildungen, Umkehrfunktion, Folgen (beschränkte, monotone, arithmetische und geometrische) und Grenzwerte (einschließlich des Begriffs der Stetigkeit von Funktionen) behandelt. Davon ist heute nichts mehr (in Worten: nichts mehr) Schulstoff.

    Auch die Ableitung wurde sauber definiert und nicht nur die Ableitungsregeln bewiesen (sogar für rationale Exponenten - heute wird die Ableitung von f(x) = x2 und von f(x) =  xplausibel gemacht und dann stillschweigend so getan, als gelte alles automatisch für beliebige Exponenten), sondern auch die Mittelwertsätze und der Satz von Rolle diskutiert, was für die saubere Begründung von Monotonie- und Extremwertfragen unabdingbar ist. Im Kapitel 9 ging es dann um Anwendungen der Differentialrechnung.

    9.1. Anwendungen in der Mathematik dreht sich um Extremwertprobleme. Am Schluss folgen 6 Seiten Aufgaben zu Extremwertaufgaben ohne ein einziges Bild.

    9.2. Anwendungen in der Physik: Hier wird Geschwindigkeit und Beschleunigung
    bei geradlinigen Bewegungen besprochen (und zwar anständig, und nicht so wie heute, wo es lapidar heißt, das Fallen eines Steins werde durch die Funktion s(t) = 5t2 beschrieben). Danach kommen harmonische Schwingungen und der Wechselstromkreis.

    9.3. Anwendungen in der Wirtschaftstheorie, wo Elastizität von Angebot und Nachfrage, Produktions- und Grenzkosten, sowie Grenzerlös und Grenzgewinn besprochen werden.

    Nach der Entwicklung der Integralrechnung (ohne irgendwelche Hinweise auf die ach so wichtige Rekonstruktion von Bestandsfunktionen) geht es weiter:

    11.6. Arbeit und Energie (beschleunigte Bewegung, Federn, Kondensator, Magnetfeld einer Spule), sowie Konsumenten- und Produzentenrente in der Wirtschaft.

    Nach der Einführung von natürlichem Logarithmus und der Exponentialfunktion folgen dann der radioaktive Zerfall, Stromverlauf beim Ein- und Ausschalten eines Gleichstromkreislaufs, Energiemaximum im Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers, und die barometrische Höhenformel.

    Das war, wie gesagt, das Buch für damalige Grundkurse. Wenn man sich das in Ruhe ansieht, wird man zugeben müssen, dass die Abschaffer der Mathematik unter den Didaktikern von Heymann bis Herget ganze Arbeit geleistet haben.  Die Mathematik ist inzwischen ganz verschwunden; Ableitungsregeln können mangels Definitionen gar nicht bewiesen werden, und im Falle etwa von trigonometrischen Funktionen wird heute ungeniert auf die Formelsammlung verwiesen: man kann das auch einen Beweis durch Autoriät nennen.

    Was die Anwendungen in Physik und Wirtschaft betrifft, sind sie alle verschwunden. Das gilt sogar für die Aufgaben zur Gewinnmaximierung, die heute von einer Qualität sind, dass man weinen möchte: Man lässt nur noch eine Kostenfunktion vom Himmel fallen, von der man die Einnahmen abzzuziehen und dann den Gewinn zu maximieren hat. Was man bei solchen Aufgaben lernt, ist mir ein Rätsel.

    Ein Beispiel aus der Landwirtschaft, das wie alle andern Aufgaben hier aus dem Lambacher-Schweizer für die Kursstufe seit 2004 stammt, ist die folgende:



    Die optimale Düngerzugabe ist offenbar diejenige, die den Ertrag maximiert. Qualität spielt keine Rolle, ebensowenig wie die Nitratbelastung der Böden. Die Einheiten stehen zwar dabei, spielen aber bei der Lösung des Problems keine Rolle. Schlimmer noch: welcher Schüler ist in der Lage, die korrekte Einheit der Konstanten 13500 und c in der Formel anzugeben? Wie kann man Schülern in der Physik die Bedeutung der Einheiten klarmachen (gab es früher auch schon Schüler, die als Antwort eine Geschwindigkeit von 50 kg angegeben haben?), wenn in der Mathematik damit Schindluder getrieben wird? Die Ertragsfunktion fällt selbstverständlich vom Himmel - das haben moderne Modellierungsaufgaben so an sich.

    Die echten Physikaufgaben aus den Schulbüchern der 70er und 80er Jahre sind inzwischen zu 100% ersetzt worden durch hanebüchene und vollkommen belanglose Aufgaben, die nur noch den Anschein erwecken, als hätten sie etwas mit Physik zu tun, und die alles mögliche zeigen, nur nicht, dass Mathematik eine nützliche und zum Studium der Physik notwendige Wissenschaft ist. Die folgenden Beispiele lassen sich beliebig vermehren, und es sind noch nicht einmal die schlimmsten.

    Beginnen wir mit einer belanglosen Aufgabe:


    Ein durchhängendes Seil haben alle Schüler schon einmal gesehen, die Aufgabe entstammt also ihrer Lebenswelt.

    • Welchen Sinn hat sie? Ich wüsste keinen. 
    • Was lernt man über Physik oder Mathematik? Im besten Falle nichts.
    • Welches Problem wird mit der Modellierung gelöst? Keines.
    Die Wahl des Koordinatensystems hat der Aufgabensteller erledigt, ohne dass dafür auch nur eine Silbe verschwendet wird; warum die Modellierung durch Parabeln schlechter ist als durch die Kettenlinie, wird nicht erklärt, es wird nicht eimal der Begriff der Kettenlinie erwähnt. Auch auf welcher Grundlage man hier was modelliert hat, bleibt völlig unklar: weder die Endpunkte, an denen das Seil befestigt ist, noch die minimale Höhe oder sonst irgendein physikalischer Begriff, der hier von Bedeutung sein könnte, ist allen Funktionen der Schar gemein. 

    Das nächste Beispiel:


    Auch hier fällt die Funktionenschar vom Himmel. Die 2 ist dimensionslos, x wird in m/s gemessen und die Einheit von x2/v2 ist s2. Addiert man diese Größen, kommen Meter heraus. Natürlich könnte man wenigstens nach der Verifizierung fragen, dass der Abwurfwinkel 45und die Abwurfgeschwindigkeit v ist, aber das wäre zu viel Physik. Wenn man die Einkleidung nicht ernst nimmt, warum benutzt man sie dann und fragt nicht einfach nach der Ortskurve der Hochpunkte? Natürlich, um die SuSen von der Nützlichkeit der Mathematik zu überzeugen. Welche Bedeutung hat die Ortskurve für das physikalische Problem des schiefen Wurfs? Das ist nicht so wichtig.

    Damit kommen wir zur Energie.

    Dass die Einheiten wie immer irgendwie zusammengepfriemelt sind: geschenkt. Dass die Frage nach dem minimalen Energieverbauch  des Vogels nicht dem Energieverbrauch des Vogels gilt, sondern dem Energieverbauch pro Gramm Körpergewicht und pro geflogenem Kilometer: auch geschenkt (selbstverständlich braucht man zur Lösung der Aufgabe nicht zu wissen, was Energie, Masse oder Geschwindigkeit ist). Die Formel für E(v) fällt, ebenfalls wie immer, einmal mehr vom Himmel. Allerdings nicht ganz, denn anscheinend beruht die Aufgabe auf diesem Artikel aus der Zeit. Der Aufgabensteller hat also die 35 km/h, bei welcher der Energieverbrauch pro Gramm und Zeiteinheit minimal ist, hergenommen und daraus eine Funktion gebastelt (diejenige im Zähler von E(v): im Originalartikel wurde denn auch die Leistung bestimmt, also der Energieverbrauch pro Zeiteinheit), die er durch die Geschwindigkeit dividiert hat, damit die Lösung nicht offensichtlich ist und man den GTR braucht, um das Minimum zu bestimmen.

    Wer wissen möchte, wie es in Tuckers Arbeiten zu diesem Thema wirklich zugeht, kann einen Blick in diesen hier werfen, der von der Karikatur im LS aber meilenweit entfernt ist. Wer sich dafür näher interessiert, mag sich das Buch The Simple Science of Flight: From Insects to Jumbo Jets von Hendrik Tennekes anschauen.

    Zum Abschluss die Krönung aller physikalischen Aufgaben aus dem LS. Was mit Vögeln geht, kann man mit Fischen sicherlich auch machen:

    Wie man dieser Formel Einheiten geben kann, vermag ich nicht zu sagen. Die Einheit des Zählers xk hängt von k ab, während c eine Konstante ist; wie soll man da auf die Einheit Joule auf der linken Seite kommen? Das geht wohl nur, wenn c keine Konstante, sondern eine Funktion von k ist. Die größten Probleme mit solchen Aufgaben haben vermutlich diejenigen Schüler, die a) lesen können und b) ein bisschen Physik verstehen.

    Von den Aufgabenstellern kann man das nicht behaupten. Vögel haben ihren geringsten Energieverbrauch bei einer positiven Fluggeschwindigkeit, weil sie vom Himmel fallen, wenn sie zu langsam fliegen. Fische dagegen verbrauchen am wenigsten Energie, wenn sie gar nichts tun außer zu atmen, also bei einer Geschwindigkeit von 0 m/s. Der Energieverbrauch hängt sicherlich vom Widerstand des Fischs im Wasser ab, der in der Tat zwischen v2   und v3  liegen sollte (Physiker bezeichnen die Geschwindigkeit selten mit x). Allerdings braucht man zum Bestimmen des Minimums einer Funktion der Form f(x) = c xkeine Ableitung, also muss man die Funktion so abändern, dass sie diesem Anspruch genügt. Das ist einfach: man braucht die Funktion nur durch x-2 zu teilen.

    Weil c>0 ist, muss die Geschwindigkeit des Fischs x > 2 (also vermutlich größer als 2m/s) sein. Sollte der Fisch doch mal langsamer schwimmen, gibt er Energie ab, und die Energieprobleme der Menschheit sind gelöst. Wenn das mal keine nützliche Anwendung der Mathematik ist, dann weiß ich auch nicht. 

    Eine andere nützliche Anwendung irrationaler Zahlen stammt aus einem US-amerikanischen Lehrbuch - da ist man uns wie immer ein paar Jährchen voraus:



    Es gab Zeiten, da wäre jeder Mathematiklehrer, der gefragt hätte, ob die in Fuß gemessenen Seitenlängen eines Labyrinths in Dallas rational oder irrational sind, stante pede vom Blitz niedergestreckt worden. Heute wird die Seitenlänge eines quadratischen Labyrinths nicht einmal mehr gemessen, sondern durch Ziehen der Quadratwurzel aus der Fläche berechnet. Und wo sind Thor und Odin, wenn man sie braucht? Nun ja, dafür haben wir heute Modern Educayshun vom Feinsten:



    Samstag, 12. August 2017

    Heureka!

    Die wichtigste Zutat zur Durchsetzung von Reformen - ein Lateiner würde hier von einer conditio sine qua non sprechen - ist die Verächtlichmachung der Art und Weise, wie man zuvor unterrichtet hat. Das ist auch in den USA so, wo der bis vor kurzem dümmste Präsident aller Zeiten mit seinem "No child left behind" und sein Nachfolger, der für die Tatsache, dass er weniger dumm war, gleich den Friedensnobelpreis bekommen hat, mit den "Common Core Standards" grobe Keile auf einen groben Klotz gesetzt haben. Seither maulen Republikaner über CCS und Demokraten über NCLB und alte Lehrer über beides - man kennt das.

    Eine Umsetzung der CCS stammt von Eureka Math und wird auf sehr vielen Seiten recht gelobt (nicht auf allen - dieser Seite etwa verdanke ich die Erkenntnis, dass excel und open office, also die von deutschen Didaktikern über den grünen Klee gelobten Tabellenkalkulationsprogramme, die im modernen Mathematikunterricht unverzichtbar sind, den Ausdruck -2beide falsch berechnen). Jedenfalls lobt sich die Seite selbst - sicher ist sicher:

              Eureka Math unterscheidet sich vermutlich grundlegend von 
              Ihrem Mathematikunterricht und der Art und Weise, wie Sie 
              Mathematik gelernt haben.

    Das werden wir weiter unten bestätigt sehen.

              Um diesen neuen Herausforderungen zu begegnen, müssen wir 
              unsere Schüler darauf vorbereiten, Denker und Problemlöser zu
              sein und Mathematik wirklich zu VERSTEHEN.
     
    Was am alten Unterricht falsch war, wird der Sicherheit halber noch einmal unterstrichen:

               Mathematik wurde traditionell als "Tatsachen" und Formeln 
               gelehrt. Schülern wurde nur beigebracht, Formeln auswendig
               zu lernen und Probleme auf eine bestimmte Art zu lösen.

    Ich dagegen, und ich war nicht der einzige, habe Mathematik gemocht, weil man nichts lernen musste, wenn man die Sache verstanden hatte. Das ging nicht allen so:

                Das Problem an dieser Art des Unterrichts war, dass viele von 
                uns die Mathematik, mit der wir uns beschäftigt haben,  nicht 
                wirklich verstanden haben.

    Auch das mag stimmen. Das wirkliche Problem beginnt aber dort, wo die Leute, die als Schüler in Mathematik nichts verstanden haben, plötzlich Lehrbücher schreiben. Dazu schauen wir in die Lesson 4 auf dieser Seite, das sich mit der Berechnung von Flächeninhalten von Dreiecken in Klasse 6 beschäftigt. Aufgabe 5 geht so:


    Realitätsnahe Mathematik - wir kennen das inzwischen auch. Wirklich realitätsnah ist das auf der anderen Seite auch nicht, denn in Geschäften für Segelbootzubehör kann man selten Segel in der Form eines solchen Dreiecks kaufen. Als Laie würde ich vermuten, dass man den Stoff erst zuschneiden und den "Abfall" ebenfalls bezahlen muss. Aber vermutlich weiß man nach 6 Jahren realitätsnaher Mathematik, wann man der Realitätsnähe Grenzen setzt und einfach das ausrechnet, was man vermutlich ausrechnen soll, nämlich den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Dass man dies tatsächlich machen muss, scheint aus dem Satz

                 If the sailboat sales on are sail for $2 a square foot

    hervorzugehen, allerdings hatte ich als nicht-native-speaker so meine Probleme mit dem Satzbau. Aber wozu gibt es google translate?

               Wenn der Segelbootverkauf auf Segel für $2 ein Quadratfuß ist

    hilft uns aber nicht wirklich weiter, und auch auf Spanisch oder Französisch klingt das nicht sehr verständlich - anscheinend finden die Segelbootverkäufe dort nicht auf Segel, sondern auf einem Schiff statt. Nach langen Minuten des Nachdenkens über diesen Satz bin ich wohl auf die richtige Interpretation gekommen - die Lösung gibt's aber erst unten.

    Sei's drum, als Schüler weiß man ohnehin, dass man die Fläche des Dreiecks ausrechnen soll. Als Sechstklässler weiß man noch nicht, dass Dreiecke mit den Seiten 5, 12 und 13 rechtwinklig sind, weil 52 + 122 = 132 ist, aber es ist schön zu sehen, dass die Lehrbuchautoren dies wissen. Weil das große Dreieck mit den Seiten 12, 13 und 20 mit dem kleinen den rechten Winkel gemeinsame hat, sollte man annehmen, dass auch 122 + 132 = 202
    ist, aber wegen 122 + 13= 313 kann das nicht recht sein.

    Eine kleine Skizze mit geogebra zeigt, dass die wirkliche Höhe eines Dreiecks mit den Seiten 8, 13 und 20 ft auf die Seite der Länge 8 ft nicht 12 ft sind, sondern 7,75 ft. Das werden die Anderson's (nur echt mit dem Deppenapostroph, den es auch im Englischen gibt) nicht gerne hören: offenbar hat man sie übers Ohr gehauen.

    Nun ja, Fehler passieren. Schauen wir uns die nächste Aufgabe an:



    Ich habe keine Ahnung, wie ich Russell erklären soll, warum seine Lösung korrekt sein soll. Es geht um ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundseite 43 cm und den Schenkeln 25 cm, und im rechtwinkligen Dreieck daneben (wieder ein pythagoreisches wegen 72 + 242 = 252) scheint die halbe Grundseite 24 cm lang zu sein. Nun ja, Fehler passieren.


    Die Apostrophe sind schon mal richtig gesetzt, das gibt uns Hoffnung. Auch die Mutter aller pythagoreischen Dreiecke, das mit den Seiten 3, 4 und 5, gibt sich die Ehre. Das große macht aber wieder Probleme, weil 152 + 42 einfach nicht 182  sein will. Damit hat Donovan das Problem sicherlich nicht richtig gelöst, während Darnell den Flächeninhalt des falschen Dreiecks ausgerechnet hat, dafür aber richtig. Wie groß ist nun die wirkliche Höhe des Dreiecks mit den Seiten 5, 12 und 18?

    Die Antwort verblüfft: ein solches Dreieck gibt es nicht, weil die Seiten 5 und 12 zusammen kürzer sind als die dritte Seite 18. Aber wie gesagt, so ein Fehler kann schon einmal passieren.

    Auch hier wieder ein pythagoreisches Dreieck, nämlich das mit dem Faktor 2 vergrößerte (3, 4, 5)-Dreieck, und ein größeres Dreieck, das wieder keines ist, weil 10 inches und 24 inches zusammen deutlich kleiner sind als 42 inches. Vermutlich bin ich etwas kleinlich heute.
     
    Von allen Dreiecken, die es nicht gibt, gefällt mir das hier am besten, und zwar weil es Wasser auf die Mühlen der Didaktiker ist, die auch hierzulande seit Jahrzehnten für Taschenrechner ab dem Kindergarten und Computeralgebrasystemen in der Grundschule kämpfen (Meißner, Krauthausen, Barzel, Herget): um den Flächeninhalt des Dreiecks so auszurechnen, wie sich die Autoren das vorgestellt haben, muss man in Klasse 6 zweifellos den Taschenrechner benutzen, was kurz nach der Einführung der Bruchrechnung zweifellos eine sehr gute Idee ist. Und wenn der Taschenrechner sagt, der Flächeninhalt sei 121,125 ft, dann kann es ja gar nicht sein, dass es das Dreieck gar nicht gibt, denn wenn es dieses nicht gäbe, dann hätte es keinen Flächeninhalt, den der Taschenrechner ausrechnen kann. Ein ontologischer Dreiecksexistenzbeweis vom Feinsten, gell?

    Ein Versprechen gilt es noch einzulösen: ich wollte die Bedeutung des Satzes

        If the sailboat sales on are sail for $2 a square foot, how much will 
        the new sale cost?

    nachreichen. Meine Vermutung:

        If the sailboat sails are on sale for $2 a square foot, how much will 
        the new sail cost?

    Im Nachhinein ganz einfach. Aber so ist das immer in der Mathematik: hat man es erst einmal verstanden, ist es trivial. In diesem Sinne: Sales of Silver von Steeleye Span.


    Mittwoch, 9. August 2017

    Brohfesor Prieklman

    Mit der Orthographie der heutigen Jugend ist es, wenn man, wie Didaktiker gerne zu sagen pflegen, "Einzelbeobachtungen" glaubt (das sind Beobachtungen aller Leute, die beruflich mit der Jugend zu tun haben, und streng zu unterscheiden von belastbaren Studien der Bildungsforscher, die auf Stichproben von mindestens 30 ausgewählten Schülern zurückgreifen können), nicht arg weit her. Die namhaften Didaktiker (so werden sie bei der DMV bezeichnet, wenn sie viel geschrieben haben) sehen das naturgemäß anders, so auch Prof. Dr.  Brügelmann, seines Zeichens "Fachreferent im Grundschulverband".

    Wie wird man Fachreferent im Grundschulverband? Im vorliegenden Fall studiert man 5 Jahre Rechts-, Sozial- und Politische Wissenschaften, setzt nochmal 5 Jahre eines erziehungswissenschaftlichen Aufbaustudiums drauf und wird währenddessen in den  Ausschuss Strategien der Curriculumreform beim Deutschen  Bildungsrat berufen. Das reicht aus, um 1993 auf eine Professur für Grundschulpädagogik und -didaktik an die Universität Siegen berufen zu werden. Dort war zu diesem Zeitpunkt bereits  Hans Werner Heymann tätig, dessen wikipedia-Seite ihn ungelogen als Mathematiker bezeichnet und für seine berüchtigte Habilitation (mit dem Ziel, den verpflichtenden Mathematikunterricht ab Klasse 8 abzuschaffen) kaum eine Zeile übrig hat. Diese beiden Prof(i)s für das Unterrichten an der Universität Siegen haben also zusammen gerade mal überhaupt kein Jahr lang auch nur einen Schüler unterrichtet, saßen aber beide in diversen Kommittees zur Überarbeitung der Lehrpläne. Chapeau!

    Ebendieser Herr Brügelmann hat sich in seiner Eigenschaft als Fachreferent im Grundschulverband zum angeblichen Verfall der Rechtschreibkenntnisse geäußert, und zwar hier. Als erstes stellt er die Frage, ob diese Kenntnisse tatsächlich nachgelassen haben, und ob das überhaupt wichtig ist.

            Ob es tatsächlich einen Rechtschreibverfall gibt, bezeichnet 
            etwa der Direktor des Mercator-Instituts für Sprachförderung, 
            Prof. Becker-Mrotzek, als „eine müßige Frage".

    Habe ich schon erwähnt, dass auch Prof. Becker-Mrotzek kein einziges Jahr unterrichtet hat? Jedenfalls wird den Klagen über mangelhafte Orthographie gekonnt der Boden entzogen:

            Soweit es überhaupt einigermaßen seriöse Studien gebe, zeigen sie 
             eher „die Tendenz, dass die Rechtschreibleistungen nicht schlechter 
             geworden sind“. 

    Natürlich gilt das nur für einigermaßen seriöse Studien, also solche, die zum gewünschten Ergebnis kommen. Selbstverständlich, schließlich geht es hier um universitäre Forschung, wird diese Behauptung belegt, und zwar durch einen Verweis auf diese Seite des Tagesspiegels. Und tatsächlich, dort steht es schwarz auf weiß:

            Allerdings zeigen alle vorliegenden seriösen Studien – wie Hans 
            Brügelmann schon sagt – die Tendenz, dass die Rechtschreibleistungen 
            nicht schlechter geworden sind.

    Der Beleg von Herrn Professor Brügelmanns Behauptung ist also ein Verweis auf eine von Herrn Professor Brügelmann gemachte Behauptung - Forschung an Deutschlands Hochschulen kann so einfach sein!

    Um der Wahrheit die Ehre zu geben, verweist der Herr Professor auch auf eine tatsächliche Studie, und zwar mit einem link, der so anfängt:

                    file:///C:/Users/HB/Dropbox/Public/

    Mit der Medienkompetenz der Leute, die alle fünf Minuten über notwendige Lehrerfortbildung in Sachen Medienkompetenz schwadronieren, ist es also nicht sehr weit her. Lediglich der Verweis auf eine Hamburger Schreib-Probe ist zielführend und führt uns auf diese Seite, die dann auch klärt, woher die nicht fallenden Leistungen in Sachen Rechtschreibung kommen. Bei den Erhebungen von Herrn Dr. May (dieser hat vor mehr als 40 Jahren tatsächlich 4 Jahre lang unterrichtet, wenn man zwei Jahre Referendariat dazuzählt) werden nämlich nicht etwa die Rechtschreibfehler gezählt - das ist retro! - sondern auch Graphemtreffer:   

              Graphemtreffer: Die Zahl richtig geschriebener Grapheme dient 
              der Einschätzung des erreichten Niveaus des Rechtschreibkönnens.

    Brohfessor ist also kein Rechtschreibfehler, sondern ein Graphemtreffer, oder besser noch ein Grafehmdrepher. Oder, wie wir mit Professor  Becker-Mrotzek fragen möchten:

              Wie viel Abweichung oder Varianz verträgt die Rechtschreibung?      
          

    Mittwoch, 12. Juli 2017

    Logik für Anfänger Didaktiker

    Dass ich von der heutigen Mathematikdidaktik in Deutschland bis auf Ausnahmen von wenig mehr als ε Prozent nichts halte, sollte sich herumgesprochen haben. Es ist aber auch zu leicht, ihren Hauptprotagonisten Schlamperei und Unfähigkeit an allen Ecken und Enden nachzuweisen. Professor Aiso Heinze (wie fast alle seiner jüngeren Kollegen in der Didaktik hat auch er nie an einer Schule unterrichtet, sondern sich in die Wissenschaft von einem guten Unterricht hineinhabilitiert) hat Hochschuldozenten in MINT-Fächern befragt, welche Kenntnisse und Kompetenzen sie bei ihren Erstsemestern für notwendig halten und welche nicht. Wer mit Studien Erfahrung hat, die von der Telekom (oder von TI oder Casio) bezahlt werden, wird die Ergebnisse dieser Befragung nicht mit der ungeschminkten Wahrheit verwechseln; wer mag, kann die wesentlichen "Erkenntnisse" hier nachlesen.

    "Tu Gutes und rede darüber", hat sich Herr Heinze gedacht und dem Göttinger Tageblatt ein Interview gegeben. Darin zeigt er sich überrascht von einigen Ergebnissen:

          "Ein überraschendes Ergebnis war für mich, dass 78 Prozent der 
            Befragten ein sicherer Umgang mit Taschenrechner und Computer
            wichtig ist", hebt Heinze hervor.

    Was daran überraschend sein soll, wenn jemand MINT-Fächer studieren möchte, weiß ich beim besten Willen nicht. Wer zu doof ist, einen Taschenrechner zu bedienen, sollte nicht Ingeneur werden wollen. Deshalb erklärt Herr Heinze der Leserschaft, warum ihn das überrascht:

          "Das widerspricht der Darstellung eines Brandbriefes, den 
           Mathematik-Professoren im April veröffentlicht hatten. Darin 
           wurde der frühe Einsatz von Taschenrechnern kritisiert."

    Jetzt wäre ich überrascht, wenn ich mich nicht daran gewöhnt hätte, dass Deutschlands Didaktiker keine große Ahnung vom Unterrichten oder von höherer oder nicht so hoher Mathematik haben. Ich werde also versuchen, Herrn Heinze zu erklären, was ein Widerspruch ist, und zwar mittels eines Beispiels, das man vor nicht allzu langer Zeit in Schulbüchern noch gefunden hat und in vielen auch heute noch findet, nämlich mit dem Beweis, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist.

    Hier nimmt man an, dass sich √2 = p/q als Bruch schreiben lässt, also als Quotient zweier natürlicher Zahlen p und q. Dabei darf man annehmen, dass der Bruch vollständig gekürzt ist. Das bedeutet, Herr Heinze, dass p und q sich durch keine Zahl > 1 gleichzeitig teilen lassen. Quadriert man die Gleichung √2 = p/q und schafft die Nenner weg, folgt 2q2 = p2. Daraus wiederum folgt, dass p gerade ist. Dann ist aber  p2 durch 4 und damit q2 durch 2 teilbar, d.h. auch q muss gerade sein. Wir haben also gezeigt, dass p und q gleichzeitig durch 2 teilbar sind, während wir doch angenommen haben, dass sie teilerfremd sind. Das, Herr Heinze, ist ein Widerspruch, weil zwei Zahlen nicht gleichzeitig teilerfremd sein können und einen gemeinsamen Teiler 2 besitzen können.


    Nun zu dem, was Sie, Herr Heinze, nicht verstanden haben: Die Forderung nach einem sicheren Umgang mit dem Taschenrechner widerspricht nicht der Kritik im Brandbrief, wonach der exzessive Umgang mit dem Taschenrechner ab Klasse 7 dafür sorgt, dass die in Klasse 6 eingeführte Bruchrechnung sich durch Übung nicht festigen kann. Auf die Gefahr hin, meine wenigen Leser zu langweilen, will ich es Ihnen zu erklären versuchen: Man kann einen sicheren Umgang mit dem Taschenrechner erlernen, ohne dass man dies ab Klasse 7 übt; ebenso kann man mit 18 Jahren Pizzabote werden, ohne dass man mit 12 Jahren den Autoführerschein gemacht hat. Und man kann sich in diesem Land sogar dafür bezahlen lassen, Lehrern zu erklären, wie guter Unterricht funktioniert, ohne dass man jemals eine Klasse unterrichtet und erfolgreich zum Abschluss geführt hat. Das letzte Beispiel müssten Sie verstanden haben, ist es doch durch und durch kompetenzorientiert und direkt aus Ihrem Leben gegriffen.

    Noch zwei kleine Nachträge:

    1. Die im Bericht des Göttinger Tagblatts angesprochene "Podiumsdiskussion mit Vertretern aus Politik und Wissenschaft" zur Brandbriefkritik hat es nicht so mit den Vertretern aus der Wissenschaft gehabt: die Nichtpolitiker waren Heinze, Koepf und Elschenbroich, von denen die beiden letzteren in den vergangenen 20 Jahren aktiv und federführend am Abbau des Mathematikunterrichts beteiligt waren. Anscheinend konnte man Kritiker dabei nicht gebrauchen.

    2. Den Brandbrief findet man hier (man kann ihn immer noch unterschreiben, indem man eine Email an Astrid Baumann schickt) , und in der Wirtschaftswoche ist in den letzten Tagen ein Artikel zum Bruchrechnen erschienen.

    Sonntag, 2. Juli 2017

    Didaktik-Kasper machen den Otto

    Die Einbindung neuer technischer Erfindungen in den Mathematikunterricht hat eine jahrhundertelange Tradition. Die Römer unterrichteten mit dem Abakus, die Griechen mit Sandtafeln, und Adam Ries lehrte das Rechnen auf den Linien. Man erfand Sextanten und zeigte den Schülern, wie man mit trigonometrischen Funktionen umgeht und dies mit den eben dazu entwickelten Logarithmen berechnen kann. Der Rechenschieber erlaubte es, viele Rechnungen noch schneller durchzuführen, und mit dem Taschenrechner war auch das Rechnen mit hyperbolischen Funktionen kein Problem mehr.

    Etwas später haben die Didaktiker gemerkt, dass sogar Kinder einen Taschenrechner bedienen können. Dies hat zu den absurdesten Vorschlägen geführt; insbesondere Krauthausen und Meißner sind nicht müde geworden, die Einführung des Taschenrechners in Grundschulen und Kindergärten zu fordern. Wobei man Meißner zugute halten muss, dass er das wohl weniger aus Überzeugung denn aus finanziellen Gründen (TI hat der Uni Münster ein Jahrzehnt lang Drittmittelmillionen für das Absingen der Hymnen auf die Taschenrechner überwiesen) getan hat.

    Als dann die graphikfähigen Taschenrechner (GTR) auf den Markt kamen, haben Didaktiker bundesweit ihre Chance erkannt, über diese Geräte ihre Publikationsliste zu verlängern und mit Hilfe eigens dafür entworfener schwachsinniger realitätsbezogener Aufgaben Einfluss erst auf das Abitur und dann auf die Bildungspläne zu nehmen. Das gleiche gilt für die wenig später entwickelten CAS-Geräte (Computer-Algebra-Systeme). Wurde früher bei Einführung von Logarithmentafeln, Rechenschiebern und Taschenrechner der Schulstoff ausgeweitet, sorgen jetzt aber Didaktiker dafür, dass der Schulstoff durch die Einführung jedes neuen technischen Schnickschnacks wesentlich reduziert wird.

    Warum Baden-Württemberg 2004 den GTR im Abitur eingeführt hat, kann man 10 Jahre später in NRW nachlesen:

           Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht
    • beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen,
    • durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger   Darstellungsmöglichkeiten,
    • mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen,
    • durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von Kontrollmöglichkeiten.
    Dass das hohles Geschwätz ist mag man daran erkennen, dass in Baden-Württemberg gleichzeitig die Abkehr vom GTR beschlossen wurde (nächstes Jahr kommt das letzte GTR-Abitur). 

    Einer der ganz großen Verteidiger der Rechenknechte (und zwar von CASIO, schließlich kann TI nicht alle Didaktiker bezahlen) ist Hans-Jürgen Elschenbroich, der sich dann auch lautstark gegen die Abschaffung des GTR in BaWü geäußert hat, etwa im Artikel "Rechnen wie in der Steinzeit" . Dort kann man die gesammelten Märchen der Reformer nachlesen, etwa dass das Nachlassen der Rechenfertigkeiten durch den Einsatz technischer Hilfsmittel nicht wissenschaftlich fundiert sei. Das glaube ich sofort, denn eigentlich haben doch die Didaktiker die Aufgabe, solche Studien zu machen; das haben die aber nicht getan. Dass sie es deswegen nicht getan haben, weil sie von TI und Casio bezahlt worden sind, ist aber ein böses Gerücht, das meines Wissens durch keine Studie wissenschaftlich fundiert belegt ist. Dass sich Baden-Württemberg in die digitale Isolation begibt, wie Elschenbroich suggeriert, ist angesichts der Fakten eine seltsame Behauptung: auch in Bayern, Berlin, Brandenburg, Hamburg, Sachsen-Anhalt und Schleswig-Holstein gibt es keinen GTR im Abitur, und mir ist keine einzige deutsche Universität bekannt, die dieses Gerät in Klausuren der ersten Semester zulassen würde. Aber was sind schon Fakten.

    Schauen wir uns also einige der Gründe an, weswegen Lehrer ihre Schüler mit CASen beglücken sollten. Herget (der, das muss man ihm lassen, seit Jahrzehnten für die Abschaffung von Rechenfertigkeiten der Schüler kämpft), Heugl,  Kutzler und Lehmann beantworten die Frage, was man im CAS-Zeitalter noch rechnen können sollte, eindeutig und ausführlich in ihrem Artikel so: 
    1. Die Primfaktorzerlegung von 15 sollte man von Hand können, die von 30 dem CAS überlassen.
    2. Den Bruch 102/105 vereinfacht man von Hand, 100 x3y2/10xy5 dagegen mit dem CAS.
    3. 2(ab) vereinfacht man per Hand zu 2ab, während (2a+t)ein CAS übernimmt.
    4. Die Gleichung 5x-6 = 15 löst man per Hand nach x, 5x - 6 = 2x + 15 dagegen mit dem CAS.
    Seit wann man eine Gleichung nach x löst (und nicht nach x auflöst), weiß ich nicht. Sei's drum.
     
    Im neuen Lambacher-Schweizer 7 sind die Hergetschen Vereinfachungsaufgaben jedenfalls bereits aufgenommen; dort findet sich eine ganze Aufgabengruppe, bei der man 2n/3, 3/4*x, m*5/6 usw. vereinfachen soll. 

    Offizielles Ziel der Didaktik war es, durch Abschaffung der Rechenfertigkeit das Verständnis der Mathematik zu erhöhen. Ich weiß nicht, ob das außer der Politik je jemand geglaubt hat, denn zeitgleich haben die Didaktiker ja auch Definitionen, Sätze und Beweise aus den Büchern entfernt und durch mathematisches Argumentieren ersetzt, was in der schulischen Praxis auf ein Wiederkäuen auswendig gelernter Phrasen hinausläuft.

    Selbstverständlich kann ein CAS viel mehr als nur Gleichungen der Form 2x+1 = 16 lösen. In den TI-Nachrichten von 2002 demonstriert Josef Böhm, wie man mit einem CAS Gesichter malen kann:

    Ein popliger Taschenrechner, da geben wir Elschenbroich recht, kann das nicht.

    Im Computer-Algebra-Rundbrief von 2011 geben Prof. Guido Pinkernell und Clemens Diemer eine weitere Anwendungsmöglichkeit von Computer-Algebra-Systemen: man gibt seinen Vornamen, etwa Otto, in ein CAS ein und setzt Rechenzeichen zwischen die Buchstaben:
    Toll, gell? Man kann jetzt Algebra entdecken, indem man versucht, den Otto zur Null zu machen. Und man kann erforschen, ob man den Otto auch zur 1 oder zur 2 machen kann. Die Idee dahinter ist, anhand der Ausgabe des CAS die Rechenregeln für Klammerausdrücke zu erkunden. Ich gebe zu, dass es schwer ist, die Benutzung eines CAS zu rechtfertigen, nachdem man die ganzen Inhalte aus dem Mathematikunterricht entfernt hat. Aber sollte man derartige Perversitäten, wie sie Pinkernell da allen Ernstes vorschlägt, nicht doch verbieten? Oder zumindest dafür sorgen, dass dieser Schwachsinn nicht mehr vom Steuerzahler bezahlt wird? Im Ernst: Was machen diese Kasper mit meinem Fach? 

    Was machen diese Kasper mit meinem Fach?

    Samstag, 17. Juni 2017

    Begründen Sie, dass!

    Als Lehrer stumpft man im Laufe der Zeit ab und wundert sich über gar nichts mehr. Nur wenn man dann eine Aufgabe vorgesetzt bekommt wie

        Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f mit
        f(x) = x3+3x–1 genau eine Nullstelle hat,

    dann will man es doch wissen: Seit wann heißt es denn "Begründen Sie, dass"? Google kann helfen: Es findet zwar für "Begründen Sie, weshalb" knapp 5000, für "Begründen Sie, warum" deren 30800 und für "Begründen Sie, dass" mehr als 60000 Treffer. Allerdings führen die ersten 100 Treffer bei der letzten Suche bis auf vereinzelte Ausnahmen auf lauter Aufgaben zur Schulmathematik. Schränkt man die Suche auf Bücher ein, liefert google fast 4000 Treffer, davon 10 aus den Jahren vor 2000, während es in diesem Zeitraum 30mal so viel Treffer mit "Begründen Sie, warum" gibt.

    Die Floskel "Begründen Sie, dass" wurde also nach der Jahrtausendwende in der Schulmathematik eingeführt, und zwar aus guten Gründen. Als ich Mathematik studiert habe, haben die Aufgaben mit "Zeigen Sie, dass" begonnen, und erwartet wurde ein sauberer Beweis. Auch Schüler mussten damals noch etwas zeigen, etwa mit vollständiger Induktion oder durch einfache Rechnung, und ganz früher auch mit Hilfe einfacher geometrischer Sätze, die heute kein Didaktiker mehr kennt. Weil man das Beweisen in der Schule abgeschafft hat (Beweisen ist keine Allgemeinbildung, und Mathematikunterricht, so lehrt es die moderne Didaktik, muss nach Winter allgemeinbildend sein), geht das nicht mehr. Und weil man nicht mehr zeigen kann, weshalb etwas gilt, muss man jetzt begründen, dass etwas gilt. Zum Beispiel, dass eine kubische Funktion eine Nullstelle hat, und manche darunter genau eine - wir kennen das ja aus dem diesjährigen BW-Abi.

    Die obige Aufgabe stammt aus der Aufgabensammlung  von diversen Autoren, darunter Prof. Pinkernell, Heidelberg (genauer: PH Heidelberg, aber das steht nicht im Dokument) und dem Casio-Luder Elschenbroich (in der Didaktik gibt es TI-Luder (etwa Prof. Hartwig Meissner und Prof. Bärbel Barzel) und Casio-Luder (wie eben Herr Elschenbroich), je nachdem, welche Firma Millionen springen lässt, damit die Begünstigten Artikel über die Vorteile des Unterrichtens mit TI bzw. Casio schreiben und sich in offenen Briefen an die Landesregierung darüber beschweren, dass die Abschaffung des GTR Baden-Württemberg in die mathematische Steinzeit katapultieren wird).

    Interessant ist dabei nicht so sehr die Aufgabe selbst, sondern der Erwartungshorizont:

           Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
           dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden,

    Das ist richtig, weil man Algorithmen wie Hornerschema, Polynomdivision und Newtonverfahren aus dem Lehrplan gekegelt hat, um Platz zu schaffen für die Bedienungsanleitung der graphikfähigen Taschenrechner. Warum das hier erwähnt wird, ist nicht ganz klar, denn es soll ja nicht die Nullstelle von f bestimmt werden, sondern begründet werden, dass die Funktion eine solche besitzt.

    Das dürfte Schülern, die im letzten Jahrtausend Abitur gemacht haben, nicht schwerfallen, denn es ist f(0) = -1 und f(1) = 3. Die Funktion f ist stetig auf den reellen Zahlen und hat einen Vorzeichenwechsel auf dem Intervall [0,1], folglich hat f (nach dem Zwischenwertsatz) eine Nullstelle in diesem Intervall. Weil aber die Stetigkeit auch abgeschafft wurde (vom Zwischenwertsatz ganz zu schweigen), kann diese Lösung auch "nicht vorausgesetzt werden".

    Wie sollen Schüler also begründen, dass die Funktion f genau eine Nullstelle hat? Nun, Pinkernell und Elschenbroich erwarten das folgende:

           Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
           dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
           graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
           erwartet 

    Da wäre ich, das gebe ich zu, in 100 Jahren nicht draufgekommen. Warum macht man aus der Nullstelle von x³ + 3x – 1 einen Schnittpunkt der beiden Funktionen
    x³  – 1 und 3x (genauer wäre natürlich – 3x, das kann man schon mal übersehen)? Ich vermute, dass es daran liegt, dass Schüler zwar noch  x³  – 1 skizzieren können, aber bei  x³ + 3x – 1 überfordert sind, schließlich hat das ja bisher der GTR gemacht. Begründet, warum die Funktion einen Schnittpunkt hat, haben wir natürlich nicht; wir haben ja nicht einmal begründet, dass sie einen hat. Aber anscheinend reicht das den Herren Pinkernell und Elschenbroich.

    Es gibt aber (und so soll es bei guten Aufgaben ja auch sein) noch eine zweite Begründung (gut, die erste war keine, aber wir wollen nicht kleinlich sein):

           Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
           dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
           graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
           erwartet, oder eine Analyse der ersten Ableitung f‘(x) = 3x² + 3, aus 
          der hervorgeht, dass f überall streng monoton steigend ist.

    Was uns diese Begründung sagen will, erschließt sich mir nicht. Die Ableitung der Funktion g(x) = ex ist ebenfalls positiv, woraus hervorgeht, dass g überall streng monoton steigend ist. Aber hat g deswegen genau eine Nullstelle? Die Exponentialfunktion, das haben Schüler auswendig gelernt, hat jedenfalls keine. Also ist sie ein Gegenbeispiel zur Begründung, dass eine Funktion genau eine Nullstelle hat, wenn f streng monoton steigt.

    Natürlich kann ich mir denken, was Pinkernell und Elschenbroich gemeint haben, schließlich korrigiere ich seit 10 Jahren ganz ähnliche Fehler bei meinen Schülern. Sie haben gemeint, dass f keine zwei Nullstellen haben kann, wenn f streng monoton steigend ist. Aber zum einen steht das nicht da, zum andern ist es auch noch falsch: die Funktion h(x) = x – 1/x ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich streng monoton steigend und hat die beiden Nullstellen x1 = –1 und x2 = 1.  Aber natürlich, werden Sie einwenden, gilt dies nur bei stetigen Funktionen ohne Definitionslücke. Und damit sind wir wieder am Anfang: die Bestimmung von Definitionsbereichen wird in BW nur an Realschulen unterrichtet (noch; für die Einführung von Quartilen, Medianen und Boxplots, die inzwischen auch die Gymnasiasten beglücken, braucht man sicher wieder etwas Platz).

    Die ganze "Begründen-Sie-dass"-Industrie der modernen Didaktik ist ein ganz großer Schwindel. Es wird geschwurbelt, was das Zeug hält, und mit Mathematik hat das nicht nur nichts zu tun, vielmehr kann es mit Mathematik nichts zu tun haben, weil man dafür Definitionen und ein paar Sätze über reellwertige Funktionen braucht. Pinkernell und Elschenbroich können ganz sicher nicht "zeigen dass", und sie können auch nicht "begründen, warum". Sie können noch nicht einmal "begründen, dass".

    Freitag, 16. Juni 2017

    Gefahren des modernen Mathematikunterrichts

    Heute gibt es eine (etwas holprige) Übersetzung eines Artikels von Stuart Wachowicz. Mehr dazu am Ende.

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      "Stolz auf handwerkliches Können verpflichtet die Mathematiker
       einer Generation dazu, unerledigte Probleme ihrer Vorgänger
       zu erledigen."

              E.T.Bell, The Last Problem

    Die obige Aussage beschreibt höchst genau das Vermächtnis einer  Generation von Mathematikern für die nächste. Allerdings ist man versucht darüber nachzudenken, ob dies in Nordamerika weiterhin so sein wird. Das Fach Mathematik, wie wir es kennen, ist offenbar bedroht. Diese Bedrohung ist eine Folge davon, dass man Lehrplanautoren erlaubt, die jahrhundertelang gültige Definition von Mathematik und davon, was gelernt werden soll, zu ändern, und zwar auf der Grundlage des Utilitarismus, kombiniert mit der derzeitigen Praxis, die Pädagogik durch unbewiesene Modeerscheinungen zu versetzen.

    Vor einem Jahrhundert wurde die Drohung des Utilitarismus von Andrew  Carnegie kurz und prägnant so formuliert: "Schulen sind ein Ort, wo Kinder lernen, Dinge herzustellen." Heute wird dieselbe Idee im  Gedanken verkleidet, wonach Mathematik, um einen Wert zu haben, in einer Art studiert werden muss, die notwendig eine realitätsbezogene Anwendung (was immer das bedeutet) besitzt. Es ist natürlich richtig, dass Schüler  davon profitieren, wenn sie die Kraft der Mathematik bei der Lösung eines Problems aus dem Alltag erfahren; es gibt aber einen weiteren Aspekt des Fachs Mathematik, einen der den Einzelnen befähigt, die höchst elegante und genaue Sprache zu würdigen. Dies erinnert mich an eine Aussage, die Harold Jacobs im Vorwort seines Buchs "Mathematics: A Human Endeavor" geschrieben hat:

        "Einige der Themen in diesem Buch mögen scheinbar wenig praktischen
         Nutzen haben, aber die Bedeutung der Mathematik beruht nicht auf
         ihrem praktischen Wert. Es ist schwer zu glauben, dass jemand, der
         das erste Mal über den Grand Canyon fliegt, die Frage "Wozu ist
         der gut?" stellt. Manche Leute sagen exakt dasselbe von der Mathematik.
         Ein großer Mathematiker unseres Jahrhunderts, G.H. Hardy, sagte einmal
         "Ein Mathematiker ist, wie ein Maler oder ein Dichter, jemand, der 
          Muster herstellt." Einige dieser Muster haben eine umgehende 
         und offensichtliche Anwendung; andere werden vielleicht nie zu  
         irgendetwas nützlich sein. Aber wie der Grand Canyon hat die
         Mathematik ihre eigene Schönheit und übt einen Reiz auf die aus,
         die bereit sind zu sehen."

    In seinem Streben nach einem utilitaristischen Wert  der Mathematik versucht  der moderne Lehrplan an öffentlichen Schulen nicht mehr ernsthaft, den  Schülern ein tiefes Verständnis davon zu vermitteln, was Newton "die Sprache des Universums" genannt hat. Es ist nur ein Lippenbekenntnis, wenn das Ziel ausgesprochen wird, den Schülern Kompetenzen im Problemlösen zu vermitteln: moderne Lehrpläne legen keinen Wert auf die Grundlagen des Problemlösens: die Beherrschung von Beziehungen zwischen Zahlen und der fundamentalen Axiome und Postulate, auf welche das mathematische Argumentieren basiert. Praktisch alle Schüler könnten und sollten diese lernen.

    Die zweite Bedrohung ist, politisch gewollte Modeerscheinungen die  Pädagogik an unseren Schulen beeinflussen zu lassen. Hätten vor  vielen Jahrhunderten die Entwickler des Abakus der Gesellschaft die Idee verkaufen können, dass diese neue Technologie es überflüssig mache, dass Schüler weiterhin die grundlegenden arithmetischen Rechnungen beherrschen, dann hätte sich die Mathematik wohl anders entwickelt.  Sicherlich  wäre dieses Argument für Gesellschaften gültig gewesen, die recht umständliche Zahlensysteme hatten, etwa diejenigen in Griechenland und Rom. Aber nicht einmal in Gegenden, in welchen die indischen Ziffern übernommen wurden, hat der Abakus die Vorstellung entfernt, dass ein auch nur teilweise gebildeter Mensch das schriftliche Rechnen  beherrschen sollte. Trotz späterer technischer Erfindungen hat nie jemand ernsthaft behauptet, das Beherrschen des schriftlichen Rechnens wäre überflüssig. Heute dagegen, mit all den Fortschritten in der  Mikroelektronik (eine Folge der traditionellen Strenge in Mathematik und Technik), gibt es Leute, die vorschlagen, die Beherrschung des schriftlichen Rechnens durch den Taschenrechner zu ersetzen. Überall in den USA und in Kanada gibt es Didaktiker, die ständig auf der Suche nach etwas Neuem und Innovativem sind. Dies ist selten mit quantifizierter Forschung verbunden, die untersucht, ob die Neuerung tatsächlich ein besseres Resultat liefert, aber es kann zu einem akademischen Abschluss führen und jemanden im lukrativen Vortragszirkus plazieren. Getrieben von einer progressivistischen Ideologie versuchen sie, Schüler von der Schinderei des Rechnens zu befreien, insbesondere von der schriftlichen Division.

    Da die Taschenrechner der 1970er Jahre noch nicht mit Brüchen umgehen konnten, wurden die Lehrpläne dahingehend abgeändert, dass Dezimalzahlen früher eingeführt wurden, und die antiquierten Brüche wurden an den Rand gedrängt. Die Rolle des Bruchrechnens wurde so in der Grundschule reduziert und wurden nun an weiterführenden Schulen nachgeholt. Aber leider wurden die Taschenrechner besser und lernten bald, mit Brüchen umzugehen. Moderne Lehrpläne (wie das Western Canadian Protocol Framework für Mathematik) begannen damit, den Schülern freizustellen, ob sie derartige Rechnungen mit Papier und Bleistift und/oder mit einem Taschenrechner erledigen. In der Folge haben sich zuerst Lehrer und Eltern und dann Arbeitgeber darüber beschwert, dass sich Schüler nach dem Abgang von der Schule als unfähig erweisen, rationale Zahlen zu verstehen und mit ihnen zu rechnen. Lehrer an den High Schools, die sich mit Schülern befassen, welche  Beziehungen zwischen Zahlen nicht internalisiert haben, wie es früher  als Ergebnis der Beherrschung schriftlicher Rechenverfahren der Fall  gewesen ist, haben vermehrt Schwierigkeiten, ihren Schülern den flüssigen Umgang mit rationalen algebraischen Termen zu vermitteln.

    Vor wenigen Jahren haben die Hersteller den graphikfähigen Taschenrechner eingeführt. Die Gurus haben sofort die Änderung des Lehrplans verlangt, damit diese Neuerung die Schüler (bereits ohne ein sicheres Gefühl für den Umgang mit Zahlen) auf eine "neue Ebene" des Verständnisses heben könne. Nie mehr sollten sie langwierig die Parameter einer Hyperbel berechnen müssen. Man gibt einfach die Koeffizienten ein und schaut zu, wie kleine Linien auf dem Display erscheinen. Nie mehr würden Schüler die  quadratische Ergänzung beherrschen oder die Gleichung des Einheitskreises auswendig lernen müssen. Der umgehende Abruf aus dem Gehirn konnte ersetzt werden durch einen Mikrochip. Diejenigen, welche die Entscheidungen  getroffen haben, haben sich nie gefragt, wer graphikfähige Taschenrechner nach der High School noch verwendet. Die Tatsache, dass es praktisch überhaupt keine Verwendung für sie gibt wurde übersehen. Die Tatsache, dass Universitäten diese in Klausuren nicht erlaubten, wurde nicht in Erwägung gezogen. Sogar das Konzept des Auswendiglernens, das großartigste Werkzeug für die Entwicklung geistiger Fähigkeiten, wurde verdrängt.

    Hier liegt ein logischer Fehlschluss vor, den nur wenige  Bildungsexperten zuzugeben bereit sind. Neue Zugänge zur Mathematik an öffentlichen Schulen postulieren, dass es Schülern auch ohne eingeübte  Grundkenntnisse und einem Gespür für den Umgang mit Zahlen, ohne Fertigkeiten im Rechnen und beim algebraischen Umformen von Termen, sowie ohne Übung im Argumentieren möglich sei, algebraische, trigonometrische und geometrische Prinzipien auf einem Niveau zu verstehen, das es ihnen erlaubt, zu echten Problemlösern in Mathematik zu werden. Die Tatsache, dass weniger als 10 % der Master-Studenten in unserer Provinz Alberta ihre  frühe Ausbildung an öffentlichen Schulen in Nordamerika erhalten haben,  sollte Zweifel an dieser Theorie wecken, welche die Weisheit von Jahrhunderten missachtet. Die Wahrheit ist, dass ohne eine Wertschätzung des Fachs  Mathematik, die bereits in jungen Jahren entwickelt wird, mathematisches Argumentieren und die Entwicklung von mathematischem Potential erschwert wird.

    Der neue Zugang basiert auf der Grundidee, dass Technologie untrennbar mit dem Fach Mathematik verbunden ist. Technologie ist aber nur eine Folge der Mathematik. Wirkliche Mathematik ist nämlich unabhängig von Technologie. Heute dagegen ist Technologie der geistlose Motor hinter Erziehungsphilosophie, Lehrplanentwürfen und Lernstandserhebungen.  Mathematisches Argumentieren wird dadurch erschwert und ist zur Geisel dieser anti-intellektuellen technologischen Bewegung geworden.

    Während Technologie viele positive Anwendungen in der Erziehung haben mag, etwa um einem Lehrer im Unterricht zu helfen, ist der derzeitige übertriebene Gebrauch ein Problem sowohl aus finanzieller wie aus pädagogischer Perspektive. Die Didaktik behauptet, dass es, weil es so viel Information gibt, unmöglich sei, alles zu wissen. Also müssten Schüler, anstatt sich Wissen anzueignen, in der Beschaffung von Informationen kompetent  gemacht werden. Auch dies ist ein logischer Fehlschluss. Wissen war, ist und wird immer das Rohmaterial des Verstands sein, und ohne eine interne Basis an Wissen werden Kompetenzen nutzlos. Nirgendwo ist dies wahrer als in Mathematik.

    Wenn wir handwerkliche Meister haben wollen, welche die unerledigten Arbeiten unserer Vorgänger erledigen sollen, wie Bell bemerkte, dann müssen wir Schüler an öffentlichen Schulen das Wissen und die Fähigkeiten vermitteln, die es ihnen erlauben, genau das zu tun. Wenn die Kaiserin nackt ist, dann ist es die Pflicht derjenigen, die sich dieser Tatsache bewusst sind, so mutig zu sein, um sie zu informieren.

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    Dieser Artikel ist, das mag überraschen, bereits 16 Jahre alt. Er stammt aus der Zeitschrift  Pi in the sky vom Juni 2001. Wer sich diesen (oder andere) Artikel im Original zu Gemüte führen mächte, kann dies hier tun.

    Stuart Wichowicz war Direktor einer High School in Alberta und hat Abschlüsse in Geographie und Erziehungswissenschaften.


    Zum Schluss noch das Urteil eines der größten Mathematiker aller Zeiten, Carl-Friedrich Gauß:

          Aber nicht bloss unsere Armuth documentirt eine solche Art zu 
          urtheilen, sondern zugleich eine kleinliche, engherzige und träge 
          Denkungsart, eine Disposition, immer den Lohn jeder Kraftäusserung 
          ängstlich zu calculiren, einen Kaltsinn und eine Gefühllosigkeit gegen
          das Grosse und den Menschen Ehrende. Man kann es sich leider nicht 
          verheelen, dass man eine solche Denkungsart in unserm Zeitalter sehr 
          verbreitet findet, und es ist wohl völlig gewiss, dass gerade diese 
          Denkart mit dem Unglück, was in den letzten Zeiten so viele Staaten
          betroffen hat, in einem sehr genauen Zusammenhange steht; verstehen 
          Sie mich recht, ich spreche nicht von dem so häufigen Mangel an Sinn 
          für die Wissenschaften an sich, sondern von der Quelle, woraus derselbe
          fliesst, von der Tendenz, überall zuerst nach dem Vortheil zu fragen, und 
          alles auf physisches Wohlsein zu beziehen, von der Gleichgültigkeit gegen
          grosse Ideen, von der Abneigung gegen Kraftanstrengungen bloss aus 
          reinem Enthusiasmus für eine Sache an sich. 

    Freitag, 19. Mai 2017

    Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, fünfter Streich

    Ein Lob möchte ich dann doch noch loswerden: Unter den vielen bescheuerten Aufgaben aus dem diesjährigen Mathematikabitur in BW war eine, die tatsächlich sehr interessant war. Ich kann beim besten Willen nicht verstehen, wie das passieren konnte.

    Schüler übersetzen "interessant" mit "Einserbremse", und das war diese Aufgabe auch: Im Schnitt hat etwa ein Schüler pro Kurs die Aufgabe korrekt gelöst. Hier ist sie:
          Eine Funktion g ist gegeben durch g(x) = x - 1/x3; x ≠ 0.
          (b) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten 
                Abstand zur  Geraden mit der Gleichung y = 2x-1 besitzt.
                Ermitteln Sie die x-Koordinate dieses Punktes.
    Wie kann man hier vorgehen? Eine Möglichkeit ist, den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkte auf f(x) = 2x-1 und g(x) hinzuschreiben und das Minimum zu bestimmen. Nehmen wir den Punkt P(a|f(a)) auf dem Schaubild von f und Q(b|g(b)) auf demjenigen von g, dann ist der Abstand d gegeben durch
                                  d2 = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
    Das ist eine Funktion von zwei Variablen, die im Unterricht eher selten und im Schulbuch eher gar nicht vorkommt. Der Abstand d wird genau dann extremal, wenn dies für d2 gilt, folglich genügt es,  d2 zu betrachten. Nehmen wir b als fest an, wird  d2 zu einer Funktion von a:
           D(a) = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
    Setzt man die Ableitung gleich 0, erhält man
          a = (6b4 + 4b3 - 4)/(10b3).
    Einsetzen in D(a) liefert
           d2 = (b8- 2b7 + b6 + 2b4 - 2b3 + 1)/(5b).
    Wer sieht, dass im Zähler ein Quadrat steht, kann dies in der Form
          d =  (b4 - b3 +1)/(√5b3)
    schreiben, jedenfalls wenn man sieht, dass der Zähler b4 - b3 +1 > 0 ist. Nachrechnen kann man das durch die Bestimmung des Tiefpunkts dieser Funktion. Der letzte Schritt besteht in nochmaligen Ableiten und Nullsetzen, was auf b = 31/4 führt.

    Nicht einmal das IQB, das den Aufgabenpool überwacht, traut baden-württembergischen Gymnasiasten eine solche Lösung zu. Diese hätten wie folgt vorgehen sollen:
          Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet,
    Aber woher wissen wir das? Der GTR zeigt uns ja nur, dass es für, sagen wir, |x| < 10 keine Schnittpunkte gibt. In A 1.1. mussten wir die Käuferzahlen bis nach dem Ende des Universums als monoton steigend nachweisen, und hier mogeln wir uns mit dem GTR durch? Das verstehe, wer will. Der Nachweis, dass g die Gerade nicht schneidet, läuft auf die Gleichung x4 - x3 + 1 = 0 hinaus. Die üblichen Techniken (in BW gibt es nur noch zwei: Ausklammern und Substitution) greifen hier nicht, aber man kann, wie wir schon gesehen haben, das Problem umschiffen, indem man die Tiefpunkte dieser Funktion ausrechnet. Man muss halt nur darauf kommen.
            Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet, muss
            die Tangente an den Graphen von g im gesuchten Punkt Q(v|g(v))
            parallel zur gegebenen Geraden sein.
    Das wollen wir gerne glauben, aber wem? Im Schulbuch findet sich kein Satz,
    der einem so etwas auch nur nahelegen würde. Ein solcher Satz könnte in etwa so aussehen:
          Satz 1. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
          Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
          von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist f '(x) = g '(x).
    Man muss den Satz etwas genauer formulieren, um Probleme mit Randpunkten auszuschließen, etwa wenn g(x) = √x und f(x) = -x-1 ist.

    Setzt man f(x) = mx + c, so kann man diesen Satz wie im Spezialfall oben beweisen (Ableiten nach a, Nullsetzen, Einsetzen, Ableiten nach b, Nullsetzen),
    dass
          d2 = (f(b) - g(b))2/(m2+1)
    gilt. Wenn sich f und g nicht schneiden, folgt durch Ableiten und Nullsetzen
         f'(b) = g'(b).

    Man sieht auch, dass das Minimum von d dort angenommen wird, wo | f(x) - g(x) | minimal wird, wo also die vertikale Differenz am kleinsten ist:

          Satz 2. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
          Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
          von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist auch die vertikale 
          Differenz  | f(x) - g(x) | minimal.

    Schüler, die den unbewiesenen Satz 1 benutzt haben, bekamen die volle Punktzahl.
    Schüler, die den unbewiesenen Satz 2 benutzt haben, bekamen keinen Punkt, denn dieser Ansatz ist ja ein Denkfehler. Hier lautet die Frage also, wie richtig eine Lösung sein muss, damit man dafür Punkte vergeben kann.