Samstag, 17. Juni 2017

Begründen Sie, dass!

Als Lehrer stumpft man im Laufe der Zeit ab und wundert sich über gar nichts mehr. Nur wenn man dann eine Aufgabe vorgesetzt bekommt wie

    Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f mit
    f(x) = x3+3x–1 genau eine Nullstelle hat,

dann will man es doch wissen: Seit wann heißt es denn "Begründen Sie, dass"? Google kann helfen: Es findet zwar für "Begründen Sie, weshalb" knapp 5000, für "Begründen Sie, warum" deren 30800 und für "Begründen Sie, dass" mehr als 60000 Treffer. Allerdings führen die ersten 100 Treffer bei der letzten Suche bis auf vereinzelte Ausnahmen auf lauter Aufgaben zur Schulmathematik. Schränkt man die Suche auf Bücher ein, liefert google fast 4000 Treffer, davon 10 aus den Jahren vor 2000, während es in diesem Zeitraum 30mal so viel Treffer mit "Begründen Sie, warum" gibt.

Die Floskel "Begründen Sie, dass" wurde also nach der Jahrtausendwende in der Schulmathematik eingeführt, und zwar aus guten Gründen. Als ich Mathematik studiert habe, haben die Aufgaben mit "Zeigen Sie, dass" begonnen, und erwartet wurde ein sauberer Beweis. Auch Schüler mussten damals noch etwas zeigen, etwa mit vollständiger Induktion oder durch einfache Rechnung, und ganz früher auch mit Hilfe einfacher geometrischer Sätze, die heute kein Didaktiker mehr kennt. Weil man das Beweisen in der Schule abgeschafft hat (Beweisen ist keine Allgemeinbildung, und Mathematikunterricht, so lehrt es die moderne Didaktik, muss nach Winter allgemeinbildend sein), geht das nicht mehr. Und weil man nicht mehr zeigen kann, weshalb etwas gilt, muss man jetzt begründen, dass etwas gilt. Zum Beispiel, dass eine kubische Funktion eine Nullstelle hat, und manche darunter genau eine - wir kennen das ja aus dem diesjährigen BW-Abi.

Die obige Aufgabe stammt aus der Aufgabensammlung  von diversen Autoren, darunter Prof. Pinkernell, Heidelberg (genauer: PH Heidelberg, aber das steht nicht im Dokument) und dem Casio-Luder Elschenbroich (in der Didaktik gibt es TI-Luder (etwa Prof. Hartwig Meissner und Prof. Bärbel Barzel) und Casio-Luder (wie eben Herr Elschenbroich), je nachdem, welche Firma Millionen springen lässt, damit die Begünstigten Artikel über die Vorteile des Unterrichtens mit TI bzw. Casio schreiben und sich in offenen Briefen an die Landesregierung darüber beschweren, dass die Abschaffung des GTR Baden-Württemberg in die mathematische Steinzeit katapultieren wird).

Interessant ist dabei nicht so sehr die Aufgabe selbst, sondern der Erwartungshorizont:

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden,

Das ist richtig, weil man Algorithmen wie Hornerschema, Polynomdivision und Newtonverfahren aus dem Lehrplan gekegelt hat, um Platz zu schaffen für die Bedienungsanleitung der graphikfähigen Taschenrechner. Warum das hier erwähnt wird, ist nicht ganz klar, denn es soll ja nicht die Nullstelle von f bestimmt werden, sondern begründet werden, dass die Funktion eine solche besitzt.

Das dürfte Schülern, die im letzten Jahrtausend Abitur gemacht haben, nicht schwerfallen, denn es ist f(0) = -1 und f(1) = 3. Die Funktion f ist stetig auf den reellen Zahlen und hat einen Vorzeichenwechsel auf dem Intervall [0,1], folglich hat f (nach dem Zwischenwertsatz) eine Nullstelle in diesem Intervall. Weil aber die Stetigkeit auch abgeschafft wurde (vom Zwischenwertsatz ganz zu schweigen), kann diese Lösung auch "nicht vorausgesetzt werden".

Wie sollen Schüler also begründen, dass die Funktion f genau eine Nullstelle hat? Nun, Pinkernell und Elschenbroich erwarten das folgende:

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
       graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
       erwartet 

Da wäre ich, das gebe ich zu, in 100 Jahren nicht draufgekommen. Warum macht man aus der Nullstelle von x³ + 3x – 1 einen Schnittpunkt der beiden Funktionen
x³  – 1 und 3x (genauer wäre natürlich – 3x, das kann man schon mal übersehen)? Ich vermute, dass es daran liegt, dass Schüler zwar noch  x³  – 1 skizzieren können, aber bei  x³ + 3x – 1 überfordert sind, schließlich hat das ja bisher der GTR gemacht. Begründet, warum die Funktion einen Schnittpunkt hat, haben wir natürlich nicht; wir haben ja nicht einmal begründet, dass sie einen hat. Aber anscheinend reicht das den Herren Pinkernell und Elschenbroich.

Es gibt aber (und so soll es bei guten Aufgaben ja auch sein) noch eine zweite Begründung (gut, die erste war keine, aber wir wollen nicht kleinlich sein):

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
       graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
       erwartet, oder eine Analyse der ersten Ableitung f‘(x) = 3x² + 3, aus 
      der hervorgeht, dass f überall streng monoton steigend ist.

Was uns diese Begründung sagen will, erschließt sich mir nicht. Die Ableitung der Funktion g(x) = ex ist ebenfalls positiv, woraus hervorgeht, dass g überall streng monoton steigend ist. Aber hat g deswegen genau eine Nullstelle? Die Exponentialfunktion, das haben Schüler auswendig gelernt, hat jedenfalls keine. Also ist sie ein Gegenbeispiel zur Begründung, dass eine Funktion genau eine Nullstelle hat, wenn f streng monoton steigt.

Natürlich kann ich mir denken, was Pinkernell und Elschenbroich gemeint haben, schließlich korrigiere ich seit 10 Jahren ganz ähnliche Fehler bei meinen Schülern. Sie haben gemeint, dass f keine zwei Nullstellen haben kann, wenn f streng monoton steigend ist. Aber zum einen steht das nicht da, zum andern ist es auch noch falsch: die Funktion h(x) = x – 1/x ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich streng monoton steigend und hat die beiden Nullstellen x1 = –1 und x2 = 1.  Aber natürlich, werden Sie einwenden, gilt dies nur bei stetigen Funktionen ohne Definitionslücke. Und damit sind wir wieder am Anfang: die Bestimmung von Definitionsbereichen wird in BW nur an Realschulen unterrichtet (noch; für die Einführung von Quartilen, Medianen und Boxplots, die inzwischen auch die Gymnasiasten beglücken, braucht man sicher wieder etwas Platz).

Die ganze "Begründen-Sie-dass"-Industrie der modernen Didaktik ist ein ganz großer Schwindel. Es wird geschwurbelt, was das Zeug hält, und mit Mathematik hat das nicht nur nichts zu tun, vielmehr kann es mit Mathematik nichts zu tun haben, weil man dafür Definitionen und ein paar Sätze über reellwertige Funktionen braucht. Pinkernell und Elschenbroich können ganz sicher nicht "zeigen dass", und sie können auch nicht "begründen, warum". Sie können noch nicht einmal "begründen, dass".

Freitag, 16. Juni 2017

Gefahren des modernen Mathematikunterrichts

Heute gibt es eine (etwas holprige) Übersetzung eines Artikels von Stuart Wachowicz. Mehr dazu am Ende.

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  "Stolz auf handwerkliches Können verpflichtet die Mathematiker
   einer Generation dazu, unerledigte Probleme ihrer Vorgänger
   zu erledigen."

          E.T.Bell, The Last Problem

Die obige Aussage beschreibt höchst genau das Vermächtnis einer  Generation von Mathematikern für die nächste. Allerdings ist man versucht darüber nachzudenken, ob dies in Nordamerika weiterhin so sein wird. Das Fach Mathematik, wie wir es kennen, ist offenbar bedroht. Diese Bedrohung ist eine Folge davon, dass man Lehrplanautoren erlaubt, die jahrhundertelang gültige Definition von Mathematik und davon, was gelernt werden soll, zu ändern, und zwar auf der Grundlage des Utilitarismus, kombiniert mit der derzeitigen Praxis, die Pädagogik durch unbewiesene Modeerscheinungen zu versetzen.

Vor einem Jahrhundert wurde die Drohung des Utilitarismus von Andrew  Carnegie kurz und prägnant so formuliert: "Schulen sind ein Ort, wo Kinder lernen, Dinge herzustellen." Heute wird dieselbe Idee im  Gedanken verkleidet, wonach Mathematik, um einen Wert zu haben, in einer Art studiert werden muss, die notwendig eine realitätsbezogene Anwendung (was immer das bedeutet) besitzt. Es ist natürlich richtig, dass Schüler  davon profitieren, wenn sie die Kraft der Mathematik bei der Lösung eines Problems aus dem Alltag erfahren; es gibt aber einen weiteren Aspekt des Fachs Mathematik, einen der den Einzelnen befähigt, die höchst elegante und genaue Sprache zu würdigen. Dies erinnert mich an eine Aussage, die Harold Jacobs im Vorwort seines Buchs "Mathematics: A Human Endeavor" geschrieben hat:

    "Einige der Themen in diesem Buch mögen scheinbar wenig praktischen
     Nutzen haben, aber die Bedeutung der Mathematik beruht nicht auf
     ihrem praktischen Wert. Es ist schwer zu glauben, dass jemand, der
     das erste Mal über den Grand Canyon fliegt, die Frage "Wozu ist
     der gut?" stellt. Manche Leute sagen exakt dasselbe von der Mathematik.
     Ein großer Mathematiker unseres Jahrhunderts, G.H. Hardy, sagte einmal
     "Ein Mathematiker ist, wie ein Maler oder ein Dichter, jemand, der 
      Muster herstellt." Einige dieser Muster haben eine umgehende 
     und offensichtliche Anwendung; andere werden vielleicht nie zu  
     irgendetwas nützlich sein. Aber wie der Grand Canyon hat die
     Mathematik ihre eigene Schönheit und übt einen Reiz auf die aus,
     die bereit sind zu sehen."

In seinem Streben nach einem utilitaristischen Wert  der Mathematik versucht  der moderne Lehrplan an öffentlichen Schulen nicht mehr ernsthaft, den  Schülern ein tiefes Verständnis davon zu vermitteln, was Newton "die Sprache des Universums" genannt hat. Es ist nur ein Lippenbekenntnis, wenn das Ziel ausgesprochen wird, den Schülern Kompetenzen im Problemlösen zu vermitteln: moderne Lehrpläne legen keinen Wert auf die Grundlagen des Problemlösens: die Beherrschung von Beziehungen zwischen Zahlen und der fundamentalen Axiome und Postulate, auf welche das mathematische Argumentieren basiert. Praktisch alle Schüler könnten und sollten diese lernen.

Die zweite Bedrohung ist, politisch gewollte Modeerscheinungen die  Pädagogik an unseren Schulen beeinflussen zu lassen. Hätten vor  vielen Jahrhunderten die Entwickler des Abakus der Gesellschaft die Idee verkaufen können, dass diese neue Technologie es überflüssig mache, dass Schüler weiterhin die grundlegenden arithmetischen Rechnungen beherrschen, dann hätte sich die Mathematik wohl anders entwickelt.  Sicherlich  wäre dieses Argument für Gesellschaften gültig gewesen, die recht umständliche Zahlensysteme hatten, etwa diejenigen in Griechenland und Rom. Aber nicht einmal in Gegenden, in welchen die indischen Ziffern übernommen wurden, hat der Abakus die Vorstellung entfernt, dass ein auch nur teilweise gebildeter Mensch das schriftliche Rechnen  beherrschen sollte. Trotz späterer technischer Erfindungen hat nie jemand ernsthaft behauptet, das Beherrschen des schriftlichen Rechnens wäre überflüssig. Heute dagegen, mit all den Fortschritten in der  Mikroelektronik (eine Folge der traditionellen Strenge in Mathematik und Technik), gibt es Leute, die vorschlagen, die Beherrschung des schriftlichen Rechnens durch den Taschenrechner zu ersetzen. Überall in den USA und in Kanada gibt es Didaktiker, die ständig auf der Suche nach etwas Neuem und Innovativem sind. Dies ist selten mit quantifizierter Forschung verbunden, die untersucht, ob die Neuerung tatsächlich ein besseres Resultat liefert, aber es kann zu einem akademischen Abschluss führen und jemanden im lukrativen Vortragszirkus plazieren. Getrieben von einer progressivistischen Ideologie versuchen sie, Schüler von der Schinderei des Rechnens zu befreien, insbesondere von der schriftlichen Division.

Da die Taschenrechner der 1970er Jahre noch nicht mit Brüchen umgehen konnten, wurden die Lehrpläne dahingehend abgeändert, dass Dezimalzahlen früher eingeführt wurden, und die antiquierten Brüche wurden an den Rand gedrängt. Die Rolle des Bruchrechnens wurde so in der Grundschule reduziert und wurden nun an weiterführenden Schulen nachgeholt. Aber leider wurden die Taschenrechner besser und lernten bald, mit Brüchen umzugehen. Moderne Lehrpläne (wie das Western Canadian Protocol Framework für Mathematik) begannen damit, den Schülern freizustellen, ob sie derartige Rechnungen mit Papier und Bleistift und/oder mit einem Taschenrechner erledigen. In der Folge haben sich zuerst Lehrer und Eltern und dann Arbeitgeber darüber beschwert, dass sich Schüler nach dem Abgang von der Schule als unfähig erweisen, rationale Zahlen zu verstehen und mit ihnen zu rechnen. Lehrer an den High Schools, die sich mit Schülern befassen, welche  Beziehungen zwischen Zahlen nicht internalisiert haben, wie es früher  als Ergebnis der Beherrschung schriftlicher Rechenverfahren der Fall  gewesen ist, haben vermehrt Schwierigkeiten, ihren Schülern den flüssigen Umgang mit rationalen algebraischen Termen zu vermitteln.

Vor wenigen Jahren haben die Hersteller den graphikfähigen Taschenrechner eingeführt. Die Gurus haben sofort die Änderung des Lehrplans verlangt, damit diese Neuerung die Schüler (bereits ohne ein sicheres Gefühl für den Umgang mit Zahlen) auf eine "neue Ebene" des Verständnisses heben könne. Nie mehr sollten sie langwierig die Parameter einer Hyperbel berechnen müssen. Man gibt einfach die Koeffizienten ein und schaut zu, wie kleine Linien auf dem Display erscheinen. Nie mehr würden Schüler die  quadratische Ergänzung beherrschen oder die Gleichung des Einheitskreises auswendig lernen müssen. Der umgehende Abruf aus dem Gehirn konnte ersetzt werden durch einen Mikrochip. Diejenigen, welche die Entscheidungen  getroffen haben, haben sich nie gefragt, wer graphikfähige Taschenrechner nach der High School noch verwendet. Die Tatsache, dass es praktisch überhaupt keine Verwendung für sie gibt wurde übersehen. Die Tatsache, dass Universitäten diese in Klausuren nicht erlaubten, wurde nicht in Erwägung gezogen. Sogar das Konzept des Auswendiglernens, das großartigste Werkzeug für die Entwicklung geistiger Fähigkeiten, wurde verdrängt.

Hier liegt ein logischer Fehlschluss vor, den nur wenige  Bildungsexperten zuzugeben bereit sind. Neue Zugänge zur Mathematik an öffentlichen Schulen postulieren, dass es Schülern auch ohne eingeübte  Grundkenntnisse und einem Gespür für den Umgang mit Zahlen, ohne Fertigkeiten im Rechnen und beim algebraischen Umformen von Termen, sowie ohne Übung im Argumentieren möglich sei, algebraische, trigonometrische und geometrische Prinzipien auf einem Niveau zu verstehen, das es ihnen erlaubt, zu echten Problemlösern in Mathematik zu werden. Die Tatsache, dass weniger als 10 % der Master-Studenten in unserer Provinz Alberta ihre  frühe Ausbildung an öffentlichen Schulen in Nordamerika erhalten haben,  sollte Zweifel an dieser Theorie wecken, welche die Weisheit von Jahrhunderten missachtet. Die Wahrheit ist, dass ohne eine Wertschätzung des Fachs  Mathematik, die bereits in jungen Jahren entwickelt wird, mathematisches Argumentieren und die Entwicklung von mathematischem Potential erschwert wird.

Der neue Zugang basiert auf der Grundidee, dass Technologie untrennbar mit dem Fach Mathematik verbunden ist. Technologie ist aber nur eine Folge der Mathematik. Wirkliche Mathematik ist nämlich unabhängig von Technologie. Heute dagegen ist Technologie der geistlose Motor hinter Erziehungsphilosophie, Lehrplanentwürfen und Lernstandserhebungen.  Mathematisches Argumentieren wird dadurch erschwert und ist zur Geisel dieser anti-intellektuellen technologischen Bewegung geworden.

Während Technologie viele positive Anwendungen in der Erziehung haben mag, etwa um einem Lehrer im Unterricht zu helfen, ist der derzeitige übertriebene Gebrauch ein Problem sowohl aus finanzieller wie aus pädagogischer Perspektive. Die Didaktik behauptet, dass es, weil es so viel Information gibt, unmöglich sei, alles zu wissen. Also müssten Schüler, anstatt sich Wissen anzueignen, in der Beschaffung von Informationen kompetent  gemacht werden. Auch dies ist ein logischer Fehlschluss. Wissen war, ist und wird immer das Rohmaterial des Verstands sein, und ohne eine interne Basis an Wissen werden Kompetenzen nutzlos. Nirgendwo ist dies wahrer als in Mathematik.

Wenn wir handwerkliche Meister haben wollen, welche die unerledigten Arbeiten unserer Vorgänger erledigen sollen, wie Bell bemerkte, dann müssen wir Schüler an öffentlichen Schulen das Wissen und die Fähigkeiten vermitteln, die es ihnen erlauben, genau das zu tun. Wenn die Kaiserin nackt ist, dann ist es die Pflicht derjenigen, die sich dieser Tatsache bewusst sind, so mutig zu sein, um sie zu informieren.

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Dieser Artikel ist, das mag überraschen, bereits 16 Jahre alt. Er stammt aus der Zeitschrift  Pi in the sky vom Juni 2001. Wer sich diesen (oder andere) Artikel im Original zu Gemüte führen mächte, kann dies hier tun.

Stuart Wichowicz war Direktor einer High School in Alberta und hat Abschlüsse in Geographie und Erziehungswissenschaften.


Zum Schluss noch das Urteil eines der größten Mathematiker aller Zeiten, Carl-Friedrich Gauß:

      Aber nicht bloss unsere Armuth documentirt eine solche Art zu 
      urtheilen, sondern zugleich eine kleinliche, engherzige und träge 
      Denkungsart, eine Disposition, immer den Lohn jeder Kraftäusserung 
      ängstlich zu calculiren, einen Kaltsinn und eine Gefühllosigkeit gegen
      das Grosse und den Menschen Ehrende. Man kann es sich leider nicht 
      verheelen, dass man eine solche Denkungsart in unserm Zeitalter sehr 
      verbreitet findet, und es ist wohl völlig gewiss, dass gerade diese 
      Denkart mit dem Unglück, was in den letzten Zeiten so viele Staaten
      betroffen hat, in einem sehr genauen Zusammenhange steht; verstehen 
      Sie mich recht, ich spreche nicht von dem so häufigen Mangel an Sinn 
      für die Wissenschaften an sich, sondern von der Quelle, woraus derselbe
      fliesst, von der Tendenz, überall zuerst nach dem Vortheil zu fragen, und 
      alles auf physisches Wohlsein zu beziehen, von der Gleichgültigkeit gegen
      grosse Ideen, von der Abneigung gegen Kraftanstrengungen bloss aus 
      reinem Enthusiasmus für eine Sache an sich. 

Freitag, 19. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, fünfter Streich

Ein Lob möchte ich dann doch noch loswerden: Unter den vielen bescheuerten Aufgaben aus dem diesjährigen Mathematikabitur in BW war eine, die tatsächlich sehr interessant war. Ich kann beim besten Willen nicht verstehen, wie das passieren konnte.

Schüler übersetzen "interessant" mit "Einserbremse", und das war diese Aufgabe auch: Im Schnitt hat etwa ein Schüler pro Kurs die Aufgabe korrekt gelöst. Hier ist sie:
      Eine Funktion g ist gegeben durch g(x) = x - 1/x3; x ≠ 0.
      (b) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten 
            Abstand zur  Geraden mit der Gleichung y = 2x-1 besitzt.
            Ermitteln Sie die x-Koordinate dieses Punktes.
Wie kann man hier vorgehen? Eine Möglichkeit ist, den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkte auf f(x) = 2x-1 und g(x) hinzuschreiben und das Minimum zu bestimmen. Nehmen wir den Punkt P(a|f(a)) auf dem Schaubild von f und Q(b|g(b)) auf demjenigen von g, dann ist der Abstand d gegeben durch
                              d2 = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
Das ist eine Funktion von zwei Variablen, die im Unterricht eher selten und im Schulbuch eher gar nicht vorkommt. Der Abstand d wird genau dann extremal, wenn dies für d2 gilt, folglich genügt es,  d2 zu betrachten. Nehmen wir b als fest an, wird  d2 zu einer Funktion von a:
       D(a) = (a-b)2 + (f(a) - g(b))2.
Setzt man die Ableitung gleich 0, erhält man
      a = (6b4 + 4b3 - 4)/(10b3).
Einsetzen in D(a) liefert
       d2 = (b8- 2b7 + b6 + 2b4 - 2b3 + 1)/(5b).
Wer sieht, dass im Zähler ein Quadrat steht, kann dies in der Form
      d =  (b4 - b3 +1)/(√5b3)
schreiben, jedenfalls wenn man sieht, dass der Zähler b4 - b3 +1 > 0 ist. Nachrechnen kann man das durch die Bestimmung des Tiefpunkts dieser Funktion. Der letzte Schritt besteht in nochmaligen Ableiten und Nullsetzen, was auf b = 31/4 führt.

Nicht einmal das IQB, das den Aufgabenpool überwacht, traut baden-württembergischen Gymnasiasten eine solche Lösung zu. Diese hätten wie folgt vorgehen sollen:
      Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet,
Aber woher wissen wir das? Der GTR zeigt uns ja nur, dass es für, sagen wir, |x| < 10 keine Schnittpunkte gibt. In A 1.1. mussten wir die Käuferzahlen bis nach dem Ende des Universums als monoton steigend nachweisen, und hier mogeln wir uns mit dem GTR durch? Das verstehe, wer will. Der Nachweis, dass g die Gerade nicht schneidet, läuft auf die Gleichung x4 - x3 + 1 = 0 hinaus. Die üblichen Techniken (in BW gibt es nur noch zwei: Ausklammern und Substitution) greifen hier nicht, aber man kann, wie wir schon gesehen haben, das Problem umschiffen, indem man die Tiefpunkte dieser Funktion ausrechnet. Man muss halt nur darauf kommen.
        Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet, muss
        die Tangente an den Graphen von g im gesuchten Punkt Q(v|g(v))
        parallel zur gegebenen Geraden sein.
Das wollen wir gerne glauben, aber wem? Im Schulbuch findet sich kein Satz,
der einem so etwas auch nur nahelegen würde. Ein solcher Satz könnte in etwa so aussehen:
      Satz 1. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
      Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
      von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist f '(x) = g '(x).
Man muss den Satz etwas genauer formulieren, um Probleme mit Randpunkten auszuschließen, etwa wenn g(x) = √x und f(x) = -x-1 ist.

Setzt man f(x) = mx + c, so kann man diesen Satz wie im Spezialfall oben beweisen (Ableiten nach a, Nullsetzen, Einsetzen, Ableiten nach b, Nullsetzen),
dass
      d2 = (f(b) - g(b))2/(m2+1)
gilt. Wenn sich f und g nicht schneiden, folgt durch Ableiten und Nullsetzen
     f'(b) = g'(b).

Man sieht auch, dass das Minimum von d dort angenommen wird, wo | f(x) - g(x) | minimal wird, wo also die vertikale Differenz am kleinsten ist:

      Satz 2. Sei g eine differenzierbare Funktion und f eine Gerade, welche das
      Schaubild von g nicht schneidet. Gibt es einen Punkt auf dem Schaubild
      von g, der von f minimalen Abstand hat, dann ist auch die vertikale 
      Differenz  | f(x) - g(x) | minimal.

Schüler, die den unbewiesenen Satz 1 benutzt haben, bekamen die volle Punktzahl.
Schüler, die den unbewiesenen Satz 2 benutzt haben, bekamen keinen Punkt, denn dieser Ansatz ist ja ein Denkfehler. Hier lautet die Frage also, wie richtig eine Lösung sein muss, damit man dafür Punkte vergeben kann.


   

Mittwoch, 17. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, vierter Streich

Analysis also. Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Käufer soll, so will es die Aufgabe, beschrieben werden durch die Funktion f mit (eine der beliebten "mit"-Konstruktionen; vermutlich lernt man heute auf der Grundschule, dass 2 * 2 gleich der Zahl a mit a = 4 ist)
       f(t) = 6000 t e-0,5 t
(t in Monaten nach der Einführung und f(t) in Käufer pro Monat).

Mathematisch betrachtet ist dies natürlich ein Ding der Unmöglichkeit: die Funktion, welche die Anzahl der Käufer beschreibt, ist eine Treppenfunktion, und deren Ableitung ist überall dort, wo sie existiert, gleich 0. Aber will wollen nicht päpstlicher sein als der Papst, jedenfalls noch nicht. Machen wir das Spiel also mit.

Dazu müssen wir zeigen, dass f für alle t > 2 streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt. Das ist soweit kein Problem. Komisch ist der zweite Teil der Aufgabe b):

      Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen.

Mit Käuferzahlen sind die Werte der Funktion F gemeint, die durch  F(0) = 0 und F' = f festgelegt ist, also nicht die Käuferzahlen pro Monat, wie die meisten Schüler und die meisten Erstkorrektoren gemeint haben. Manche Schüler haben den Aufgabenstellern auch die Dämlichkeit der Frage erklärt und geschrieben, dass die Anzahl der Käufer ja schlecht abnehmen könne, wenn niemand die App zurückgibt. Sei's drum.

 Weil f positiv ist, so die Musterlösung, muss die Anzahl der Käufer immer zunehmen, und weil f ' negativ ist, wird diese Zunahme immer kleiner.

Das sieht bestechend aus, weil man es genau so gelernt hat. Es ist aber falsch. Die Funktion F kann man ausrechnen, wenn man vor mindestens 25 Jahren in BW zur Schule gegangen ist oder derzeit in Thüringen zur Schule geht; partielle Integration ergibt nämlich
          F(t)  = 24000 - 24000 e-0,5t - 12000 t e-0,5t .
Hieraus folgt unmissverständlich, dass die Anzahl der Käufer gegen 24.000 strebt.
Die Anzahl der Käufer wird also nicht immer zunehmen, denn wenn der letzte der 24.000 die App gekauft hat, kauft sie keiner mehr. Und wenn die Anzahl der Käufer nicht mehr zunimmt, dann kann die Zunahme auch nicht geringer werden.

Dies zeigt, dass man die Positivität von f und die Monotonie von f ' gar nicht in Bezug auf die Käuferzahlen interpretieren kann, und dass die angegebene Lösung falsch ist. Das Bildungsministerium und das Regierungspräsidium wissen das seit letzten Mittwoch (oder, wenn sie genauso spät arbeiten mussten wie die Erstkorrektoren, denen man ganze 4 Werktage zum Korrigieren von 40 Abiturarbeiten gegeben hat, seit letzten Dienstag abend), halten aber still.
Vermutlich will man hier von Hamburg lernen, bei denen es manch ein Abitur in zwei Ausfertigungen gibt: eines, das die Schüler zu bearbeiten hatten, und eines, in dem man nachträglich Fehler korrigiert hat. Aber auch in Hamburg schweigt man dazu in den zuständigen Ministerien eisern und antwortet auf Nachfragen lieber nicht.

Und was bedeutet es, dass die Techniken, die man Schülern im Zusammenhang mit den Pseudomodellierungen beibringt, falsche Ergebnisse liefern? Mich erinnert das an einen Satz von Charlie Brown, der Mitleid mit seinem Kumpel Linus hatte, weil dieser doppelt so lange zur Schule gehen müsse wie er selbst: einmal, um all die Dinge zu entlernen, die Lucy ihm beigebracht hat, und dann noch einmal, um die Sachen richtig zu lernen. So ähnlich sieht es in BW wohl auch aus, außer dass es nicht nur Linus betrifft, sondern alle, die später irgendein mathematiklastiges Studium aufnehmen wollen. Alle andern werden den Schrott ohnehin schnell vergessen.

Dienstag, 16. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, dritter Streich

Bevor wir zur ganz großen Katastrophe, dem Wahlteil Analysis A1, kommen, geben wir heute ein paar Kommentare zur Einkleidungen der Aufgaben ab. Und davor, wie auf youtube, etwas Werbung. Mein Kollege Hans-Jürgen Matschull hat auf seiner Seite einen großen Artikel zum Abitur 2016 in Niedersachsen und einen zum diesjährigen Abitur 2017, die beide gelesen werden möchten - es lohnt sich.

Ob man die Vektorrechnung erfunden hat, um Aufgaben über Quader zu lösen, wage ich zu bezweifeln. Aber was soll man machen, wenn der Geometrieunterricht nur noch Punkte, Geraden und Ebenen kennt. Nach schiefen Häusern, unpraktischen Pralinenschachteln und seltsamen Truhen ging es dieses Jahr um einen Quader. Damit das nicht nur ein ganz popeliger Quader ist, sondern einer aus der Lebenswelt der Schüler und Schülerinnen, muss noch etwas dazu. Und weil man in Stuttgart Phantasie hat, ging die heurige Aufgabe so los:

     Ein Künschtler teilt einen quaderförmigen Container durch einen ebenen
     Schnitt in einen großen und einen kleinen Teilkörper.

 Gut, ich gebe zu, ich habe etwas gemogelt. In Wirklichkeit war es kein Künschtler, sondern ein Künstler. Vermutlich einer von der Sorte, die von Kunst soviel verstehen wie die meisten Mathematikdidaktiker von Mathematik. Der Künschtler jedenfalls taucht im Rest der Aufgabe nicht mehr auf, selbst dann nicht, als der kleine Teilkörper mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt wird. Vermutlich hat das seine Frau gemacht, denn hinter jedem großen Künschtler steckt eine große Frau. Allerdings fragen sich Frauen, das habe ich jetzt gelernt, wie man etwas "nach unten auf den großen Teilkörper" setzen kann.

Dass die Frau nicht mehr auftaucht, entspricht übrigens nicht den Richtlinien, die heutzutage an Aufgaben aus der Lebenswelt der Schüler und Schülerinnen gestellt wird: in jeder Aufgabe müssen gleich viele Männlein wie Weiblein vorkommen. Oder wir sind schon einen Schritt weiter und der Künschtler war irgendwie transsexuell. Vorschlag für die Geometrieaufgabe für nächstes Jahr: Der Berliner Senat plant eine quaderförmige Unisex-Toilette. Darin fliegt eine Fliege auf einer Kreisbahn um den Punkt - aber ein bisschen was sollen die Experten in Stuttgart ja auch noch machen. Dafür werden sie ja bezahlt.

Die andere Aufgabe war eine, bei der man schon beim Lesen einschläft, weil sie schon ein gefühltes Dutzend mal dran war: zwei punktförmige Flugzeuge bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit auf Geraden. Leider wird nicht erklärt, wie punktförmige Flugzeuge ihren Auftrieb erzeugen, und dasselbe gilt für den punktförmigen Ballon, der in c) auftaucht. Damit die Fragen nicht ganz so banal klingen, werden sie sprachlich etwas aufpoliert: so soll nicht etwa der Steigungswinkel der Flugbahn bestimmt werden, sondern die Weite des Winkels, mit dem das zweite Flugzeug steigt.

Von allen Fragen über punktförmige Flugzeuge, die keinen normalen Menschen interessieren (würden Sie wissen wollen, dass sich die Flugbahnen der punktförmigen Flugzeuge schneiden?), war die in Teil c) sicherlich die bescheuertste der letzten 10 Jahre: Die Punkte auf der Meeresoberfläche, die zu dem Zeitpunkt, in dem die beiden Flugzeuge denselben Abstand zum Ballon haben, ebenfalls von beiden Flugzeugen gleich weit entfernt sind, liegen auf einer Geraden. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung dieser Geraden bestimmen kann. Die Lebenswelt lässt grüßen.

Und jetzt zu Ana 1.1.

      Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll
      modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben
      durch die Funktion f mit 

Es soll also etwas modelliert werden. Die Anzahl der Käufer. Wie macht man das? Man nimmt die Anzahl der Käufer in jedem Monat und legt per Regression irgendeine Funktion darüber, die der Taschenrechner kennt. Damit löst man dann die Probleme, die beim Verkauf von Smartphone-Apps so auftreten, etwa die Bestimmung  Gesamtzahl der Käufer in den ersten sechs Monaten. Sicherlich hätte man dazu einfach die Verkaufszahlen der ersten 6 Monate addieren können, aber dann hätte sich der Nutzen eines graphikfähigen Taschenrechners nicht gezeigt. Wenn man die Funktion F der Gesamtzahl aller Käufer hat, kann man die momentane Änderungsrate f = F' bestimmen - nicht dass das jemanden interessieren würde, aber man kann es machen. Man könnte sogar fragen, wann diese momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist, aber warum sollte man das wissen wollen? Interessanter (nun ja) wäre es sicherlich zu fragen, wann die Anzahl der Käufer pro Monat größer als 4000 ist. Das ist aber erstens etwas ganz Anderes und zweitens etwas, was wir ja von Anfang an wussten, weil man das an den Verkaufszahlen ablesen kann, von denen wir ausgegangen sind.

Um den Nutzen der modernen Mathematik für die Lebenswelt der Schüler (und Schülerinnen) nachzuweisen, geht man jetzt von der momentanen Änderungsrate f aus und bestimmt rückwärts die Zahlen, die man beim Herleiten von F hineingesteckt hat. Wer sich davon nicht von der unglaublichen Anwendbarkeit der Mathematik überzeugen lässt, dem ist wohl nicht mehr zu helfen.

Ist übrigens jemandem aufgefallen, dass der Aufgabentext nicht erwähnt, wovon f die momentane Änderungsrate ist? Nicht dass das irgendeinen Schüler gestört hätte. Man hat das solange geübt, dass die Aufgaben auch mit dem halben Text auskommen würden.

 Im vierten Streich geht es morgen dann wieder um einen richtigen Fehler.

Montag, 15. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, zweiter Streich

Heute schauen wir uns den zweiten Teil der Pflichtteilaufgabe 4 an:

       Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle.

Diese Frage ist verwandt mit einer, die in den letzten Jahren im Internet kursiert:

       Berechne 6/2*(1+2).

Natürlich weiß ich, dass man in einer solchen Verkettung von gleichberechtigten Operatoren die Aufgabe von links nach rechts zu lesen hat: Man muss also erst 6/2 = 3 und dann 3(1+2) = 9 rechnen.

Auf der andern Seite ist jemand, der statt des eindeutigen 6*(1+2)/2 die obige Variante hinschreibt und das gleiche meint, entweder bescheuert oder hinterhältig oder beides. Wenn ich x/2sin(x) schreibe, meine ich nämlich den Ausdruck, der 2 *sin(x) im Nenner hat, und wenn es um (x/2) * sin (x) geht, schreibe ich x sin(x)/2.

Ebenso vermute ich, dass die Aussage "Die Funktion f hat eine Nullstelle" bedeutet, dass sie mindestens eine Nullstelle besitzt. Wenn es aber darum geht, ob eine Funktion eine oder mehr als eine Extremstelle hat und man die Frage absichtlich so stellt, dass möglichst viele Schüler darauf hereinfallen, dann ist der Aufgabensteller ein geistiger Tiefflieger, wenn er die Probleme nicht gesehen hat, oder hinterhältig, wenn er es mit Absicht gemacht hat.

Jedenfalls haben die Erstkorrektoren der Arbeiten, die ich gerade korrigiere, nur die Musterlösung gelten lassen und Antworten wie "Die Aussage ist falsch, weil eine Funktion 4. Grades auch mehr als eine Extremstelle besitzen können" als falsch gekennzeichnet.

Die Musterlösung verrät uns, dass die Schüler wie folgt hätten vorgehen sollen: Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, und von der wissen wir, dass sie eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

Woher wissen wir, dass ganzrationale Funktionen 3. Grades einen Vorzeichenwechsel besitzen? Das Schulbuch kann es nicht bewiesen haben, weil man dazu eine Definition eines Vorzeichenwechsels braucht, und die findet man im Lambacher-Schweizer nicht. Wenn wir uns die Definition eines Vorzeichenwechsels aus Wikipedia holen, müsste man zu einem Beweis zeigen, dass eine ganzrationale Funktion f vom Grad 3 für x gegen unendlich nach oben geht, wenn sie für x gegen -unendlich nach unten geht, und andersherum, und dann aus der Stetigkeit schließen, dass eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel existiert. Weil der Begriff der Stetigkeit aber kein Schulstoff mehr ist, geht das auch nicht. Selbst der Beweis, dass x3 + ax2 + bx + c für große x gegen Unendlich geht, dürfte heutige Schulbuchautoren überfordern, denn mit mehr als zwei Buchstaben in einem Ausdruck kommen heutige Schüler wegen der Abschaffung der Algebra nicht mehr zurecht, und Ungleichungen kennen sie nicht einmal vom Hörensagen.

Im Wesentlichen müssen wir also den vielen Beispielen und dem GTR glauben, dass ganzrationale Funktionen dritten Grades eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel haben, und daraus schließen, dass ganzrationale Funktionen vom Grad 4 eine Extremstelle haben.

Ist das "mathematisches Argumentieren"? Arg viel besser als die Antwort, jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 habe eine Extremstelle, weil sie parabelförmig aussieht, ist das wohl nicht, denn wenn ich wissen soll, wie eine Funktion 3. Grades aussieht, dann werde ich ja wohl auch wissen dürfen, wie Funktionen 4. Grades aussehen. Kann man die letzte Aussage daher als Begründung durchgehen lassen? Wenn ja, was ist mit "jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 hat eine Extremstelle, weil sie eine Parabel ist"? Nun, ganzrationale Funktionen vom Grad 4 sind keine Parabeln (also Kegelschnitte - wobei kaum ein Schüler weiß, was das ist), außer man nennt sie Parabeln höherer Ordnung. Aber dann sind kubische Parabeln auch Parabeln, und die haben keinen Extrempunkt. Wir sind also wieder bei der Diskussion, wie falsch eine Antwort sein darf, bis sie nicht mehr als korrekt gewertet werden kann. Darauf gibt die Musterlösung leider keine Antwort.

Dieses war der zweite Streich, doch der dritte folgt sogleich.

Sonntag, 14. Mai 2017

Mathe-Abi BW 2017: Max und Moritz, erster Streich

Ich habe ja bereits angedeutet, dass einige Aufgaben im Mathematik-Abitur (mit Bindestrich für Leser aus Schleswig-Holstein) 2017 hierzulande etwas, sagen wir, gewöhnungsbedürftig sind. Ich habe das dem Ministerium am Dienstag zu verstehen gegeben, aber keine Antwort erhalten. Ich werde mir daher ab heute jeden Tag einen Fehler vornehmen und hoffe, bis zum Ende der Zweitkorrektur dann durch zu sein. Wer mir eine Dienstaufsichtsbeschwerde an den Hals wünscht, weil ich Details aus den Lösungen veröffentliche: ich unterrichte am Gymnasium St Gertrudis in Ellwangen.

Wir beginnen mit Aufgabe 4.(1) des Pflichtteils.

      Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle.

Dies ist eine legitime Aufgabe, sieht man von der Tatsache ab, dass die Funktion auf einem offenen Intervall definiert und dort differenzierbar sein sollte, damit man diese Frage überhaupt stellen kann. Aber wir wollen nicht kleinlich sein.

Die Musterlösung gibt f(x) = x3  als Gegenbeispiel, obwohl f(x) = 0 ein schöneres gewesen wäre. Von 82 Lösungen, die ich bisher gesehen habe, hat aber keine das erste (und nur eine das zweite) Beispiel benutzt.

Vielmehr haben die meisten Schüler völlig richtig geschrieben, dass, wenn die Ableitung 0 ist, die Funktion auch einen Sattelpunkt haben könne. Manche Schüler allerdings haben noch mehr von ihrem Wissen preisgegeben und geschrieben, dass die Ableitung eine Nullstelle mit VZW von + nach - haben müsse, damit f dort einen Hochpunkt besitzt. Das lernt man auf der Schule zwar so, ist aber falsch. Richtig ist nur die Umkehrung: wenn f' einen Vorzeichenwechsel von + nach - besitzt, dann hat f dort einen Hochpunkt.

Natürlich ist es wenig sinnvoll, Schüler dafür zu bestrafen, dass man ihnen falsche Dinge beigebracht hat. Die Frage stellt sich aber doch, wie falsch eine Lösung denn nun sein darf, bevor man sie nicht mehr als korrekt werten kann.

Schauen wir erst einmal in den Lambacher-Schweizer 6 (Klasse 10), in dem es um Vorzeichenwechsel geht. Arg viel schlauer wird man daraus nicht, weil dort gar nicht definiert ist, was ein Vorzeichenwechsel (oder ein Hochpunkt) überhaupt ist, sondern nur eine Zeichnung mit einem Beispiel dafür drinsteht.

Die Probleme beginnen bei der Frage nach Montonie. Der Monotoniesatz auf S. 51 besagt, dass eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion f streng monoton wachsend ist, wenn dort f'(x) > 0 gilt. Weiter steht da, dass die Umkehrung falsch ist, wie das Beispiel f(x) = x3  zeigt.

Der Beweis ist ein Meisterwerk der modernen Lehrbuchliteratur, sodass wir ihn vollständig wiedergeben wollen:

     Ist die Ableitung positiv, so kann die Funktion nur streng monoton 
     wachsend sein.

Hoch- und Tiefpunkte folgen auf S. 54:

     Bei differenzierbaren Funktionen kann man die Extremstellen und
     Extremwerte mithilfe der Ableitung bestimmen.

     Damit f an der Stelle x0 ein lokales Maximum besitzt, muss die 
     Funktion in der Umgebung von x0 links von x0 monoton zunehmen 
     und rechts von  x0 monoton abnehmen.

     Dies ist nach dem Monotoniesatz der Fall, wenn f'(x) links von x0 
     größer als 0 und rechts von x0 kleiner als 0 ist. Man sagt dann, 
     dass f' an der Stelle x0 einen Vorzeichenwechsel (VZW) von  + 
     nach - hat.

Der Nachteil von "Definitionen durch Beispiel" ist, dass man damit nicht wirklich etwas anfangen kann. So ist es auf Grund dieses Vorgehens nicht möglich zu entscheiden, ob die Funktion f(x) = 1/x in x=0 einen Vorzeichenwechsel hat oder nicht. Nach dem, was im Lambacher-Schweizer steht, müsste die Antwort lauten, dass ein VZW vorliegt; andererseits hat die Stammfunktion F(x) = ln(x) dort keine Extremstelle.

Schauen wir uns den Beweis etwas genauer an: damit es ein Maximum gibt, muss
die Funktion links davon streng monoton steigen. Dann ist nach dem Monotoniesatz f'(x) > 0  und rechts davon ist f'(x) < 0, sodass die Ableitung in  x0 einen Vorzeichenwechsel von  + nach - hat. Ein Schönheitsfehler hierbeit ist, dass das gar nicht der Monotoniesatz ist, sondern dessen falsche Umkehrung. Der zweite Schönheitsfehler ist, dass das gar nicht dasteht. Was dasteht ist folgendes:
  • f ist links von   x0  streng monoton steigend, rechts davon fallend.
  • Wenn f'(x) > 0 links von  x0 und f'(x) < 0 rechts von  x0  dann ist f links von   x0  streng monoton steigend, rechts davon fallend.
Mit anderen Worten: es ist A ⇒ C und B ⇒ C, und wenn das mal kein Grund dafür ist, dass auch A ⇒ B ist, dann weiß ich auch nicht.

Der "Beweis" im Lambacher-Schweizer ist also eher peinlich als überzeugend. Das macht aber nichts aus, schließlich ist der dazugehörige Satz ja auch falsch. Das dazugehörige Gegenbeispiel ist die Funktion

      f(x) = x4 (2 + sin 1/x)

mit f(0) = 0. Diese ist differenzierbar mit

      f'(x) = x^2[4x(2 + sin 1/x) - cos(1/x)]

und f'(0) = 0. Nun ist es leicht zu sehen, dass f in x=0 einen Tiefpunkt hat, denn es ist f(0) = 0 und f(x) > 0 für alle x ≠ 0. Weiter ist der Term cos(1/x) dafür verantwortlich, dass f' in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 das Vorzeichen unendlich oft wechselt. Es gibt also keinen VZW von - nach +.

Natürlich muss man das im heutigen Schulunterricht nicht erklären. Natürlich muss es auch nicht im Schulbuch stehen. Aber ebenso natürlich darf man dann halt im Abitur nicht danach fragen.

Dieses war der erste Streich, doch der zweite folgt sogleich.