Samstag, 12. August 2017

Heureka!

Die wichtigste Zutat zur Durchsetzung von Reformen - ein Lateiner würde hier von einer conditio sine qua non sprechen - ist die Verächtlichmachung der Art und Weise, wie man zuvor unterrichtet hat. Das ist auch in den USA so, wo der bis vor kurzem dümmste Präsident aller Zeiten mit seinem "No child left behind" und sein Nachfolger, der für die Tatsache, dass er weniger dumm war, gleich den Friedensnobelpreis bekommen hat, mit den "Common Core Standards" grobe Keile auf einen groben Klotz gesetzt haben. Seither maulen Republikaner über CCS und Demokraten über NCLB und alte Lehrer über beides - man kennt das.

Eine Umsetzung der CCS stammt von Eureka Math und wird auf sehr vielen Seiten recht gelobt (nicht auf allen - dieser Seite etwa verdanke ich die Erkenntnis, dass excel und open office, also die von deutschen Didaktikern über den grünen Klee gelobten Tabellenkalkulationsprogramme, die im modernen Mathematikunterricht unverzichtbar sind, den Ausdruck -2beide falsch berechnen). Jedenfalls lobt sich die Seite selbst - sicher ist sicher:

          Eureka Math unterscheidet sich vermutlich grundlegend von 
          Ihrem Mathematikunterricht und der Art und Weise, wie Sie 
          Mathematik gelernt haben.

Das werden wir weiter unten bestätigt sehen.

          Um diesen neuen Herausforderungen zu begegnen, müssen wir 
          unsere Schüler darauf vorbereiten, Denker und Problemlöser zu
          sein und Mathematik wirklich zu VERSTEHEN.
 
Was am alten Unterricht falsch war, wird der Sicherheit halber noch einmal unterstrichen:

           Mathematik wurde traditionell als "Tatsachen" und Formeln 
           gelehrt. Schülern wurde nur beigebracht, Formeln auswendig
           zu lernen und Probleme auf eine bestimmte Art zu lösen.

Ich dagegen, und ich war nicht der einzige, habe Mathematik gemocht, weil man nichts lernen musste, wenn man die Sache verstanden hatte. Das ging nicht allen so:

            Das Problem an dieser Art des Unterrichts war, dass viele von 
            uns die Mathematik, mit der wir uns beschäftigt haben,  nicht 
            wirklich verstanden haben.

Auch das mag stimmen. Das wirkliche Problem beginnt aber dort, wo die Leute, die als Schüler in Mathematik nichts verstanden haben, plötzlich Lehrbücher schreiben. Dazu schauen wir in die Lesson 4 auf dieser Seite, das sich mit der Berechnung von Flächeninhalten von Dreiecken in Klasse 6 beschäftigt. Aufgabe 5 geht so:


Realitätsnahe Mathematik - wir kennen das inzwischen auch. Wirklich realitätsnah ist das auf der anderen Seite auch nicht, denn in Geschäften für Segelbootzubehör kann man selten Segel in der Form eines solchen Dreiecks kaufen. Als Laie würde ich vermuten, dass man den Stoff erst zuschneiden und den "Abfall" ebenfalls bezahlen muss. Aber vermutlich weiß man nach 6 Jahren realitätsnaher Mathematik, wann man der Realitätsnähe Grenzen setzt und einfach das ausrechnet, was man vermutlich ausrechnen soll, nämlich den Flächeninhalt des Dreiecks.

Dass man dies tatsächlich machen muss, scheint aus dem Satz

             If the sailboat sales on are sail for $2 a square foot

hervorzugehen, allerdings hatte ich als nicht-native-speaker so meine Probleme mit dem Satzbau. Aber wozu gibt es google translate?

           Wenn der Segelbootverkauf auf Segel für $2 ein Quadratfuß ist

hilft uns aber nicht wirklich weiter, und auch auf Spanisch oder Französisch klingt das nicht sehr verständlich - anscheinend finden die Segelbootverkäufe dort nicht auf Segel, sondern auf einem Schiff statt. Nach langen Minuten des Nachdenkens über diesen Satz bin ich wohl auf die richtige Interpretation gekommen - die Lösung gibt's aber erst unten.

Sei's drum, als Schüler weiß man ohnehin, dass man die Fläche des Dreiecks ausrechnen soll. Als Sechstklässler weiß man noch nicht, dass Dreiecke mit den Seiten 5, 12 und 13 rechtwinklig sind, weil 52 + 122 = 132 ist, aber es ist schön zu sehen, dass die Lehrbuchautoren dies wissen. Weil das große Dreieck mit den Seiten 12, 13 und 20 mit dem kleinen den rechten Winkel gemeinsame hat, sollte man annehmen, dass auch 122 + 132 = 202
ist, aber wegen 122 + 13= 313 kann das nicht recht sein.

Eine kleine Skizze mit geogebra zeigt, dass die wirkliche Höhe eines Dreiecks mit den Seiten 8, 13 und 20 ft auf die Seite der Länge 8 ft nicht 12 ft sind, sondern 7,75 ft. Das werden die Anderson's (nur echt mit dem Deppenapostroph, den es auch im Englischen gibt) nicht gerne hören: offenbar hat man sie übers Ohr gehauen.

Nun ja, Fehler passieren. Schauen wir uns die nächste Aufgabe an:



Ich habe keine Ahnung, wie ich Russell erklären soll, warum seine Lösung korrekt sein soll. Es geht um ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundseite 43 cm und den Schenkeln 25 cm, und im rechtwinkligen Dreieck daneben (wieder ein pythagoreisches wegen 72 + 242 = 252) scheint die halbe Grundseite 24 cm lang zu sein. Nun ja, Fehler passieren.


Die Apostrophe sind schon mal richtig gesetzt, das gibt uns Hoffnung. Auch die Mutter aller pythagoreischen Dreiecke, das mit den Seiten 3, 4 und 5, gibt sich die Ehre. Das große macht aber wieder Probleme, weil 152 + 42 einfach nicht 182  sein will. Damit hat Donovan das Problem sicherlich nicht richtig gelöst, während Darnell den Flächeninhalt des falschen Dreiecks ausgerechnet hat, dafür aber richtig. Wie groß ist nun die wirkliche Höhe des Dreiecks mit den Seiten 5, 12 und 18?

Die Antwort verblüfft: ein solches Dreieck gibt es nicht, weil die Seiten 5 und 12 zusammen kürzer sind als die dritte Seite 18. Aber wie gesagt, so ein Fehler kann schon einmal passieren.

Auch hier wieder ein pythagoreisches Dreieck, nämlich das mit dem Faktor 2 vergrößerte (3, 4, 5)-Dreieck, und ein größeres Dreieck, das wieder keines ist, weil 10 inches und 24 inches zusammen deutlich kleiner sind als 42 inches. Vermutlich bin ich etwas kleinlich heute.
 
Von allen Dreiecken, die es nicht gibt, gefällt mir das hier am besten, und zwar weil es Wasser auf die Mühlen der Didaktiker ist, die auch hierzulande seit Jahrzehnten für Taschenrechner ab dem Kindergarten und Computeralgebrasystemen in der Grundschule kämpfen (Meißner, Krauthausen, Barzel, Herget): um den Flächeninhalt des Dreiecks so auszurechnen, wie sich die Autoren das vorgestellt haben, muss man in Klasse 6 zweifellos den Taschenrechner benutzen, was kurz nach der Einführung der Bruchrechnung zweifellos eine sehr gute Idee ist. Und wenn der Taschenrechner sagt, der Flächeninhalt sei 121,125 ft, dann kann es ja gar nicht sein, dass es das Dreieck gar nicht gibt, denn wenn es dieses nicht gäbe, dann hätte es keinen Flächeninhalt, den der Taschenrechner ausrechnen kann. Ein ontologischer Dreiecksexistenzbeweis vom Feinsten, gell?

Ein Versprechen gilt es noch einzulösen: ich wollte die Bedeutung des Satzes

    If the sailboat sales on are sail for $2 a square foot, how much will 
    the new sale cost?

nachreichen. Meine Vermutung:

    If the sailboat sails are on sale for $2 a square foot, how much will 
    the new sail cost?

Im Nachhinein ganz einfach. Aber so ist das immer in der Mathematik: hat man es erst einmal verstanden, ist es trivial. In diesem Sinne: Sales of Silver von Steeleye Span.


Mittwoch, 9. August 2017

Brohfesor Prieklman

Mit der Orthographie der heutigen Jugend ist es, wenn man, wie Didaktiker gerne zu sagen pflegen, "Einzelbeobachtungen" glaubt (das sind Beobachtungen aller Leute, die beruflich mit der Jugend zu tun haben, und streng zu unterscheiden von belastbaren Studien der Bildungsforscher, die auf Stichproben von mindestens 30 ausgewählten Schülern zurückgreifen können), nicht arg weit her. Die namhaften Didaktiker (so werden sie bei der DMV bezeichnet, wenn sie viel geschrieben haben) sehen das naturgemäß anders, so auch Prof. Dr.  Brügelmann, seines Zeichens "Fachreferent im Grundschulverband".

Wie wird man Fachreferent im Grundschulverband? Im vorliegenden Fall studiert man 5 Jahre Rechts-, Sozial- und Politische Wissenschaften, setzt nochmal 5 Jahre eines erziehungswissenschaftlichen Aufbaustudiums drauf und wird währenddessen in den  Ausschuss Strategien der Curriculumreform beim Deutschen  Bildungsrat berufen. Das reicht aus, um 1993 auf eine Professur für Grundschulpädagogik und -didaktik an die Universität Siegen berufen zu werden. Dort war zu diesem Zeitpunkt bereits  Hans Werner Heymann tätig, dessen wikipedia-Seite ihn ungelogen als Mathematiker bezeichnet und für seine berüchtigte Habilitation (mit dem Ziel, den verpflichtenden Mathematikunterricht ab Klasse 8 abzuschaffen) kaum eine Zeile übrig hat. Diese beiden Prof(i)s für das Unterrichten an der Universität Siegen haben also zusammen gerade mal überhaupt kein Jahr lang auch nur einen Schüler unterrichtet, saßen aber beide in diversen Kommittees zur Überarbeitung der Lehrpläne. Chapeau!

Ebendieser Herr Brügelmann hat sich in seiner Eigenschaft als Fachreferent im Grundschulverband zum angeblichen Verfall der Rechtschreibkenntnisse geäußert, und zwar hier. Als erstes stellt er die Frage, ob diese Kenntnisse tatsächlich nachgelassen haben, und ob das überhaupt wichtig ist.

        Ob es tatsächlich einen Rechtschreibverfall gibt, bezeichnet 
        etwa der Direktor des Mercator-Instituts für Sprachförderung, 
        Prof. Becker-Mrotzek, als „eine müßige Frage".

Habe ich schon erwähnt, dass auch Prof. Becker-Mrotzek kein einziges Jahr unterrichtet hat? Jedenfalls wird den Klagen über mangelhafte Orthographie gekonnt der Boden entzogen:

        Soweit es überhaupt einigermaßen seriöse Studien gebe, zeigen sie 
         eher „die Tendenz, dass die Rechtschreibleistungen nicht schlechter 
         geworden sind“. 

Natürlich gilt das nur für einigermaßen seriöse Studien, also solche, die zum gewünschten Ergebnis kommen. Selbstverständlich, schließlich geht es hier um universitäre Forschung, wird diese Behauptung belegt, und zwar durch einen Verweis auf diese Seite des Tagesspiegels. Und tatsächlich, dort steht es schwarz auf weiß:

        Allerdings zeigen alle vorliegenden seriösen Studien – wie Hans 
        Brügelmann schon sagt – die Tendenz, dass die Rechtschreibleistungen 
        nicht schlechter geworden sind.

Der Beleg von Herrn Professor Brügelmanns Behauptung ist also ein Verweis auf eine von Herrn Professor Brügelmann gemachte Behauptung - Forschung an Deutschlands Hochschulen kann so einfach sein!

Um der Wahrheit die Ehre zu geben, verweist der Herr Professor auch auf eine tatsächliche Studie, und zwar mit einem link, der so anfängt:

                file:///C:/Users/HB/Dropbox/Public/

Mit der Medienkompetenz der Leute, die alle fünf Minuten über notwendige Lehrerfortbildung in Sachen Medienkompetenz schwadronieren, ist es also nicht sehr weit her. Lediglich der Verweis auf eine Hamburger Schreib-Probe ist zielführend und führt uns auf diese Seite, die dann auch klärt, woher die nicht fallenden Leistungen in Sachen Rechtschreibung kommen. Bei den Erhebungen von Herrn Dr. May (dieser hat vor mehr als 40 Jahren tatsächlich 4 Jahre lang unterrichtet, wenn man zwei Jahre Referendariat dazuzählt) werden nämlich nicht etwa die Rechtschreibfehler gezählt - das ist retro! - sondern auch Graphemtreffer:   

          Graphemtreffer: Die Zahl richtig geschriebener Grapheme dient 
          der Einschätzung des erreichten Niveaus des Rechtschreibkönnens.

Brohfessor ist also kein Rechtschreibfehler, sondern ein Graphemtreffer, oder besser noch ein Grafehmdrepher. Oder, wie wir mit Professor  Becker-Mrotzek fragen möchten:

          Wie viel Abweichung oder Varianz verträgt die Rechtschreibung?      
      

Mittwoch, 12. Juli 2017

Logik für Anfänger Didaktiker

Dass ich von der heutigen Mathematikdidaktik in Deutschland bis auf Ausnahmen von wenig mehr als ε Prozent nichts halte, sollte sich herumgesprochen haben. Es ist aber auch zu leicht, ihren Hauptprotagonisten Schlamperei und Unfähigkeit an allen Ecken und Enden nachzuweisen. Professor Aiso Heinze (wie fast alle seiner jüngeren Kollegen in der Didaktik hat auch er nie an einer Schule unterrichtet, sondern sich in die Wissenschaft von einem guten Unterricht hineinhabilitiert) hat Hochschuldozenten in MINT-Fächern befragt, welche Kenntnisse und Kompetenzen sie bei ihren Erstsemestern für notwendig halten und welche nicht. Wer mit Studien Erfahrung hat, die von der Telekom (oder von TI oder Casio) bezahlt werden, wird die Ergebnisse dieser Befragung nicht mit der ungeschminkten Wahrheit verwechseln; wer mag, kann die wesentlichen "Erkenntnisse" hier nachlesen.

"Tu Gutes und rede darüber", hat sich Herr Heinze gedacht und dem Göttinger Tageblatt ein Interview gegeben. Darin zeigt er sich überrascht von einigen Ergebnissen:

      "Ein überraschendes Ergebnis war für mich, dass 78 Prozent der 
        Befragten ein sicherer Umgang mit Taschenrechner und Computer
        wichtig ist", hebt Heinze hervor.

Was daran überraschend sein soll, wenn jemand MINT-Fächer studieren möchte, weiß ich beim besten Willen nicht. Wer zu doof ist, einen Taschenrechner zu bedienen, sollte nicht Ingeneur werden wollen. Deshalb erklärt Herr Heinze der Leserschaft, warum ihn das überrascht:

      "Das widerspricht der Darstellung eines Brandbriefes, den 
       Mathematik-Professoren im April veröffentlicht hatten. Darin 
       wurde der frühe Einsatz von Taschenrechnern kritisiert."

Jetzt wäre ich überrascht, wenn ich mich nicht daran gewöhnt hätte, dass Deutschlands Didaktiker keine große Ahnung vom Unterrichten oder von höherer oder nicht so hoher Mathematik haben. Ich werde also versuchen, Herrn Heinze zu erklären, was ein Widerspruch ist, und zwar mittels eines Beispiels, das man vor nicht allzu langer Zeit in Schulbüchern noch gefunden hat und in vielen auch heute noch findet, nämlich mit dem Beweis, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist.

Hier nimmt man an, dass sich √2 = p/q als Bruch schreiben lässt, also als Quotient zweier natürlicher Zahlen p und q. Dabei darf man annehmen, dass der Bruch vollständig gekürzt ist. Das bedeutet, Herr Heinze, dass p und q sich durch keine Zahl > 1 gleichzeitig teilen lassen. Quadriert man die Gleichung √2 = p/q und schafft die Nenner weg, folgt 2q2 = p2. Daraus wiederum folgt, dass p gerade ist. Dann ist aber  p2 durch 4 und damit q2 durch 2 teilbar, d.h. auch q muss gerade sein. Wir haben also gezeigt, dass p und q gleichzeitig durch 2 teilbar sind, während wir doch angenommen haben, dass sie teilerfremd sind. Das, Herr Heinze, ist ein Widerspruch, weil zwei Zahlen nicht gleichzeitig teilerfremd sein können und einen gemeinsamen Teiler 2 besitzen können.


Nun zu dem, was Sie, Herr Heinze, nicht verstanden haben: Die Forderung nach einem sicheren Umgang mit dem Taschenrechner widerspricht nicht der Kritik im Brandbrief, wonach der exzessive Umgang mit dem Taschenrechner ab Klasse 7 dafür sorgt, dass die in Klasse 6 eingeführte Bruchrechnung sich durch Übung nicht festigen kann. Auf die Gefahr hin, meine wenigen Leser zu langweilen, will ich es Ihnen zu erklären versuchen: Man kann einen sicheren Umgang mit dem Taschenrechner erlernen, ohne dass man dies ab Klasse 7 übt; ebenso kann man mit 18 Jahren Pizzabote werden, ohne dass man mit 12 Jahren den Autoführerschein gemacht hat. Und man kann sich in diesem Land sogar dafür bezahlen lassen, Lehrern zu erklären, wie guter Unterricht funktioniert, ohne dass man jemals eine Klasse unterrichtet und erfolgreich zum Abschluss geführt hat. Das letzte Beispiel müssten Sie verstanden haben, ist es doch durch und durch kompetenzorientiert und direkt aus Ihrem Leben gegriffen.

Noch zwei kleine Nachträge:

1. Die im Bericht des Göttinger Tagblatts angesprochene "Podiumsdiskussion mit Vertretern aus Politik und Wissenschaft" zur Brandbriefkritik hat es nicht so mit den Vertretern aus der Wissenschaft gehabt: die Nichtpolitiker waren Heinze, Koepf und Elschenbroich, von denen die beiden letzteren in den vergangenen 20 Jahren aktiv und federführend am Abbau des Mathematikunterrichts beteiligt waren. Anscheinend konnte man Kritiker dabei nicht gebrauchen.

2. Den Brandbrief findet man hier (man kann ihn immer noch unterschreiben, indem man eine Email an Astrid Baumann schickt) , und in der Wirtschaftswoche ist in den letzten Tagen ein Artikel zum Bruchrechnen erschienen.

Sonntag, 2. Juli 2017

Didaktik-Kasper machen den Otto

Die Einbindung neuer technischer Erfindungen in den Mathematikunterricht hat eine jahrhundertelange Tradition. Die Römer unterrichteten mit dem Abakus, die Griechen mit Sandtafeln, und Adam Ries lehrte das Rechnen auf den Linien. Man erfand Sextanten und zeigte den Schülern, wie man mit trigonometrischen Funktionen umgeht und dies mit den eben dazu entwickelten Logarithmen berechnen kann. Der Rechenschieber erlaubte es, viele Rechnungen noch schneller durchzuführen, und mit dem Taschenrechner war auch das Rechnen mit hyperbolischen Funktionen kein Problem mehr.

Etwas später haben die Didaktiker gemerkt, dass sogar Kinder einen Taschenrechner bedienen können. Dies hat zu den absurdesten Vorschlägen geführt; insbesondere Krauthausen und Meißner sind nicht müde geworden, die Einführung des Taschenrechners in Grundschulen und Kindergärten zu fordern. Wobei man Meißner zugute halten muss, dass er das wohl weniger aus Überzeugung denn aus finanziellen Gründen (TI hat der Uni Münster ein Jahrzehnt lang Drittmittelmillionen für das Absingen der Hymnen auf die Taschenrechner überwiesen) getan hat.

Als dann die graphikfähigen Taschenrechner (GTR) auf den Markt kamen, haben Didaktiker bundesweit ihre Chance erkannt, über diese Geräte ihre Publikationsliste zu verlängern und mit Hilfe eigens dafür entworfener schwachsinniger realitätsbezogener Aufgaben Einfluss erst auf das Abitur und dann auf die Bildungspläne zu nehmen. Das gleiche gilt für die wenig später entwickelten CAS-Geräte (Computer-Algebra-Systeme). Wurde früher bei Einführung von Logarithmentafeln, Rechenschiebern und Taschenrechner der Schulstoff ausgeweitet, sorgen jetzt aber Didaktiker dafür, dass der Schulstoff durch die Einführung jedes neuen technischen Schnickschnacks wesentlich reduziert wird.

Warum Baden-Württemberg 2004 den GTR im Abitur eingeführt hat, kann man 10 Jahre später in NRW nachlesen:

       Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht
  • beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen,
  • durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger   Darstellungsmöglichkeiten,
  • mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen,
  • durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von Kontrollmöglichkeiten.
Dass das hohles Geschwätz ist mag man daran erkennen, dass in Baden-Württemberg gleichzeitig die Abkehr vom GTR beschlossen wurde (nächstes Jahr kommt das letzte GTR-Abitur). 

Einer der ganz großen Verteidiger der Rechenknechte (und zwar von CASIO, schließlich kann TI nicht alle Didaktiker bezahlen) ist Hans-Jürgen Elschenbroich, der sich dann auch lautstark gegen die Abschaffung des GTR in BaWü geäußert hat, etwa im Artikel "Rechnen wie in der Steinzeit" . Dort kann man die gesammelten Märchen der Reformer nachlesen, etwa dass das Nachlassen der Rechenfertigkeiten durch den Einsatz technischer Hilfsmittel nicht wissenschaftlich fundiert sei. Das glaube ich sofort, denn eigentlich haben doch die Didaktiker die Aufgabe, solche Studien zu machen; das haben die aber nicht getan. Dass sie es deswegen nicht getan haben, weil sie von TI und Casio bezahlt worden sind, ist aber ein böses Gerücht, das meines Wissens durch keine Studie wissenschaftlich fundiert belegt ist. Dass sich Baden-Württemberg in die digitale Isolation begibt, wie Elschenbroich suggeriert, ist angesichts der Fakten eine seltsame Behauptung: auch in Bayern, Berlin, Brandenburg, Hamburg, Sachsen-Anhalt und Schleswig-Holstein gibt es keinen GTR im Abitur, und mir ist keine einzige deutsche Universität bekannt, die dieses Gerät in Klausuren der ersten Semester zulassen würde. Aber was sind schon Fakten.

Schauen wir uns also einige der Gründe an, weswegen Lehrer ihre Schüler mit CASen beglücken sollten. Herget (der, das muss man ihm lassen, seit Jahrzehnten für die Abschaffung von Rechenfertigkeiten der Schüler kämpft), Heugl,  Kutzler und Lehmann beantworten die Frage, was man im CAS-Zeitalter noch rechnen können sollte, eindeutig und ausführlich in ihrem Artikel so: 
  1. Die Primfaktorzerlegung von 15 sollte man von Hand können, die von 30 dem CAS überlassen.
  2. Den Bruch 102/105 vereinfacht man von Hand, 100 x3y2/10xy5 dagegen mit dem CAS.
  3. 2(ab) vereinfacht man per Hand zu 2ab, während (2a+t)ein CAS übernimmt.
  4. Die Gleichung 5x-6 = 15 löst man per Hand nach x, 5x - 6 = 2x + 15 dagegen mit dem CAS.
Seit wann man eine Gleichung nach x löst (und nicht nach x auflöst), weiß ich nicht. Sei's drum.
 
Im neuen Lambacher-Schweizer 7 sind die Hergetschen Vereinfachungsaufgaben jedenfalls bereits aufgenommen; dort findet sich eine ganze Aufgabengruppe, bei der man 2n/3, 3/4*x, m*5/6 usw. vereinfachen soll. 

Offizielles Ziel der Didaktik war es, durch Abschaffung der Rechenfertigkeit das Verständnis der Mathematik zu erhöhen. Ich weiß nicht, ob das außer der Politik je jemand geglaubt hat, denn zeitgleich haben die Didaktiker ja auch Definitionen, Sätze und Beweise aus den Büchern entfernt und durch mathematisches Argumentieren ersetzt, was in der schulischen Praxis auf ein Wiederkäuen auswendig gelernter Phrasen hinausläuft.

Selbstverständlich kann ein CAS viel mehr als nur Gleichungen der Form 2x+1 = 16 lösen. In den TI-Nachrichten von 2002 demonstriert Josef Böhm, wie man mit einem CAS Gesichter malen kann:

Ein popliger Taschenrechner, da geben wir Elschenbroich recht, kann das nicht.

Im Computer-Algebra-Rundbrief von 2011 geben Prof. Guido Pinkernell und Clemens Diemer eine weitere Anwendungsmöglichkeit von Computer-Algebra-Systemen: man gibt seinen Vornamen, etwa Otto, in ein CAS ein und setzt Rechenzeichen zwischen die Buchstaben:
Toll, gell? Man kann jetzt Algebra entdecken, indem man versucht, den Otto zur Null zu machen. Und man kann erforschen, ob man den Otto auch zur 1 oder zur 2 machen kann. Die Idee dahinter ist, anhand der Ausgabe des CAS die Rechenregeln für Klammerausdrücke zu erkunden. Ich gebe zu, dass es schwer ist, die Benutzung eines CAS zu rechtfertigen, nachdem man die ganzen Inhalte aus dem Mathematikunterricht entfernt hat. Aber sollte man derartige Perversitäten, wie sie Pinkernell da allen Ernstes vorschlägt, nicht doch verbieten? Oder zumindest dafür sorgen, dass dieser Schwachsinn nicht mehr vom Steuerzahler bezahlt wird? Im Ernst: Was machen diese Kasper mit meinem Fach? 

Was machen diese Kasper mit meinem Fach?

Samstag, 17. Juni 2017

Begründen Sie, dass!

Als Lehrer stumpft man im Laufe der Zeit ab und wundert sich über gar nichts mehr. Nur wenn man dann eine Aufgabe vorgesetzt bekommt wie

    Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f mit
    f(x) = x3+3x–1 genau eine Nullstelle hat,

dann will man es doch wissen: Seit wann heißt es denn "Begründen Sie, dass"? Google kann helfen: Es findet zwar für "Begründen Sie, weshalb" knapp 5000, für "Begründen Sie, warum" deren 30800 und für "Begründen Sie, dass" mehr als 60000 Treffer. Allerdings führen die ersten 100 Treffer bei der letzten Suche bis auf vereinzelte Ausnahmen auf lauter Aufgaben zur Schulmathematik. Schränkt man die Suche auf Bücher ein, liefert google fast 4000 Treffer, davon 10 aus den Jahren vor 2000, während es in diesem Zeitraum 30mal so viel Treffer mit "Begründen Sie, warum" gibt.

Die Floskel "Begründen Sie, dass" wurde also nach der Jahrtausendwende in der Schulmathematik eingeführt, und zwar aus guten Gründen. Als ich Mathematik studiert habe, haben die Aufgaben mit "Zeigen Sie, dass" begonnen, und erwartet wurde ein sauberer Beweis. Auch Schüler mussten damals noch etwas zeigen, etwa mit vollständiger Induktion oder durch einfache Rechnung, und ganz früher auch mit Hilfe einfacher geometrischer Sätze, die heute kein Didaktiker mehr kennt. Weil man das Beweisen in der Schule abgeschafft hat (Beweisen ist keine Allgemeinbildung, und Mathematikunterricht, so lehrt es die moderne Didaktik, muss nach Winter allgemeinbildend sein), geht das nicht mehr. Und weil man nicht mehr zeigen kann, weshalb etwas gilt, muss man jetzt begründen, dass etwas gilt. Zum Beispiel, dass eine kubische Funktion eine Nullstelle hat, und manche darunter genau eine - wir kennen das ja aus dem diesjährigen BW-Abi.

Die obige Aufgabe stammt aus der Aufgabensammlung  von diversen Autoren, darunter Prof. Pinkernell, Heidelberg (genauer: PH Heidelberg, aber das steht nicht im Dokument) und dem Casio-Luder Elschenbroich (in der Didaktik gibt es TI-Luder (etwa Prof. Hartwig Meissner und Prof. Bärbel Barzel) und Casio-Luder (wie eben Herr Elschenbroich), je nachdem, welche Firma Millionen springen lässt, damit die Begünstigten Artikel über die Vorteile des Unterrichtens mit TI bzw. Casio schreiben und sich in offenen Briefen an die Landesregierung darüber beschweren, dass die Abschaffung des GTR Baden-Württemberg in die mathematische Steinzeit katapultieren wird).

Interessant ist dabei nicht so sehr die Aufgabe selbst, sondern der Erwartungshorizont:

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden,

Das ist richtig, weil man Algorithmen wie Hornerschema, Polynomdivision und Newtonverfahren aus dem Lehrplan gekegelt hat, um Platz zu schaffen für die Bedienungsanleitung der graphikfähigen Taschenrechner. Warum das hier erwähnt wird, ist nicht ganz klar, denn es soll ja nicht die Nullstelle von f bestimmt werden, sondern begründet werden, dass die Funktion eine solche besitzt.

Das dürfte Schülern, die im letzten Jahrtausend Abitur gemacht haben, nicht schwerfallen, denn es ist f(0) = -1 und f(1) = 3. Die Funktion f ist stetig auf den reellen Zahlen und hat einen Vorzeichenwechsel auf dem Intervall [0,1], folglich hat f (nach dem Zwischenwertsatz) eine Nullstelle in diesem Intervall. Weil aber die Stetigkeit auch abgeschafft wurde (vom Zwischenwertsatz ganz zu schweigen), kann diese Lösung auch "nicht vorausgesetzt werden".

Wie sollen Schüler also begründen, dass die Funktion f genau eine Nullstelle hat? Nun, Pinkernell und Elschenbroich erwarten das folgende:

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
       graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
       erwartet 

Da wäre ich, das gebe ich zu, in 100 Jahren nicht draufgekommen. Warum macht man aus der Nullstelle von x³ + 3x – 1 einen Schnittpunkt der beiden Funktionen
x³  – 1 und 3x (genauer wäre natürlich – 3x, das kann man schon mal übersehen)? Ich vermute, dass es daran liegt, dass Schüler zwar noch  x³  – 1 skizzieren können, aber bei  x³ + 3x – 1 überfordert sind, schließlich hat das ja bisher der GTR gemacht. Begründet, warum die Funktion einen Schnittpunkt hat, haben wir natürlich nicht; wir haben ja nicht einmal begründet, dass sie einen hat. Aber anscheinend reicht das den Herren Pinkernell und Elschenbroich.

Es gibt aber (und so soll es bei guten Aufgaben ja auch sein) noch eine zweite Begründung (gut, die erste war keine, aber wir wollen nicht kleinlich sein):

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
       graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
       erwartet, oder eine Analyse der ersten Ableitung f‘(x) = 3x² + 3, aus 
      der hervorgeht, dass f überall streng monoton steigend ist.

Was uns diese Begründung sagen will, erschließt sich mir nicht. Die Ableitung der Funktion g(x) = ex ist ebenfalls positiv, woraus hervorgeht, dass g überall streng monoton steigend ist. Aber hat g deswegen genau eine Nullstelle? Die Exponentialfunktion, das haben Schüler auswendig gelernt, hat jedenfalls keine. Also ist sie ein Gegenbeispiel zur Begründung, dass eine Funktion genau eine Nullstelle hat, wenn f streng monoton steigt.

Natürlich kann ich mir denken, was Pinkernell und Elschenbroich gemeint haben, schließlich korrigiere ich seit 10 Jahren ganz ähnliche Fehler bei meinen Schülern. Sie haben gemeint, dass f keine zwei Nullstellen haben kann, wenn f streng monoton steigend ist. Aber zum einen steht das nicht da, zum andern ist es auch noch falsch: die Funktion h(x) = x – 1/x ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich streng monoton steigend und hat die beiden Nullstellen x1 = –1 und x2 = 1.  Aber natürlich, werden Sie einwenden, gilt dies nur bei stetigen Funktionen ohne Definitionslücke. Und damit sind wir wieder am Anfang: die Bestimmung von Definitionsbereichen wird in BW nur an Realschulen unterrichtet (noch; für die Einführung von Quartilen, Medianen und Boxplots, die inzwischen auch die Gymnasiasten beglücken, braucht man sicher wieder etwas Platz).

Die ganze "Begründen-Sie-dass"-Industrie der modernen Didaktik ist ein ganz großer Schwindel. Es wird geschwurbelt, was das Zeug hält, und mit Mathematik hat das nicht nur nichts zu tun, vielmehr kann es mit Mathematik nichts zu tun haben, weil man dafür Definitionen und ein paar Sätze über reellwertige Funktionen braucht. Pinkernell und Elschenbroich können ganz sicher nicht "zeigen dass", und sie können auch nicht "begründen, warum". Sie können noch nicht einmal "begründen, dass".

Freitag, 16. Juni 2017

Gefahren des modernen Mathematikunterrichts

Heute gibt es eine (etwas holprige) Übersetzung eines Artikels von Stuart Wachowicz. Mehr dazu am Ende.

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  "Stolz auf handwerkliches Können verpflichtet die Mathematiker
   einer Generation dazu, unerledigte Probleme ihrer Vorgänger
   zu erledigen."

          E.T.Bell, The Last Problem

Die obige Aussage beschreibt höchst genau das Vermächtnis einer  Generation von Mathematikern für die nächste. Allerdings ist man versucht darüber nachzudenken, ob dies in Nordamerika weiterhin so sein wird. Das Fach Mathematik, wie wir es kennen, ist offenbar bedroht. Diese Bedrohung ist eine Folge davon, dass man Lehrplanautoren erlaubt, die jahrhundertelang gültige Definition von Mathematik und davon, was gelernt werden soll, zu ändern, und zwar auf der Grundlage des Utilitarismus, kombiniert mit der derzeitigen Praxis, die Pädagogik durch unbewiesene Modeerscheinungen zu versetzen.

Vor einem Jahrhundert wurde die Drohung des Utilitarismus von Andrew  Carnegie kurz und prägnant so formuliert: "Schulen sind ein Ort, wo Kinder lernen, Dinge herzustellen." Heute wird dieselbe Idee im  Gedanken verkleidet, wonach Mathematik, um einen Wert zu haben, in einer Art studiert werden muss, die notwendig eine realitätsbezogene Anwendung (was immer das bedeutet) besitzt. Es ist natürlich richtig, dass Schüler  davon profitieren, wenn sie die Kraft der Mathematik bei der Lösung eines Problems aus dem Alltag erfahren; es gibt aber einen weiteren Aspekt des Fachs Mathematik, einen der den Einzelnen befähigt, die höchst elegante und genaue Sprache zu würdigen. Dies erinnert mich an eine Aussage, die Harold Jacobs im Vorwort seines Buchs "Mathematics: A Human Endeavor" geschrieben hat:

    "Einige der Themen in diesem Buch mögen scheinbar wenig praktischen
     Nutzen haben, aber die Bedeutung der Mathematik beruht nicht auf
     ihrem praktischen Wert. Es ist schwer zu glauben, dass jemand, der
     das erste Mal über den Grand Canyon fliegt, die Frage "Wozu ist
     der gut?" stellt. Manche Leute sagen exakt dasselbe von der Mathematik.
     Ein großer Mathematiker unseres Jahrhunderts, G.H. Hardy, sagte einmal
     "Ein Mathematiker ist, wie ein Maler oder ein Dichter, jemand, der 
      Muster herstellt." Einige dieser Muster haben eine umgehende 
     und offensichtliche Anwendung; andere werden vielleicht nie zu  
     irgendetwas nützlich sein. Aber wie der Grand Canyon hat die
     Mathematik ihre eigene Schönheit und übt einen Reiz auf die aus,
     die bereit sind zu sehen."

In seinem Streben nach einem utilitaristischen Wert  der Mathematik versucht  der moderne Lehrplan an öffentlichen Schulen nicht mehr ernsthaft, den  Schülern ein tiefes Verständnis davon zu vermitteln, was Newton "die Sprache des Universums" genannt hat. Es ist nur ein Lippenbekenntnis, wenn das Ziel ausgesprochen wird, den Schülern Kompetenzen im Problemlösen zu vermitteln: moderne Lehrpläne legen keinen Wert auf die Grundlagen des Problemlösens: die Beherrschung von Beziehungen zwischen Zahlen und der fundamentalen Axiome und Postulate, auf welche das mathematische Argumentieren basiert. Praktisch alle Schüler könnten und sollten diese lernen.

Die zweite Bedrohung ist, politisch gewollte Modeerscheinungen die  Pädagogik an unseren Schulen beeinflussen zu lassen. Hätten vor  vielen Jahrhunderten die Entwickler des Abakus der Gesellschaft die Idee verkaufen können, dass diese neue Technologie es überflüssig mache, dass Schüler weiterhin die grundlegenden arithmetischen Rechnungen beherrschen, dann hätte sich die Mathematik wohl anders entwickelt.  Sicherlich  wäre dieses Argument für Gesellschaften gültig gewesen, die recht umständliche Zahlensysteme hatten, etwa diejenigen in Griechenland und Rom. Aber nicht einmal in Gegenden, in welchen die indischen Ziffern übernommen wurden, hat der Abakus die Vorstellung entfernt, dass ein auch nur teilweise gebildeter Mensch das schriftliche Rechnen  beherrschen sollte. Trotz späterer technischer Erfindungen hat nie jemand ernsthaft behauptet, das Beherrschen des schriftlichen Rechnens wäre überflüssig. Heute dagegen, mit all den Fortschritten in der  Mikroelektronik (eine Folge der traditionellen Strenge in Mathematik und Technik), gibt es Leute, die vorschlagen, die Beherrschung des schriftlichen Rechnens durch den Taschenrechner zu ersetzen. Überall in den USA und in Kanada gibt es Didaktiker, die ständig auf der Suche nach etwas Neuem und Innovativem sind. Dies ist selten mit quantifizierter Forschung verbunden, die untersucht, ob die Neuerung tatsächlich ein besseres Resultat liefert, aber es kann zu einem akademischen Abschluss führen und jemanden im lukrativen Vortragszirkus plazieren. Getrieben von einer progressivistischen Ideologie versuchen sie, Schüler von der Schinderei des Rechnens zu befreien, insbesondere von der schriftlichen Division.

Da die Taschenrechner der 1970er Jahre noch nicht mit Brüchen umgehen konnten, wurden die Lehrpläne dahingehend abgeändert, dass Dezimalzahlen früher eingeführt wurden, und die antiquierten Brüche wurden an den Rand gedrängt. Die Rolle des Bruchrechnens wurde so in der Grundschule reduziert und wurden nun an weiterführenden Schulen nachgeholt. Aber leider wurden die Taschenrechner besser und lernten bald, mit Brüchen umzugehen. Moderne Lehrpläne (wie das Western Canadian Protocol Framework für Mathematik) begannen damit, den Schülern freizustellen, ob sie derartige Rechnungen mit Papier und Bleistift und/oder mit einem Taschenrechner erledigen. In der Folge haben sich zuerst Lehrer und Eltern und dann Arbeitgeber darüber beschwert, dass sich Schüler nach dem Abgang von der Schule als unfähig erweisen, rationale Zahlen zu verstehen und mit ihnen zu rechnen. Lehrer an den High Schools, die sich mit Schülern befassen, welche  Beziehungen zwischen Zahlen nicht internalisiert haben, wie es früher  als Ergebnis der Beherrschung schriftlicher Rechenverfahren der Fall  gewesen ist, haben vermehrt Schwierigkeiten, ihren Schülern den flüssigen Umgang mit rationalen algebraischen Termen zu vermitteln.

Vor wenigen Jahren haben die Hersteller den graphikfähigen Taschenrechner eingeführt. Die Gurus haben sofort die Änderung des Lehrplans verlangt, damit diese Neuerung die Schüler (bereits ohne ein sicheres Gefühl für den Umgang mit Zahlen) auf eine "neue Ebene" des Verständnisses heben könne. Nie mehr sollten sie langwierig die Parameter einer Hyperbel berechnen müssen. Man gibt einfach die Koeffizienten ein und schaut zu, wie kleine Linien auf dem Display erscheinen. Nie mehr würden Schüler die  quadratische Ergänzung beherrschen oder die Gleichung des Einheitskreises auswendig lernen müssen. Der umgehende Abruf aus dem Gehirn konnte ersetzt werden durch einen Mikrochip. Diejenigen, welche die Entscheidungen  getroffen haben, haben sich nie gefragt, wer graphikfähige Taschenrechner nach der High School noch verwendet. Die Tatsache, dass es praktisch überhaupt keine Verwendung für sie gibt wurde übersehen. Die Tatsache, dass Universitäten diese in Klausuren nicht erlaubten, wurde nicht in Erwägung gezogen. Sogar das Konzept des Auswendiglernens, das großartigste Werkzeug für die Entwicklung geistiger Fähigkeiten, wurde verdrängt.

Hier liegt ein logischer Fehlschluss vor, den nur wenige  Bildungsexperten zuzugeben bereit sind. Neue Zugänge zur Mathematik an öffentlichen Schulen postulieren, dass es Schülern auch ohne eingeübte  Grundkenntnisse und einem Gespür für den Umgang mit Zahlen, ohne Fertigkeiten im Rechnen und beim algebraischen Umformen von Termen, sowie ohne Übung im Argumentieren möglich sei, algebraische, trigonometrische und geometrische Prinzipien auf einem Niveau zu verstehen, das es ihnen erlaubt, zu echten Problemlösern in Mathematik zu werden. Die Tatsache, dass weniger als 10 % der Master-Studenten in unserer Provinz Alberta ihre  frühe Ausbildung an öffentlichen Schulen in Nordamerika erhalten haben,  sollte Zweifel an dieser Theorie wecken, welche die Weisheit von Jahrhunderten missachtet. Die Wahrheit ist, dass ohne eine Wertschätzung des Fachs  Mathematik, die bereits in jungen Jahren entwickelt wird, mathematisches Argumentieren und die Entwicklung von mathematischem Potential erschwert wird.

Der neue Zugang basiert auf der Grundidee, dass Technologie untrennbar mit dem Fach Mathematik verbunden ist. Technologie ist aber nur eine Folge der Mathematik. Wirkliche Mathematik ist nämlich unabhängig von Technologie. Heute dagegen ist Technologie der geistlose Motor hinter Erziehungsphilosophie, Lehrplanentwürfen und Lernstandserhebungen.  Mathematisches Argumentieren wird dadurch erschwert und ist zur Geisel dieser anti-intellektuellen technologischen Bewegung geworden.

Während Technologie viele positive Anwendungen in der Erziehung haben mag, etwa um einem Lehrer im Unterricht zu helfen, ist der derzeitige übertriebene Gebrauch ein Problem sowohl aus finanzieller wie aus pädagogischer Perspektive. Die Didaktik behauptet, dass es, weil es so viel Information gibt, unmöglich sei, alles zu wissen. Also müssten Schüler, anstatt sich Wissen anzueignen, in der Beschaffung von Informationen kompetent  gemacht werden. Auch dies ist ein logischer Fehlschluss. Wissen war, ist und wird immer das Rohmaterial des Verstands sein, und ohne eine interne Basis an Wissen werden Kompetenzen nutzlos. Nirgendwo ist dies wahrer als in Mathematik.

Wenn wir handwerkliche Meister haben wollen, welche die unerledigten Arbeiten unserer Vorgänger erledigen sollen, wie Bell bemerkte, dann müssen wir Schüler an öffentlichen Schulen das Wissen und die Fähigkeiten vermitteln, die es ihnen erlauben, genau das zu tun. Wenn die Kaiserin nackt ist, dann ist es die Pflicht derjenigen, die sich dieser Tatsache bewusst sind, so mutig zu sein, um sie zu informieren.

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Dieser Artikel ist, das mag überraschen, bereits 16 Jahre alt. Er stammt aus der Zeitschrift  Pi in the sky vom Juni 2001. Wer sich diesen (oder andere) Artikel im Original zu Gemüte führen mächte, kann dies hier tun.

Stuart Wichowicz war Direktor einer High School in Alberta und hat Abschlüsse in Geographie und Erziehungswissenschaften.


Zum Schluss noch das Urteil eines der größten Mathematiker aller Zeiten, Carl-Friedrich Gauß:

      Aber nicht bloss unsere Armuth documentirt eine solche Art zu 
      urtheilen, sondern zugleich eine kleinliche, engherzige und träge 
      Denkungsart, eine Disposition, immer den Lohn jeder Kraftäusserung 
      ängstlich zu calculiren, einen Kaltsinn und eine Gefühllosigkeit gegen
      das Grosse und den Menschen Ehrende. Man kann es sich leider nicht 
      verheelen, dass man eine solche Denkungsart in unserm Zeitalter sehr 
      verbreitet findet, und es ist wohl völlig gewiss, dass gerade diese 
      Denkart mit dem Unglück, was in den letzten Zeiten so viele Staaten
      betroffen hat, in einem sehr genauen Zusammenhange steht; verstehen 
      Sie mich recht, ich spreche nicht von dem so häufigen Mangel an Sinn 
      für die Wissenschaften an sich, sondern von der Quelle, woraus derselbe
      fliesst, von der Tendenz, überall zuerst nach dem Vortheil zu fragen, und 
      alles auf physisches Wohlsein zu beziehen, von der Gleichgültigkeit gegen
      grosse Ideen, von der Abneigung gegen Kraftanstrengungen bloss aus 
      reinem Enthusiasmus für eine Sache an sich. 

Freitag, 19. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, fünfter Streich

Ein Lob möchte ich dann doch noch loswerden: Unter den vielen bescheuerten Aufgaben aus dem diesjährigen Mathematikabitur in BW war eine, die tatsächlich sehr interessant war. Ich kann beim besten Willen nicht verstehen, wie das passieren konnte.

Schüler übersetzen "interessant" mit "Einserbremse", und das war diese Aufgabe auch: Im Schnitt hat etwa ein Schüler pro Kurs die Aufgabe korrekt gelöst. Hier ist sie:
      Eine Funktion g ist gegeben durch g(x) = x - 1/x3; x ≠ 0.
      (b) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten 
            Abstand zur  Geraden mit der Gleichung y = 2x-1 besitzt.
            Ermitteln Sie die x-Koordinate dieses Punktes.
Wie kann man hier vorgehen? Eine Möglichkeit ist, den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkte auf f(x) = 2x-1 und g(x) hinzuschreiben und das Minimum zu bestimmen. Nehmen wir den Punkt P(a|f(a)) auf dem Schaubild von f und Q(b|g(b)) auf demjenigen von g, dann ist der Abstand d gegeben durch
                              d2 = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
Das ist eine Funktion von zwei Variablen, die im Unterricht eher selten und im Schulbuch eher gar nicht vorkommt. Der Abstand d wird genau dann extremal, wenn dies für d2 gilt, folglich genügt es,  d2 zu betrachten. Nehmen wir b als fest an, wird  d2 zu einer Funktion von a:
       D(a) = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
Setzt man die Ableitung gleich 0, erhält man
      a = (6b4 + 4b3 - 4)/(10b3).
Einsetzen in D(a) liefert
       d2 = (b8- 2b7 + b6 + 2b4 - 2b3 + 1)/(5b).
Wer sieht, dass im Zähler ein Quadrat steht, kann dies in der Form
      d =  (b4 - b3 +1)/(√5b3)
schreiben, jedenfalls wenn man sieht, dass der Zähler b4 - b3 +1 > 0 ist. Nachrechnen kann man das durch die Bestimmung des Tiefpunkts dieser Funktion. Der letzte Schritt besteht in nochmaligen Ableiten und Nullsetzen, was auf b = 31/4 führt.

Nicht einmal das IQB, das den Aufgabenpool überwacht, traut baden-württembergischen Gymnasiasten eine solche Lösung zu. Diese hätten wie folgt vorgehen sollen:
      Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet,
Aber woher wissen wir das? Der GTR zeigt uns ja nur, dass es für, sagen wir, |x| < 10 keine Schnittpunkte gibt. In A 1.1. mussten wir die Käuferzahlen bis nach dem Ende des Universums als monoton steigend nachweisen, und hier mogeln wir uns mit dem GTR durch? Das verstehe, wer will. Der Nachweis, dass g die Gerade nicht schneidet, läuft auf die Gleichung x4 - x3 + 1 = 0 hinaus. Die üblichen Techniken (in BW gibt es nur noch zwei: Ausklammern und Substitution) greifen hier nicht, aber man kann, wie wir schon gesehen haben, das Problem umschiffen, indem man die Tiefpunkte dieser Funktion ausrechnet. Man muss halt nur darauf kommen.
        Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet, muss
        die Tangente an den Graphen von g im gesuchten Punkt Q(v|g(v))
        parallel zur gegebenen Geraden sein.
Das wollen wir gerne glauben, aber wem? Im Schulbuch findet sich kein Satz,
der einem so etwas auch nur nahelegen würde. Ein solcher Satz könnte in etwa so aussehen:
      Satz 1. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
      Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
      von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist f '(x) = g '(x).
Man muss den Satz etwas genauer formulieren, um Probleme mit Randpunkten auszuschließen, etwa wenn g(x) = √x und f(x) = -x-1 ist.

Setzt man f(x) = mx + c, so kann man diesen Satz wie im Spezialfall oben beweisen (Ableiten nach a, Nullsetzen, Einsetzen, Ableiten nach b, Nullsetzen),
dass
      d2 = (f(b) - g(b))2/(m2+1)
gilt. Wenn sich f und g nicht schneiden, folgt durch Ableiten und Nullsetzen
     f'(b) = g'(b).

Man sieht auch, dass das Minimum von d dort angenommen wird, wo | f(x) - g(x) | minimal wird, wo also die vertikale Differenz am kleinsten ist:

      Satz 2. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
      Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
      von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist auch die vertikale 
      Differenz  | f(x) - g(x) | minimal.

Schüler, die den unbewiesenen Satz 1 benutzt haben, bekamen die volle Punktzahl.
Schüler, die den unbewiesenen Satz 2 benutzt haben, bekamen keinen Punkt, denn dieser Ansatz ist ja ein Denkfehler. Hier lautet die Frage also, wie richtig eine Lösung sein muss, damit man dafür Punkte vergeben kann.