Dienstag, 28. März 2017

Brandbrief II: bei den alternativen Fakten bleiben . . .


Es entbehrt nicht einer gewissen Komik, wenn man dies bei der  gegenwärtigen Bildungstragödie so nennen darf, dass die empirischen Didaktiker davon überzeugt zu sein scheinen, dass sie die "Fakten" auf ihrer Seite haben.

Komisch deswegen, weil sie mit ihren Studien über eine oder zwei Klassen den Eindruck von Lehrern übertrumpfen (um nicht zu sagen übertrumpen) möchten, die jede Woche mehr Schüler sehen als jede einzelne Studie testet.

Komisch deswegen, weil Studien keine Fakten hergeben, sondern nur Daten. So soll Deutschland beim letzten PISA-Test zumindest nicht schlechter geworden sein. Das ist ein Fakt. Die Behauptung, dies zeige, dass die Mathematikkenntnisse der deutschen Schüler zugenommen habe, ist dagegen kein Faktum, sondern eine Behauptung. Fakt ist, dass deutsche Schüler, seit sie im Mathematikunterricht PISA-Aufgaben trainieren, bei der Beantwortung von PISA-Fragen nicht schlechter geworden sind. Dass man PISA-Punkte nicht mit Mathematikkenntnissen identifizieren kann,  versteht sich für Hinz und Kunz von selbst, aber eben nicht für Blum und Kaiser. Intelligenz ist halt im wesentlichen normalverteilt . . .

Die Uminterpretation der PISA-Ergebnisse ist nun kein Ausrutscher,  sondern hat Methode. Die Auswertung der bei Studien gewonnenen Daten enthält in der Regel noch viel haarsträubendere Fehlschlüsse.

Beispiel 1: Um den Einfluss von Taschenrechnern auf die Rechenfertigkeiten zu testen, wird gefragt, wer von den Schülern bei Hausaufgaben den TR  benutzt. Die Daten legen nahe, dass die Benutzer des TR im Schnitt  besser rechnen können als die, die es nicht tun. Folgerung: die Benutzung des Taschenrechners verbessert die Rechenfertigkeiten.

 Tatsächlich werden diejenigen, die an Mathematik kein Interesse haben, die Hausaufgaben entweder nicht machen oder sie abschreiben; dafür braucht  man keinen TR. Die schlechten Schüler werden also automatisch bei den  Nichtbenutzern mitgerechnet.

Beispiel 2: In einer Studie (Nimbus)  wurden die Durchschnittspunkte von  Mädchen und Jungen im Abitur vor und nach Einführung des GTR  verglichen. Die der Mädchen sank um einen Punkt. Folgerung: Mädchen haben durch den GTR Nachteile.

Tatsächlich wurde gleichzeitig mit der Einführung des GTR die Leistungskurse abgeschafft. Mädchen wählten davor in der Mehrhheit den Grundkurs, die Leistungskurse waren vor allem von Jungs bevölkert. Durch die Abschaffung der Grundkurse wurde mehr  Mädchen als Jungen mehr abverlangt, was zu einem Sinken des Schnitts führte. Mit dem GTR hat das ganze also nichts bis gar nichts zu tun.

Beispiel 3: Natürlich ist es am einfachsten, wenn man bereits die Fragestellung so türkt, dass die Antworten das gewünschte Muster zeigen. Um etwa nachzuweisen, dass Schüler lieber die Pseudomodellierungsaufgaben  der modernen alternativen Didaktik rechnen als innermathematische Aufgaben (so heißen jetzt die Aufgaben, die man früher auf der Schule und der _Universität gelöst hat), bei denen man - Gott behüte - unter Umständen eine Idee braucht, kann  man den Fagebogen so gestalten wie Schukajlow, Leiss, Pekrun, Blum, Müller und Messner in Educational Studies in Mathematics, Vol. 79, No. 2  (February 2012), 215-237:


Abschließend sei gesagt, dass mir das Testergebnis einer Klasse und einer Vergleichsklasse eine Woche nach einer Lerneinheit an sämtlichen Körperteilen vorbeigeht. Was mich interessiert, ist ob die (bzw. wieviele) Schüler  den Stoff nach ein oder zwei Jahren bzw. beim Abitur oder Studienbeginn beherrschen. Das könnte man auch testen, macht es aber nicht, weil zum einen die Ergebnisse ernüchternd wären, und weil zum andern solche Langzeittests einer langen Publikationsliste nicht zuträglich sind: Die  großen Namen der modernen Didaktik schreiben gefühlte 50 Artikel pro Jahr. Dass dabei dicke Bretter gebohrt werden, kann glauben, wer mag.

Montag, 27. März 2017

Brandbrief

Der Brandbrief zum Zustand des Mathematikunterrichts von 130 Mathematiklehrern, Dozenten
und Professoren an Fachhochschulen und Universitäten hat seit der Veröffentlichung durch den Tagesspiegel einige Wellen geschlagen und Reaktionen hervorgerufen, auf die wir nun etwas eingehen wollen.

Kristina Reiss, Professorin für Didaktik an der TU München, hat sich sehr weit aus dem Fenster gelehnt:

      Es ist ein fundamentales Missverständnis, dass die Schule die Schüler
     studierfertig abzuliefern hat.

Vielen Kommentatoren auf der Seite des Tagesspiegels war das neu, tatsächlich findet sich die Aussage mehr oder weniger verklausuliert auch auf der Seite des Regierungspräsidiums Stuttgart:

     Das Gymnasium vermittelt Schülern mit entsprechenden Begabungen und Bildungsabsichten
    eine breite und vertiefte Allgemeinbildung, die zur Studierfähigkeit führt.

Das Gymnasium vermittelt Bildung, die zur Studierfähigkeit führt, diese aber nicht notwendig bereitstellt. Der Grund ist einfach: nach den Reformen seit 2004 hat es sich bei den Reformern herumgesprochen, dass das Niveau ins Bodenlose gefallen ist. Also wird kurzerhand das Ziel gewechselt: Hochschulreife war gestern, heute werden die Schüler, die an die Pforten der Universität klopfen, dort abgeholt, wo sie stehen.

Auch die anderen Aussagen von Frau Reiss zeigen, dass sie vom  Fach Mathematik keine Ahnung hat: dass man sich etwa algebraische Grundkenntnisse jederzeit aneignen könne, wenn man sie mal brauchen sollte, ist eine erstaunliche Aussage.

Zu IGB-Direktorin Stanat fällt mir nicht viel ein: als die oberste Brandstifterin hat sie kein Interesse an der Feuerwehr. Ziel sei es, dass das mathematische Verständnis vertieft abgeprüft wird. Wo? Im Abitur? Entweder kennt sie die Aufgaben nicht, die ihr Institut entwickelt, oder sie versteht sie nicht. Dass sie Pisa-Punkte mit Mathematikkenntnissen gleichsetzt, wundert da nicht mehr. Noch dümmer zeigt sich die baden-württembergische Bildungsministerin Eisenmann:

     Weil zudem die neuen Aufgaben von Mathematikern entwickelt wurden, "ist dieser 
     Brief auch eine Kritik an der eigenen Zunft".

 Vermutlich verwechselt sie Mathematiker mit Erziehungswissenschaftlerinnen, Psychologinnen und Didaktikerinnen, oder sie kennt sich nicht aus, oder sie lügt absichtlich. Der letzte Halbsatz ist die Krönung der Dummheit: was um alles in der Welt soll das (wenn es denn wahr wäre) bedeuten?

Günter Ziegler, Mathematikprofessor an der FU Berlun und lange Zeit Präsident der DMV, hat den Brief, wie er sagt, nicht unterschrieben. Ich wüsste auch nicht, dass er gefragt worden wäre, ist er doch an der Misere nicht unschuldig, weil unter seiner Führung die DMV jede, aber auch wirklich jede Reform von  MNU und GDM mitgetragen hat. Ein ganz großes mea culpa wäre hier eher am Platz als Gelaber von einer guten Balance zwischen Wissen und Kompetenz: Schülern, die nicht rechnen können, fehlt nämlich beides.

Klagen über mangelnde Kenntnisse der Studienanfänger sind nicht neu. Im Rahmen der Katastrophe der Neuen Mathematik  hat die DMV 1976 eine Denkschrift  veröffentlicht, die sich zu lesen lohnt. Von dem, was die DMV damals für nötig hielt, wird heute fast nichts mehr unterrichtet.

Sonntag, 26. März 2017

Der Digitalpakt, die SPD und das Schulz

Was ist an diesem Bild falsch?



Die Antwort lautet: die Überschrift. Die lautet nämlich:

     Kinder lernen digital die Sprache. 

Gemeint ist wohl die deutsche, aber sicher ist das nicht. Der nette Herr, der der Kindertagesstätte in Vordorf  das Schlaumäuse-Paket von Micro$oft überreicht, ist der Bundestagsabgeordnete Hubertus Heil, dem die Digitalisierung des Bildungssystems viel zu langsam geht. Erklärtes Ziel des Schlaumäuse-Pakets ist es, die Kinder möglichst früh an Microsoft heranzuführen. Es geht also um Profit und nicht um Bildung. Der SPD kann man nur raten, mal das Wort Schutzbefohlene nachzugoogeln oder gleich zu wikipedia zu gehen. Ich rechne aber mit keinerlei Lerneffekt. Selbst wenn die SPD sämtliche Minister durch Martin Schulz ersetzt, wird die SPD das bleiben, was sie ist. 

Montag, 13. März 2017

Realitätsnahe Aufgaben III

Mein Leidensgenosse Alexander Röntgen hat mir wieder eine Seite aus "seinem" Mathematikbuch geschickt:



So. Und jetzt ist es passiert: Ich bin sprachlos. Das ist unglaublich. Ich weiß nicht, was ich dazu noch sagen soll. Wären solche Aufgaben mit solchen Skizzen in meinen Mathebüchern gewesen, hätte ich niemandem verraten, dass ich vor hatte, Mathematik zu studieren. Ich hätte es wohl auch nicht getan. Ich hätte noch nicht einmal einen Leistungskurs Mathematik besucht, sondern das Fach so schnell wie möglich abgewählt.

Was, bitte, haben Zeichnungen von Drittklässlern in einem Mathematikbuch für einen Leistungskurs (!!!?) zu suchen? Warum sind Flugbahnen im Mathematikunterricht Geraden, im Physikunterricht Parabeln? Warum liegt B in der Zeichnung höher als W, obwohl B ganze 7,5 dm über W liegt?

Warum ist ein Drahtseil, auf dem ein Motorrad fährt, geradlinig? Wieso kann man mit 20 km/h ein solches Seil hochfahren, ohne dass man umkippt? Gelten in NRW andere physikalische Gesetze als im Rest der Welt, oder hat man die per Beschluss aus dem RP abgeschafft?

Warum verbuddelt man Wasserspeicher tief in der Erde? Warum trifft der Überlaufkanal den Wasserspeicher in der Mitte, sodass man ihn nicht einmal halb füllen kann? Warum vergräbt man  einen Wasserspeicher in N und plant dann später, eine Versorgungsleitung zur Oberfläche zu legen, damit das Wasser (das da wie hineingekommen ist?) wieder herauszubekommen?

Das alles sind Fragen, die durch meinen Kopf schwirren, während ich versuche herauszufinden, ob ich in den letzten 30 Jahren irgendwelche Drogen genommen habe, die jetzt einen formidablen flashback verursachen. Bis dann die Erleuchtung kommt: Keine Droge der Welt könnte mein Bewusstein so sehr erweitern, dass sich mein Gehirn die folgende Frage ausdenken hätte können. Eine Frage, die mehr als alle anderen deutlich macht, wie sehr die Autoren dieses Buchs von ihrer Pipi-Langstrumpf-Mathematik und deren Anwendungen überfordert sind, wie wenig Ahnung sie von Mathematik selbst, von Physik, von Technik, vom Leben an sich und von eigentlich so ziemlich allem haben. Ich kann nicht mehr.

                                Wie lang muss der Bohrer sein?


Hahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahaha.

Samstag, 11. März 2017

Realitätsnahe Aufgaben II

Die neuen Bücher für die Kursstufe (ohne GTR) trudeln langsam ein, lediglich Lambacher-Schweizer  wird nicht vor Ende Juli fertig. Deswegen heute ein paar Beispiele für realitätsnahe Mathematik in den Elementen der Mathematik von Schroedel (leider kann man den Verlag nicht dafür verklagen, dass der Titel das Wort Elemente enthält, weil Euklid vor 2300 Jahren vergessen hat, sich dieses Wort rechtlich sichern zu lassen).

  • Eine Werft stellt Luxusjachten her. Die Gesamtkosten in Abhängigkeitvon der Anzahl x der produzierten Jachten lassen sich näherungsweise durch die Funktion K beschreiben mit
                    K(x) = x3 - 9x2 + 28x + 25  (0 ≤ x ≤ 16) mit K(x) in Millionen Euro.


         Sind die Aufgabensteller sicher, dass es hier um Jachten und nicht  um, sagen wir,
         Jachten pro  Jahr geht? Oder geht die Werft nach 16 gebauten Jachten in die Insolvenz?
  • Eine Firma stellt bedruckte T-Shirts her. Die monatlichen Gesamtkosten in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl lassen sich näherungsweise durch die Funktion K mit
               K(x) = 0,0073x3 - 0,19x2 + 1,1x + 9,8 (x in Tausend T-Shirts, K(x) in 10000 Euro)     
           beschreiben.

          Eine Aufgabe aus der Lebenswelt der Schüler; spätestens wenn sie ihr Abi-Shirt bestellen,
          kommt ihnen der Verkäufer mit einem Polynom dritten Grades. Zum Glück haben sie
          gelernt, was dann zu tun ist.
  • Ein Betrieb plant, neuartige Batterien für Digitalkameras herzustellen, die zum Stückpreis von 30 Euro verkauft werden sollen. Die Kosten  für die Produktion von x Batterien betragen pro Monat   K(x) = x3/420.000 - x3/160 + 22x+ 5000 .
           Auf ein Neues: kosten x Batterien  K(x) Euro pro Monat, oder kosten x Batterien 
           pro Monat K(x) Euro? Man gewinnt den Eindruck, die Aufgabensteller würden den
           Unterschied gar nicht sehen.
  •  Zwei Masten A und B einer Seilbahn stehen 500 m auseinander. Die Mastspitze B liegt um 100 m höher als die Mastspitze A. Ein unbelastetes Seil zwischen den beiden Masten kann durch die Graphen der Funktionenschar ft mit ft (x) = tx2 + (0,2-500)tx beschrieben werden . . .        
          Ich will ja gar nicht auf den Unterschied zwischen Parabel und Kettenlinie eingehen. Aber
          wer spannt ein Seil zwischen zwei Masten, die einen halben Kilometer auseinander liegen?
  • Die Rutsche an der Kopenhagener Hafenpromenade Kalvebad Bolge ist aus drei Teilstücken montiert .                                                                                                                                                                                        
  • Bei den meisten Schanzen wird der Anlauf auf einem künstlichen Turm errichtet . . . Nach den Normen des internationalen Skiverbandes FIS kann der gekrümmte Bereich (der Übergangsbogen) ein Kreisausschnitt oder eine kubische Parabel sein.                                                  
  • Ein Kaffeegroßröster stellt Kaffeemischungen verschiedener Preisklassen her. Der Preis für 500 g einer Bohnensorte A beträgt 6 Euro, für 500 g einer Bohnensorte B 7,50 Euro, für 500 g einer Bohnensorte C 9 Euro  und für 500 g einer Bohnensorte D 11,50 Euro. Eine Mischung soll Bohnen der Sorte A, B, C enthalten und 6,75 Euro pro 500 g kosten.
           Eine arg dämliche Einkleidung. Das kann ich auch: Ein Getränkehersteller stellt 
           Getränke verschiedener Preisklassen her. 1 L Cola kostet 25 ct, 1 L Bier 40 ct und 
           1 L Wein 1,40 ct. Eine Mischung soll 99 ct pro Liter kosten . . . 
  • Ein Grundstück liegt unterhalb des Straßenniveaus. Bestimmen Sie zur Gestaltung der Auffahrt eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph jeweils einen knickfreien Übeergang zu den horizontal verlaufenden Teilstücken ermöglicht.
  • Einer Patientin wird über eine Infusion ein Medikament ins Blut verabreicht. Anschließend wird das Medikament vom Körper gleichmäßig abgebaut
  •  Eine Waldlfläche wird durch Holzeinschlag um 10 ha pro Jahr verringert. Nach 5 Jahren wird der Einschlag beendet und die Fläche wird wieder aufgeforstet, sodass die Waldlfäche dann um 7 ha pro Jahr zunimmt.
  • Ein  Navigationssystem rechnet für die Fahrt euf einer Autobahn mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 120 km/h und für die Fahrt auf einer Landstraße mit 100 km/h
          Durchschnittlich 100 km/h auf Landstraßen? In Saudiarabien vielleicht.
  • In einem Pumpspeicherwerk wird nachts, wenn der Strombedarf geringer ist, Wasser aus einem unteren Becken un ein oberes Becken gepumpt
  • Ein leeres Wasserbecken hat einen Zufluss und einen Abfluss, Zunächst wird der Zufluss 15 min geöffnet. Die Zuflussgeschwindigkeit beträgt 300 L/min. Dann wird 20 min lang der Zufluss geschlossen und der Abfluss geöffnet. Die Abflussgeschwindigkeit beträgt 200L/min. 
          Warum macht man das? Offenbar ist den Aufgabenstellern dazu keine Geschichte
          eingefallen
  • Dem Seelöwen Aramis geht es nicht gut. Der Tierarzt vermutet, dass der Verzehr von Fischen, die mit Quecksilber kontaminiert waren, die Ursache dafür sein könnte.
            Aramis wird wohl dafür bezahlen müssen, dass man die Glühbirnen durch
            Energiesparlampen ersetzt hat.
  • Der Kraftstoffverbrauch und die Emissionen bei einem Auto sind bei  gleichmäßiger Fahrweise . . . [Der momentane Kraftstoffverbrauch kann gut durch den] Graphen der Funktion k mit k(x) = 0,2 - 0,05 √x beschrieben werden.
  • Die Geschwindigkeit eines Geparden bei der Jagd, aus der Ruheposition bis er seine Beute gepackt hat, kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x) = 0,1x3 - 2,25x2 + 14 x [ . . .] beschrieben werden.
  • Die Funktion f mit f(t) = 0,2t3 - 48t2 + 2880t beschreibt den Wasserzufluss (in m3/Tag) in ein Rückhaltebecken in Abhängigkeit von der Zeit t (in Tagen) für 120 Tage,
  • Die Änderungsrate des Wasserstandes eines Hafens kann für einen Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(x) = 1/2 cos(x/2) + 1/2 cos(x/4) beschrieben werden.
  • Unmittelbar nach dem Deichbruch eines Flusses fließen etwa 150 m3 Wasser pro Minute durch die Bruchstelle. Man geht davon aus, dass sich die  Bruchstelle durch den Wasserfluß so vergrößert, dass sich innerhalb einer Minute die Durchflussstärke um 30 m3 pro Minute erhöht.
           Innerhalb einer Minute um 30 m3/min???
  •  Der abgebildete Graph beschreibt die momentane Änderungsrate einesTankinhalts
  •  In einem Wüstengebiet wird ein Wasserreservoir von einem Fluss gespeist, der lange Zeit des Jahres trocken liegt . . . 
  • Für ein Segelflugzeug ist die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit v(t) in Abhängigkeit von der Zeit t im rechts abgebildeten Graphen dargestellt.
  • Auf der Anzeige eines Messinstruments in einem Personenkraftwagen ist der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch auf 100 km zu sehen. Der  abgebildete Graph . . . 
  • Für Freizeitaktivitäten im Wassersport wird ein neuer Kanal als Verbindung zwischen zwei Seen angelegt. Bestimmen Sie einen Funktionsterm für den rechts abgebildeten Kanalboden . . .
  •  Seit der Antike beherrschen Baumeister die Kunst, Torbögen zu konstruieren, zum Beispiel für Tore, Brücken oder  Aquädukte.
           Keine Angst, die Kreisgleichung taucht nicht auf, schließlich sind  wir Abitur
           und nicht master.
  •  Der Yachthafen eines Segelclubs wird näherungsweise durch parabelförmig angelegte Kaimauern begrenzt . . . 
          Zu Beginn haben wir die Jacht noch mit J geschrieben.
  •  Ein rotationssymmetrischer Stahlbolzen kann durch die Rotation der Fläche unter dem abgebildeten Funktionsgraphen . . . beschrieben werden.
  • Die Form eines Woks kann näherungsweise durch die Mantelfläche der Schicht einer Kugel mit dem Radius r = 25 cm beschrieben werden.
  • Das 135 m hohe Riesenrad London Eye ist derzeit das höchste Europas. Eine Gondel ist  7 m lang, 3,5 m hoch und hat die Form eines Rotationskörpers. Ein solcher Rotationskörper entsteht, wenn der Graph der Funktion f mit f(x) = 3,5 √(cos(π/7)x) zwischen zwei benachbarten Stellen um die  x-Achse rotiert.
  •  In einem Wüstengebiet wird ein Wasserreservoir von einem Fluss gespeist, der lange Zeit des Jahres trocken liegt . . . 
            Diese Einkleidung hatten wir schon mal. Diesmal ist der Graph etwas anders,                                      und es gibt ein Foto dazu.
  •  Der Wanderverein MOUNTAIN TOURS sucht ein neues Logo für den Briefkopf und als Vorlage für Ehrenabzeichen, das an verdiente Mitglieder verliehen  werden soll.
  •  Ein rotationssymmetrisches Staubecken hat eine Parabel mit der Gleichung y=ax2 als Berandung des Querschnitts.
Das muss reichen, um einen Eindruck davon zu bekommen, was man heute im Mathematikunterricht so macht. Im Buch geht es noch 150 Seiten so weiter.

Auf zwei besonders merkwürdige Beispiele aus der intellektuellen Wüste des Modellierens im heutigen Schulunterricht möchte ich aber noch hinweisen:
  • Ein Autofahrer ist mit einer konstanten Geschwindigkeit von v0 = 108 km/h unterwegs. Plötzlich läuft 100 m vor ihm ein Reh über die Straße. Gelingt es ihm, noch vor dem Reh anzuhalten, wenn die Bremsverzögerung bei einer Vollbremsung -7,5 m/s2 beträgt? Beachten Sie, dass die typische Reaktionszeit  vom Erkennen der Gefahr bis zum Betätigen der Bremse etwa 1 s ("Schrecksekunde") beträgt?
Das würde ich gern vorrechnen: Ich nehme an, dass das Reh mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h über die 8 m breite Straße läuft. Dann ist es nach der Schrecksekunde des Autofahrers wieder von der Straße runter. Das Auto ist inzwischen 30 m weit gefahren. Wenn der Autofahrer gute Augen hat, kann er das Reh in dann noch 70 m Entfernung ganz passabel  erkennen.

Und noch eine Frage: wenn die Bremsverzögerung negativ ist, wird das Auto dann schneller?

Hin und wieder lasse ich meine Schüler wissen, dass ich für meinen Unterricht kein Gehalt bekomme, sondern nur Schmerzensgeld.

Der Offenbarungseid der Modellierer ist aber folgende Aufgabe:
  • Beim Kugelstoßen kann in einem vereinfachten Modell ein Punkt P(x|h(x)) der Flugbahn gut durch eine quadratische Funktion h mit
                        h(x) = g/(2 v02 cos2 (α)) x2 + tan(α) x + h0
            mit x und h(x) in m beschrieben werden.

Wenn nach 12 Jahren Modellieren im Mathematikunterricht die Parabelbahn eines Objekts beim schiefen Wurf unter Vernachlässigung des Luftwiderstands vom Himmel fallen muss, weil a) die Autoren selbst zu doof dazu sind, diese herzuleiten, und b) auch den Schülern eine solche Herleitung nicht zugemutet werden kann, weil die Grundlagen von Trigonometrie und Algebra nicht mehr vermittelt werden, dann muss doch selbst der dümmste unter allen Kompetenzschwaflern an den Fachbereichen der Erziehungswissenschaften und in den Regierungspräsidien einsehen, dass dieser Schwachsinn zu nichts taugt. Was daraus folgt, dass dem nicht so ist, weiß ich auch nicht.

Sonntag, 22. Januar 2017

Realitätsnahe Aufgaben I

Ich möchte in den nächsten Wochen einige Beispiele von Aufgaben vorstellen, mit denen die moderne Didaktik der heutigen Jugend erklärt, wie wichtig Mathematik doch ist, um Probleme aus der Lebenswelt der Schüler zu lösen.

Ich beginne mit einem Beispiel aus dem Buch "Realitätsbezüge im Mathematikunterricht",
herausgegeben von Jürgen Maaß und Hans-Stefan Siller. Die Aufgabe selbst entstammt dem Artikel "Der freie Fall - von der Stratosphäre bis zum Kuipergürtel" von Mag. Christian Spreitzer und Mag. Dr. Evelyn Süss-Stepancik. Hier ist sie:


    Vor ca. 65 Millionen Jahren entstand der Chicxulub-Krater (170 km  Durchmesser)
     auf der Halbinsel Yucatan (Mexiko) durch den Einschlag eines vermutlich etwa 
    10 km großen Eisenasteroiden. Dieser Einschlag  hat das Klima auf der Erde so 
    stark verändert, dass es zu einem Massensterben kam. Nimm an, dass sich der 
    Eisenasteroid mit rund  30.000 km/h direkt auf die Erde zubewegt hat. 

    Angenommen, die Richtung des Geschwindigkeitsvektors des Asteroiden lässt 
    sich mit einem im Weltraum postierten Laser um 0,00005<sup>o</sup> verändern.

   a) In welcher Entfernung von der Erde hätte man diesen Asteroiden spätestens 
       entdecken müssen, um seine Kollision mit der Erde noch zu verhindern
       (der Erdradius am Äquator beträgt 6378 km)?

   b) Wie viele Tage vor dem Einschlag hätte die letztmögliche Ablenkung des 
      Asteroiden stattfinden müssen?

   c) Was bedeuten diese Resultate für die Pläne zur Ablenkung von Asteroiden?

Wir wollen uns diese Aufgabe aus der Lebenswelt der SuS (ich habe schon Artikel von Mathematikdidaktikern gesehen, in der Schüler und Schülerinnen mit SS abgekürzt worden sind - daraus darf man durchaus auf die geschichtliche Allgemeinbildung der Leute schließen, die Lehrern bei jeder sich bietenden Gelegenheit mit Fortbildungen kommen) genauer anschauen. Man sagt uns, wir sollen annehmen, dass sich der Eisenasteroid mit ca 30.000 km/h auf die Erde zubewegt hat. Dies sind wenig mehr als 8 km/s, was fast unmöglich ist, weil das praktisch die Geschwindigkeit ist, mit der ein Objekt aus einem Orbit auf die Erde fallen würde. Der Asteroid müsste daher eine Art zweiter Mond der Erde gewesen sein, der irgendwann beschlossen hat, sich nicht mehr um die Erde zu drehen. Weitaus realistischer wären Geschwindigkeiten zwischen 20 und 40 km/s, wie man sie auch auf  wikipedia findet. Schüler hätten dort sicherlich nachgesehen, die Autoren nicht.

Dann sollen wir annehmen,  dass sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors  des Asteroiden mit einem im Weltraum postierten Laser um 0,00005o;verändern lässt.

Bereits dieser Satz verrät, dass es mit physikalischen Kenntnissen der Autoren nicht weit her sein kann; eine Ausrede hätten sie, wenn diese nachweisen könnten, dass sie in BaWü zur Schule gegangen sind, wo weder  Keplersche Gesetze, noch das Newtonsche Gravitationsgesetz im Lehrplan stehen. Selbstverständlich ändert sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors  eines Asteroiden ständig, wenn er nicht gerade schnurstracks auf die Sonne zufällt. Und das tun die wenigsten. Einer der letzten Asteroiden, die der Erde sehr sehr nahe kamen, bewegten sich so durchs All:





Liest man den Satz mit dem Laser, gewinnt man den Eindruck, dass die Autoren glauben, man ziele mit dem Laser auf den Asteroiden und drückt einen Knopf, und danach hat sich der Richtungsvektor um 50 Millionstel Grad gedreht. Hier weiß man gar nicht, wo man mit dem Richtigstellen  anfangen soll.

Der Plan bei der Ablenkung von Asteroiden durch Laser ist der folgende: man bringt eine Stelle des Asteroiden durch Bestrahlung mit einem Laser so zum Erhitzen, dass dieser anfängt, Teilchen in eine bestimmte Richtung abzustrahlen. Macht man dies lange genug, wird nach dem Newtonschen actio = reactio die Bahn des Asteroiden langsam verändert. Die Betonung liegt natürlich auf "lange genug": wir reden hier von Zeiten in der Größenordnung von Wochen bis Monaten. Selbstverständlich setzt diese Methode voraus, dass der Asteroid nicht (oder nur sehr langsam) rotiert, andernfalls würde diese Prozedur nur aus einem Orbit um den Asteroiden funktionieren, bei dem die Umlaufsdauer gleich der Rotationsdauer ist.

Weiter ist der Richtungsvektor nicht wirklich relevant; man könnte den  Asteroiden auch auf eine andere Bahn bringen, wenn man ihn nur  beschleunigt oder abbremst, ohne seine Richtung zu ändern (das tut er  unter dem Einfluss der Gravitation dann ohnehin selbst). Die Aufgabenstellung suggeriert jedenfalls, dass der Asteroid von seiner geraden Bahn auf die Erde zu kein Millionstel Grad abweicht, wenn man keinen Laser auf ihn abfeuert. Was für ein Weltbild dieser Vorstellung zugrunde liegt, kann ich nicht sagen; bereits bei den alten Griechen bewegten sich die Planeten nicht auf Geraden.

Aufgabe a) ist jedenfalls absoluter Humbug. Wer immer sich diese Aufgabe  ausgedacht hat, hat von Physik nicht den Hauch einer Ahnung. Das gleiche  gilt für Aufgabe b). Beide Teile legen nahe, dass es in der uns umgebenden Welt in etwa so zu geht: Asteroiden fliegen gemächlich auf Geraden mit konstanter Geschwindigkeit auf die Erde zu, und ein Schuss aus der Laserkanone kann deren Richtungsvektor um 50 Millionstel Grad ändern.  Leider ist das viel zu wenig, um den Asteroiden abzulenken; warum man dies nicht zehnmal oder 1000mal macht, wenn sich die Richtung jedesmal um 50 Millionstel Grad ändert, bleibt das Geheimnis der Autoren.

Lediglich Frage c) kann ich einen Sinn entlocken, wenn auch die Antwort nicht die ist, welche die Autoren wohl erwartet haben: Resultate von modellierenden Didaktikern bedeuten für die Pläne zur Ablenkung von Asteroiden rein überhaupt gar nichts. Tatsächlich gibt es nämlich durchaus Überlegungen, auf diesem Weg die Bahnen von Asteroiden zu ändern; siehe etwa "Directed 
Energy Planetary Defense". Ein lesenswerter Artikel, vor allem für diejenigen, die mal wissen wollen, was modellieren wirklich bedeutet.

Es ist nun nicht gerade so, dass man Astronomie studiert haben muss, um diesen Schwachsinn als Schwachsinn zu erkennen. Ich habe den Eindruck, dass die Leute, die von den Schülern selbstentdeckendes Lernen fordern, dies aus gutem Grund tun. Weil sie selbst nämlich keine Ahnung haben.

Andererseits hält Herr Spreitzer im WS 2016/17 an der PH NÖ eine Vorlesung über Atom-, Kern- und Teilchenphysik. Ich vermute, das wirft mein ganzes Weltbild über den Haufen.

Samstag, 14. Januar 2017

Vive la France

Frankreich macht, mit 10 Jahren Verspätung gegenüber Deutschland, exakt den gleichen Murks in der Bildungspolitik. Im Gegensatz zu uns meldet sich dort aber die erste Reihe der Mathematiker zu Wort, nämlich Mitglieder der Akademie der Wissenschaften (so etwas wie hierzulande die Gewinner der letzten Staffeln von Deutschland sucht den Superstar), darunter Jean-Pierre Serre. Nicht, dass es etwas genützt hätte: der folgende Aufruf stammt von 2011, als dort der neue Lehrplan diskutiert wurde, den wir in Deutschland bereits 2004 umgesetzt haben, wobei wir auch damals bei weitem nicht das französische Niveau in Sachen Schulmathematik erreicht hatten.

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Mitteilung der Mitglieder der Akademie der Wissenschaften  betreffend die ministeriellen Vorschläge zu den Lehrplänen  für Mathematik im letzten Schuljahr, vorgestellt im März 2011


Das Bildungsministerium hat im März 2011 zur Begutachtung der neuen Pläne für das letzte Schuljahr aufgerufen.  Was die Programme in Mathematik für das Abitur S (Das ist die "wissenschaftliche" Schiene des Abiturs; S steht für sciences. Mathematik spielt dort eine
zentrale Rolle. [FL]) angeht, so enthüllt eine genaue Untersuchung der Vorschläge gravierende Lücken und fehlenden Zusammenhang. Die im Vorwort genannten Ziele (Fähigkeit, eigenständig zu forschen, eine kritische Haltung einzunehmen, zu modellieren) sind keinesfalls innerhalb der angegebenen Stundenzahlen und mit den vorgeschlagenen Inhalten zu erreichen. Wir beobachten an vielen Stellen die Abschaffung von nützlichen Definitionen und eines minimalen Formalismus, die allein erlauben würden, präzise Überlegungen und Argumentationen durchzuführen. In der Analysis etwa, wo man annimmt, die Definition der Ableitung sei bereits in der vorletzten Klasse erarbeitet worden, steht der Begriff des endlichen Grenzwerts in einem Punkt nicht mehr im Lehrplan, und jede Erwähnung des Zusammenhangs mit dem Begriff der Stetigkeit ist verschwunden. Viele Definitionen berufen sich auf vage Intuition und die Mehrzahl der fundamentalen Ergebnisse werden ohne Begründung verwendet.  Anstatt die Stärkung der Rechenfertigkeiten der Schüler zu empfehlen, reduziert sich das angestrebte Ziel für das Rechnen mit Ableitungen auf die Verwendung einer Prothese, nämlich die Benutzung von Computer-Algebra-Systemen. Die Tangensfunktion scheint aus dem Kanon der Grundfunktionen verschwunden zu sein.

Was das gravierende Fehlen von Zusammenhang angeht, bemerken wir das Verschwinden eines Kapitels über Differentialgleichungen, obwohl die Exponentialfunktion weiterhin als Lösung einer solchen eingeführt wird. Das Kapitel über Wahrscheinlichkeit, das nur oberflächlich beeindruckend wirkt, ist von vielen grundlegenden Inhalten gesäubert, die für ihre Behandlung und ihr Verständnis notwendig sind. Es wäre unter diesen Umständen viel besser, erst einmal den Inhalt einzuschränken, bevor man auf die tieferen Fragen eingeht. Die Geometrie ist wieder einmal das ungeliebte Stiefkind dieser Reform; so ist die  Einführung der komplexen Zahlen ihrer geometrischen Einkleidung beraubt, die auf der Untersuchung der Ähnlichkeit beruht, und der räumlichen  Geometrie fehlt auf schmerzliche Art und Weise jegliche umfassende Vision.

Der Lehrplan für das Abitur S korrigiert kaum das mittelmäßige Gesamtbild [der Mathematik], denn anstatt Begriffe wie die eindeutige Primfaktorzerlegung oder den größten gemeinsamen Teiler zu besprechen, die früher einmal zu Beginn der Gymnasialzeit behandelt wurden, sieht man recht erstaunliche Propositionen auftauchen, etwa über das Ehrenfestmodell zum Stoffaustausch durch eine Membran oder Irrfahrten auf Graphen, deren Titel eher an fortgeschrittene Forschung von Spezialisten erinnern . . .

Die Gestaltung neuer Programme lässt sich nicht innerhalb weniger Wochen improvisieren, und es wäre sehr oft wünschenswert, zuvor Versuche in repräsentativen Klassen zu machen, gefolgt von einer unparteiischen Analyse durch Experten und Lehrkräfte.

Die Wirkung der zu begutachtenden Vorschläge, abgesehen vom Absingen einiger unerreichbarer gutklingender Ansprüche, wäre vor allen Dingen die nochmalige Reduktion der Inhalte der Mathematik, welche den Schülern vorgesetzt wird. Neue Themen wie das der Algorithmen lassen sich nicht  einführen, ohne das globale Gleichgewicht für die Stundenzahlen der anderen Disziplinen zu überprüfen. Die den Wissenschaften gewidmeten Stundenzahlen sind heute für den wissenschaftlichen Zweig der Schulen  vollkommen ungenügend. Es ist weiter sehr bedauerlich, dass die Mathematik aus diversen eher literarischen Zweigen der Schulausbildung verschwunden ist, die doch weiterhin die Anwärter auf Staatsbeamte oder allgemeine Lehrer stellen.

Unter diesen Umständen wäre es dringend notwendig, eine zusammenhängende  und ehrgeizige Reform der Oberstufe und der vorhergehenden Stufen der Schule  auf die Beine zu stellen; dies ist eine unumgängliche Voraussetzung, um das derzeitige Ausbluten der wissenschaftlichen Berufe aufzuhalten.

Erstunterzeichner: Jean-Pierre Demailly, Jean-Marc Fontaine,  Jean-Pierre Kahane, Gilles Lebeau, Bernard Malgrange, Gilles Pisier,  Jean-Pierre Ramis, Jean-Pierre Serre, Christophe Soulé


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Letztes Jahr hat die Kommission der Lehre bei der SMF Bilanz gezogen:

Seit der großen Bildungsreform der Oberstufe von 2011 haben wir 2013 und 2014 die ersten Studenten erhalten, die diese Ausbildung  durchlaufen haben. Durch eine deutliche  Senkung der Stundenzahlen in Mathematik und das andauernde Austrocknen der Geometrie zugunsten eines Unterrichts der Stochastik hat diese Reform spürbar die tatsächlichen Kenntnisse in Mathematik beim Verlassen des Gymnasiums verändert. Es ist der Kommission der Lehre bei der SMF wichtig, eine erste Bestandsaufnahme zu machen, die sich in drei Zeilen zusammenfassen lassen: Die Studenten, die an den Universitäten oder den Vorbereitungsklassen erscheinen,

  • beherrschen mehrheitlich weder numerische noch algebraische Rechnungen;
  • haben die Lust und die Fähigkeit zu ausdauerndem Arbeit verloren;
  • wissen nicht, was Mathematik ist.

Es ist verlockend darauf zu antworten, dass dieser Befund nicht neu ist, aber dieses mal scheint es, als würde er auch unsere besten und sehr gut motivierten Studenten betreffen.

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Die Reduktion der Stundenzahlen und der Programme haben zu einer Verringerung der Kenntnisse der Schüler geführt. Die Grundtechniken des Rechnens und des Argumentierens haben diese sich nicht angeeignet. Das Scheitern ist total: Vorzeichenregel, Distributivität, Addition von Brüchen, trigonometrische  Formeln, Wurzeln, einfache Ableitungen . . . nichts davon ist sofort  abrufbar und alles eine mögliche Fehlerquelle. Noch schlimmer ist, dass die Grundlagen für deduktives Schließen nicht gelegt sind.

Gleichzeitig, obwohl Wahrscheinlichkeit und Statistik an der Schule verstärkt unterricht wird, haben sich die Leistungen der Studenten auf diesem Gebiet überhaupt nicht verbessert.

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Die Studenten in den Vorbereitungsklassen sagen direkt, dass sie ihr Abitur mit Auszeichnung erhalten haben, ohne jemals außerhalb der Schulstunden etwas getan zu haben.