Dienstag, 17. Oktober 2017

Wer wie was wieso weshalb warum

Die Älteren unter uns kennen dieses Lied aus der Sesamstraße (ich bin mit der Muppetshow aufgewachsen - an die Sendung mit Paul Simon kann ich mich heute noch erinnern, und das will was heißen), die ab 1973 im deutschen Fernsehen lief. Die erste Strophe war
 
      Der, die, das, 
      wer, wie, was,
      wieso, weshalb, warum, 
      wer nicht fragt, bleibt dumm.

Ganz so einfach wie damals ist die Welt heute nicht mehr. Ab dem Abitur 2019 sind "W-Fragen" im baden-württembergischen Mathematik-Abitur verboten. Man kann jetzt also nicht mehr wie 2015 fragen:

     Welchen Abstand von der Hauswand darf die Stablampe 
     auf der Terrasse höchstens haben?

Das wäre eine W-Frage. Schlimm.

Im neuen Abitur werden diese üblen W-Fragen durch Operatoren ersetzt:

    Berechnen Sie den Abstand von der Hauswand, den die Stablampe
    auf der Terrasse hochstens haben darf.

Dabei sind die Wörter "wie" usw. nicht ganz verboten. Es ist beispielsweise erlaubt, die alte Frage

     Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?

in die neue Frage

     Bestimmen Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist.

zu verwandeln. Wichtig ist, soviel habe ich verstanden, dass keine Fragen mehr gestellt, sondern Befehle erteilt werden. Das ist mit dem Bild des Schülers als zu programmierendes Rädchen im künftigen Wirtschaftsbetrieb wohl eher zu vereinbaren als irgendwelche Fragen zu stellen. Man möchte wohl auch nicht suggerieren, die Aufgabensteller würden die Antwort nicht kennen.

Und wie man uns auf der jüngsten Fortbildung (ein seltsames Wort für eine Veranstaltung, bei der man in der Tat "fort" fährt, die aber mit Bildung nicht wirklich etwas zu tun hat) glaubhaft versichert hat, sind die Verlage, die Übungsbücher für das Abitur herausgeben, angehalten, die alten Aufgaben umzuschreiben und die W-Fragen zu entfernen. Wirklich schlimm ist das wohl nicht, denn die Aufgabensammlungen enthalten ohnehin nicht mehr die Originalaufgaben, weil diese bereits wiederholt modifiziert worden sind: Seit 2012 ist so viel Stoff weggefallen, dass man die neuen Schüler mit den alten Aufgaben nur nervös machen würde. Vermutlich weiß in 20 Jahren niemand mehr, welche Aufgaben wirklich im Abitur 2015 dran gewesen sind, weil sie bis dahin ein Dutzend Mal umgeschrieben worden sind. Zyniker mag das an Orwells 1984 erinnern, wo die Geschichtsbücher ebenfalls laufend "aktualisiert" wurden.

Nun ja. Baden-Württemberg kann sich gegen die Operatoren nicht wehren, weil die bundesweit gelten und die Aufgaben ja seit 2016 aus dem Pool kommen. Oder eher ab 2017, weil es 2016 keine Poolaufgabe ins baden-württembergische Abitur geschafft hat. Auch gegen den Terminplan bei der Korrektur kann sich BW nicht wehren - zum zweiten Mal hintereinander haben mein Kollege und ich also 40 Abituraufgaben in 5 Tagen zu korrigieren. Ich habe das RP bereits wissen lassen, dass ich dieses Jahr beim Korrigieren krank werden werde.

Es ist nun aber nicht so, dass unser Land nur Erfüllungsgehilfe des IQB wäre. Es gibt nämlich einen Punkt, bei dem sich BW erfolgreich gegen die preussische Dominanz gewehrt hat: während anderswo die Bepunktung des Abiturs mit 120 Berechnungseinheiten (BE) durchgeführt wird, beharrt BW auf seinen Verrechnungspunkten (VP). Vergibt also das IQB für die richtige Lösung einer Aufgabe 3 BE, dann ist das in BW genau 1,5 VP wert. Viertel Verrechnungspunkte, das hat man uns versprochen, wird es aber vorläufig nicht geben: No pasaran!

Zu diesem ganzen Wahn fällt mir der Spruch meines Namenskollegen Lemmy ein:

      "Ich habe viel Ähnlichkeit mit Buddha, jawohl. Ich sitze nur da und 
        sehe zu, wie die ganze Scheiße vorbeizieht."

Die Anspielung auf ein Lied der Stones erkennt man allerdings nur im englischen Original:

      "I'm very Buddha, me, I sit and watch the shit go by."

Und was hilft beim Zusehen mehr als zwei ruhige Videos aus der Muppetshow mit Paul Simon? Voila, Scarborough Fair:


und Long long day:

Sonntag, 15. Oktober 2017

IQB-Grundschultest

Das IQB  (Institut für Qualitätssicherung, die Speerspitze der Kompetenzorientierung und Testeritis) an der Gender-Universität Berlin (früher nach Humboldt benannt) hat Grundschüler getestet, Millionen verbraten, und hat herausgefunden, was ich ihnen für das halbe Geld auch gesagt hätte: Grundschulen in BW taugen nichts mehr.

Die Studien des IQB sind, wie PISA und TIMSS, gut bezahlte Kaffeesatzleserei für Didaktiker, die für ihr Leben gerne Tests auswerten, weil sie nichts anderes gelernt haben. Den mathematischen Teil des jüngsten IQB-Test haben Kristina Reiss, Alexander Roppelt, Nicole Haag, Hans Anand Pant und Olaf Köller   ausgewertet. Kristina Reiss ist die Didaktikprofessorin, die die Studenten der TU München dort abholt, wo sie stehen.

Eine der Aufgaben auf Kompetenzstufe III (Erkennen von Zusammenhängen in einem vertrauten (mathematischen und sachbezogenen) Kontext) aus dem jüngsten IQB-Test ist die folgende:


Ich kann die Aufgabe leicht lösen, ich habe schließlich viele Jahre Mathematik studiert:


Die von mir angekreuzte Fläche ist sicher das Quadrat, das dem schwarz angemalten gegenüber liegt. Ich wette mit mir um ein Sahnetörtchen, dass die von Frau Prof. Dr. Reiss als richtig gewertete Lösung dagegen diejenige ist:


Die hier angekreuzte Fläche liegt nämlich der schwarzen gegenüber, wenn man das Würfelnetz zu einem Würfel zusammenklebt. Schade nur, dass das nicht dasteht.

Ich weiß nicht, ob man mit solchen Tests irgendetwas über die Qualität des Unterrichts oder den Kenntnisstand der Grundschüler herausfinden kann. Man kann aber, so weit lehne ich mich jetzt aus dem Fenster, damit herausfinden, wie es mit der Lesekompetenz von Didaktikprofessorinnen und Mitarbeitern des IQB steht. Offenbar sind diese nämlich nicht in der Lage, Aufgaben so zu formulieren, dass sie nicht missverstanden werden können.

Was soll man da noch machen? Ich fürchte, wie müssen die Didaktikprofessoren dort abholen, wo sie stehen.

Dienstag, 19. September 2017

Aufgaben und die Realität

Heute geht es nicht um eine besonders bescheuerte Aufgabe, sondern um eine ganz normal bescheuerte Aufgabe, also eine von denen, wie sie seit 20 Jahren ununterbrochen im Mathematikunterricht wiedergekäut werden - nur mit anderen Zahlen und in wechselnden Einkleidungen. Diese hier stammt aus dem Nachtermin des BW-Abiturs 2008:

Man hat also ein paar Messwerte, die sich wöchentlich fast verdoppeln, schließt daraus (man lernt das auswendig) auf exponentielles Wachstum, und bestimmt dann eine Exponentialfunktion, die diese Verkaufszahlen modelliert. Im Laufe der Aufgabe wird diese Funktion dann dazu benutzt, um Vorhersagen für die Verkaufszahlen der ersten 20 Wochen zu machen.

Das, so sagen die Modellierungsdidaktiker (Blum, Greefrath, Siller, Kaiser - hinter diesen Namen steckt eine ganze Industrie, die mit Forschungsgeldern und Promotionen um sich wirft), zeigt den Schülern, dass Mathematik in ihrem täglichen Leben eine Rolle spielt. Natürlich wird Mathematik in der Praxis nicht so angewandt - welches Label stellt einen Mathematiker ein, der aus den Verkaufszahlen von drei Wochen Vorhersagen für ein halbes Jahr macht? Und wozu?

Zehn Jahre lang habe ich im Glauben gelebt, dass es solche Mathematiker nicht gibt, und jetzt werde ich eines Besseren belehrt. Nun ja, eigentlich ist es kein Mathematiker, sondern ein Physiker, und eigentlich nicht mal das. Aber er wurde vom Spiegel interviewt, und die steile These des Herrn Randoll ging durch den ganzen Blätter- und Seitenwald der Qualitätsmedien. Was hat er gemacht? Er hat sich die Verkaufszahlen von E-Autos angesehen:


Dann hat er (in seiner Dissertation bei Daimler - wenn man bei Penny studieren kann, warum soll man dann bei Daimler nicht promovieren können?) festgestellt, dass sich die Verkaufszahlen jährlich etwa verdoppeln, auf das Vorliegen eines exponentiellen Wachstums geschlossen und dann die paar Zahlen dazu benutzt um vorherzusagen, dass 2026 die gesamte Weltproduktion von Autos aus E-Autos bestehen  wird. Nach 20 Jahren Unterricht in Modellieren haben wir hier das erste Exemplar des homo modellensis, der diese Strukturen aufgesaugt hat wie ein trockener Schwamm Wasser und sie jetzt tröpfchenweise wieder von sich gibt. Modellierung lebt! Modellierung funktioniert! Und man kriegt einen Doktor dafür!

Etwas unprofessionell erscheint dagegen die Tatsache, dass Dipl.-Phys. Randoll sein Diagramm nicht zurechtgedoktert hat. Die lila Rauten geben die Verkaufszahlen der Hybrid-Fahrzeuge an, die sich zuerst auch brav an exponentielles Wachstum halten, dann aber 2015 plötzlich einbrechen. Dürfen die das? Wenn man die ersten 4 lila Rauten verbunden hätte, dann bestünde 2025 die gesamte Weltproduktion der Autos aus Hybrid-Fahrzeugen. Vermutlich werden die dann sofort verschrottet, damit die Weltproduktion 2026 aus lauter E-Autos bestehen kann.

Verbindet man die Verkaufszahlen für 2014 und 2015, dann findet man heraus, dass 1850 die gesamte Weltproduktion von Autos Hybrid-Autos waren. Mathematik ist überall!

Zu meinen Studienzeiten hätte man jemand, der mit so einer Hausarbeit angetanzt
wäre, wieder nach Hause geschickt - heute reicht das für eine Promotion. Tempora mutantur - googelt das, Jugend! Wenn die Weltproduktion 2026 lauter E-Autos herstellt, braucht man Strom. Wenn man nachts tanken und tagsüber fahren will (solche Leute soll es geben), braucht man auch Strom, wenn die Sonne nicht scheint und der Wind nicht weht. Weil wir bis dahin die AKWs heruntergefahren haben, sollte jemand, der solche Vorhersagen macht, doch vielleicht ein klein wenig darüber nachdenken, wo dieser Strom herkommt. Oder wer in 8 Jahren die ganzen Zapfanlagen baut. Oder die Millionen von Batterien. Oder woher das Lithium in diesen Batterien kommen soll. Und was das Lithium kostet, wenn plötzlich der Bedarf an Lithium exponentiell in die Höhe schießt.

Stattdessen praktiziert Herr Randoll  Malen nach Zahlen und darf im Spiegel seine "Forschungsergebnisse" präsentieren. Wenn es noch eines Beweises bedurft hätte, dass unser Bildungssystem (und ja, auch unsere Medien im allgemeinen und der Spiegel im besonderen) nicht mehr ganz das ist, was es mal gewesen ist, ja dann . . . könnten wir Herrn Randoll hernehmen.

Freitag, 25. August 2017

Brinkmann, Brügelmann, Grundschulverband

Dass der Professor für Grundschuldidaktik und frühes Schreiben Brügelmann zu seiner Professur gekommen ist, ohne in seinem ganzen Leben auch nur einen Schüler unterrichtet zu haben, hatte ich bereits erwähnt (aber Wiederholung, das wissen Lehrer, ist wichtig). Nicht viel besser sieht es mit der Prof'in Brinkmann (PH Schwäbisch Gmünd) aus, die es von 1992 bis 1993 immerhin auf den Unterricht einer Klasse gebracht hat, wie wikipedia vermeldet.

Beiden gemein ist das Mantra, wonach die orthographischen Leistungen der Kinder, die mit der von ihnen im Elfenbeinturm ersonnenen Methode des Schreibens nach Gehör unterrichtet worden sind, nicht schlechter, sondern besser geworden sind.

Wieviel besser, erfahren Lehrer täglich. Ein solcher Lehrer hat im Jahre 2009 die Schüler seiner 5. Klasse aufgefordert, "gar nicht" an die Tafel zu schreiben, und diese haben sich alle Mühe gegeben:


Noch schrecklicher als der sich ausbreitende Analphabetismus an deutschen Schulen ist der Kommentar eines Kollegen:

     Ich bin selbst auch Lehrer, und ich kann dich beruhigen, 
     dass dich das nicht schockieren sollte. Die Rechtschreibdidaktik 
     geht heute davon aus, dass beim Erlernen der Rechtschreibung drei 
     Stadien durchlaufen werden. In der fünften Klasse ist das zweite 
     Stadium dominant und Fehler beim Schreiben sind völlig normal, 
     weil Kinder in diesem Alter bestimmte Kompetenzen nicht haben.

Es ist also heute nicht nur normal, dass Fünftklässler nicht schreiben können, nein, es muss geradezu so sein, weil die Rechtschreibdidaktik besagt, dass das praktisch gar nicht anders sein kann, weil ihnen wegen der Dominanz des zweiten Stadiums bestimmte Kompetenzen fehlen. Wenn man den Leuten an den PHs beibringt, das sei ein Argument, wäre es besser, die künftigen Lehrer gar nicht auszubilden.

      In diesem Thead wird mal wieder mit vor "Halbwissen"
      strotzenden Aussagen und Feststellungen um sich geworfen. 
      Nur weil ihr das Schreiben erlernt habt oder selbst mal zur 
      Schule gegangen seid, seid ihr noch lange nicht in der Lage 
      zu beurteilen, ob die dargestellten Schreibweisen "schlimm" sind.

Das darf nur ein Lehrer, der Schreiben nach Gehör unterrichtet, weil alle andern Dummköpfe sind. Kritik ist verboten. Und weiter:

      Wenn du Interesse hast, deine Kinder wirklich fundiert zu 
      untersuchen, mach das mit der Hamburger Schreibprobe.

Auf die habe ich ja schon mal hingewiesen; inzwischen habe ich auch herausgefunden, wie die Sache mit den Graphemtreffern genauer funktioniert. Mit der Hamburger Schreib-Probe wird die Orthographie der Kinder getestet, aber nicht so billig wie in einem Diktat, wo ein falsch geschriebenes Wort einen Fehler bedeutet - weit gefehlt:

      Mit ihr wird nicht nur die richtige Schreibung von Wörtern,
      sondern die Zahl der richtig geschriebenen Grapheme ausgewertet.
      Damit soll auch ein Beitrag zur Überwindung der Defizit-Sichtweise
      auf die Schreibungen der Schülerinnen und Schüler geleistet
      werden. Nicht die Fehler stehen im Mittelpunkt der Betrachtung, 
      sondern das Gekonnte, das sich auch in teilweise richtigen 
      Schreibungen zeigt.

Wie das Gekonnte bewertet wird, damit aus Analphabeten Experten für moderne Orthographie werden, kann man hier bewundern:
   


Wer also Fart statt Fahrrad schreibt, bekommt immerhin noch ein Drittel aller Graphemtrefferpunkte für das Wort (vermutlich gibt's noch einen Extrapunkt für gutes Englisch, wenn man stattdessen Furz schreibt), und  der Graphemtrefferpunkteunterschied zwischen Fahrad und Fahrrad ist marginal.

Zählt man Rechtschreibfehler so, wie Leute außerhalb von PHs wie Schwäbisch Gmünd und Unis wie Bremen und Siegen Rechtschreibfehler zählen, sieht die Sache nach einer Untersuchung von Steinig und Betzel anders aus:
   

Der starke Abfall bei Schülern aus bildungsfernen Schichten liegt natürlich nicht daran, dass diese Kinder besonders dumm sind, sondern daran, dass deren Eltern glauben, ihre Kinder würden Lesen, Rechnen und Schreiben in der Grundschule lernen. Eltern, die noch wissen, was Bildung ist, erledigen den Job nachmittags in persönlicher Nachhilfe.

Nun, früher hieß es

           You can fool all the people some of the time, 
           and some of the people all the time, 
           but you cannot fool all the people all the time.

Anscheinend hat das Abraham Lincoln gesagt, aber wenn ich mir ansehe, was aus seinen Landsleuten geworden ist, dann weiß ich nicht, ob ich das noch unterschreiben würde. Jedenfalls befassen sich inzwischen auch Landtage mit dem Schreiben nach Gehör, und wenn diese Landtage ein Gutachten brauchen, dann fragen sie Experten. Also den Professor Brügelmann vom Grundschulverband und die Prof'in Brinkmann vom  Grundschulverband. Dieses Duo habe nicht nur ich gefressen; sogar in  der Taz (!) kann man lesen:

     Beide dominieren als Fachreferenten unterwegs und im 
     Grundschulverband eine mittlerweile ideologisch erstarrte 
     Auffassung von modernem Grundschulunterricht, speziell zum 
     Schriftspracherwerb. Man weiß nie: Sind sie gerade Gutachter, 
     Herausgeber oder Lehrplaner? Treten sie als Lobbyisten, 
     Professoren oder Autoren in eigener Sache auf. Sie interviewen 
     sich gern auch gegenseitig in Fachorganen. Die Funktionen sind 
     undurchschaubar hermetisch verquickt. Niemand nimmt Anstoß daran. 
     Reputation und Definitionsmacht wachsen unaufhaltsam.

Auch der Landtag in NRW fragt Experten, wenn er Experten hören will. Und Herr Brügelmann ist Experte: In seinem Gutachten zieht der Experte den Parlamentariern sofort alle Zähne, und zwar nacheinander.

1. Rechtschreibung ist nicht so wichtig, denn

      Ziel des Unterrichts ist das Verstehen fremder und das 
      Verfassen eigener Texte. 

    Ob die auch richtig geschrieben sind: scheiß der Hund drauf.

2. Es liegt nicht am Schreiben nach Gehör, denn Rechnen können die Kinder ja auch nicht mehr:

      Diese Probleme zeigen sich allerdings auch in anderen 
      Leistungsbereichen: für Mathematik und Fremdsprachen,
      für Politik und Naturwissenschaften.

3. Früher wurde auch nicht besser geschrieben. Die oben zitierte  Studie von Steinig sei "methodisch in mehrfacher Hinsicht" problematisch.   Und:

      für die Grundschule sprechen Untersuchungen aus den letzten 
      zehn Jahren eher für eine Leistungszunahme (vgl. Kowalski u.a.
      2010; May 2013). 

Die Untersuchung von May benutzt natürlich die von May entwickelte Hamburger Schreib-Probe (s.o.).
 
4. Die Kinder lernen später automatisch, richtig zu schreiben:

     Empirische Studien zeigen eine erhebliche Zunahme der Kompetenz 
     über die Schulzeit hinweg.

D.h. die Lehrer auf den weiterführenden Schulen bringen den ihnen übergebenen Analphabeten ein bisschen Rechtschreibung bei.

5. Die Schüler aus den Unterschichten sind zu doof, als dass man sie ordentlich beschulen könnte:

      Es ist zudem sozialromantisch zu glauben, man könne die
      Bildungs- und Lebenschancen von Unterschichtkindern durch 
      einen anderen und intensiveren Rechtschreibunterricht verbessern.

Wie Steinig gezeigt hat, kann man ihn bei der Wahl geschickter Methoden wie Schreiben nach Gehör aber zumindest verschlechtern, und das ist ja auch schon was. Sinnvoller als Rechtschreibung wäre es nach Brügelmann wahrscheinlich, man würde ihnen zeigen, wie man einen Hartz-IV-Antrag ausfüllt.

6. Schreiben nach Gehör kann an der Misere, die es nicht gibt, nicht schuld sein, denn:

      Dort wird durchgängig die Bedeutung einer verbindlichen 
      Rechtschreibung (für die Erleichterung des Lesens) betont.

Man bringt den Kindern die Rechtschreibung nicht bei, damit man sie nicht in seelische Abgründe stürzt, aber man betont, wie wichtig eine verbindliche Rechtschreibung ist. Das ist schön, Herr Herodes.

      Für die aktuelle Diskussion ist dabei besonders wichtig: Über 
      das freie Schreiben prägt sich nichts Falsches ein [ . . . ], 
      denn in der alphabetischen Phase konstruieren die Kinder 
      einzelne Wörter immer wieder neu - zum Teil verschieden in 
      demselben Text.
 
Die Kinder prägen sich also nichts Falsches ein, weil sie Wörter bei jedem Auftauchen neu konstruieren und anders schreiben. Wenn es nach mir ginge, würde der Professor seinen Lebensabend im Gefängnis verbringen. Zusammen mit seiner Kollegin Brinkmann, die intellektuell wenig Originelles zu bieten hat:

      Die Sorge vieler Eltern, dass sich die Kinder mit ihren 
      lautgerechten Schreibungen, die noch nicht allen orthografischen 
      Normen entsprechen, etwas Falsches einprägen könnten, ist 
      meines Erachtens verständlich, aber unbegründet. Beim 
      lautierenden Schreiben konstruieren die Kinder jedes Wort 
      jedes Mal Laut für Laut neu. Dass sich dabei diese Schreibungen 
      nicht in den Köpfen der Kinder festsetzen, belegen eindrucksvoll 
      die Variationen, die die Kinder immer wieder finden: Oftmals wird 
      das gleiche Wort in kurzer Zeit mehrfach unterschiedlich 
      geschrieben, z. B. Fahrat, Fahrrat, Farrat.

Das werden alle Eltern toll finden, die ihre Kinder zu Lehrerinnen in den Unterricht schicken, die an der PH Gmünd ausgebildet worden sind. Aber letztendlich ist die Rechtschreibung, wie Brügelmann eingangs schon gesagt hat, relativ unwichtig:

      Denn in einem sind wir uns sicher einig: Wem nutzt es, 
      Belanglosigkeiten oder inhaltlichen Unsinn orthographisch 
      korrekt schreiben zu können?

Diess Frage, Herr Professor Dr. Brügelmann, stelle ich mir auch. Ich hätte bei Ihrem Traktat allerdings nicht zum Euphemismus "inhaltlicher Unsinn" gegriffen - das wäre in etwa so, als würde man den Holocaust als Mobbing bezeichnen.

Mittwoch, 23. August 2017

GröDaZ Brügelmann

Letztens habe ich mich noch gewundert, wie ein studierter Jurist mit Aufbaustudium Grundschulpädagogik auf eine Professur "für Anfangsunterricht" an die Universität Bremen und später an die Uni Siegen berufen werden konnte, ohne jemals auch nur eine Woche an einer Grund- oder irgendeiner anderen Schule auch nur ein Kind unterrichtet zu haben, und wie es dazu kommen konnte, dass dessen am Schreibtisch ersonnenen abstrusen Theorien Grundlage der Grundschullehrerausbildung in ganz Deutschland geworden sind. Inzwischen habe ich gelernt, dass sich der Herr Brügelmann darüber selbst gewundert hat:

       Als ich 1980 von der Universität Bremen auf eine Professur für          
       Anfangsunterricht berufen wurde, hatte ich von Lese- und Schreibdidaktik
       kaum Ahnung. Um mich vor den Studierenden nicht zu blamieren, las 
       ich alles, was ich in die Hände bekam – und war irritiert: Überall konnte 
       ich lesen, wie man Lesen und Schreiben lehrt, aber ich fand kaum 
       empirische Befunde bzw. Erklärungsansätze dazu, wie Kinder lesen 
       und schreiben lernen.

Wir halten fest: die Universität Bremen stellte Professoren ein, die von ihrem Fachgebiet "kaum Ahnung" hatten. Und an der PH Schwäbisch Gmünd, an der Brügelmanns Jüngerin Frau Prof'in Erika Brinkmann leert und froscht, findet man das noch nicht einmal seltsam, sonst hätte diese das Bekenntnis des Führers ja wohl nicht dort hingestellt

Kritik an diesen didaktischen Überfliegern ist nicht neu, und das macht mir schon ein bisschen Angst: ist gegen diese Brut wirklich kein Kraut gewachsen? Günter Jansen hat Brügelmann in Grund und Boden geredet und geschrieben (ich weiß, dass Lesen Zeit kostet), und Rainer Dollase hat die Möchtegernpädagogen an PHs und Unis so beschrieben:

        Fachfremde Professorinnen und Professoren [. . . ] phantasieren 
        auf der Basis von Literatur sich neue pädagogische Theorien zusammen,
        bilden im Brustton der Überzeugung Lehrkräfte aus, die dann den Stoff 
        in Prüfungen perfekt herunterrasseln, ohne in irgendeiner Form 
        irgendetwas für die Praxis gelernt zu haben. 

Aber es scheint überhaupt keinen Fortschritt zu geben: die Schweine am Futtertrog der Hochschulen haben die Wissenschaft auf ihrer Seite, da hilft auch ein Fahndungsplakat nicht, das ich auf  diesem blog  gefunden habe:


Und der Spiegel, früher einmal ein angesehenes Nachrichtenmagazin, leistet sich heutzutage so etwas:
  
     SPIEGEL: Sie bestreiten trotz teilweise katastrophaler Studienergebnisse,
     dass es mit der Rechtschreibung seit Jahren  abwärts geht?

     Brügelmann: Ich sage, dass die Datenlage zu einem Rechtschreibverfall       
     widersprüchlich ist. Es gab zu den meisten Zeiten mehr Menschen mit 
     Lese-Rechtschreib-Schwierigkeiten als heute. Das zeigt aktuell die 
     repräsentative "leo."-Untersuchung.

      SPIEGEL: "leo." ist eine Untersuchung über funktionalen Analphabetismus. 
      Selbst in der Kategorie "Fehlerhaftes Schreiben" - in der die 40- bis 
      49-Jährigen übrigens besser abschneiden als die Jüngeren - geht es nicht 
      nur um die Rechtschreib-, sondern auch um die Lesefähigkeiten. 

Das ist echt unglaublich: der Professor "beantwortet" die Frage nach dem Abwärtstrend bei der Rechtschreibung mit einer Studie zum Analphabetismus von Erwachsenen. Erstaunlicherweise merken das die Interviewerinnen und erklären dem Experten, was Sache ist, machen dann aber so weiter:

         Unbestritten dagegen ist, dass Sie einer der einflussreichsten 
         Pädagogen Deutschlands sind. 
             
Hä? Einflussreich bestimmt, aber was macht den Größten Didaktoren aller Zeiten zum Pädagogen? Offenbar hat er nach seiner Emeritierung von seinem Fach noch genausowenig Ahnung wie zu Beginn, nämlich gar keine. Dass die Orthographie heute nicht mehr das ist, was sie einmal war, pfeifen inzwischen sogar die Spatzen in Siegen von den Dächern, wie man ebenfalls im Spiegel nachlesen kann. Ein Journalist hätte hier nachgebohrt; wie das geht, hätte man durchaus von "Erwin Pelzig" lernen können. Aber vermutlich wissen die Spiegel-Redakteusen gar nicht, wer das ist.

Günter Jansen hat guten Grund, auf Brügelmann sauer zu sein. Er hat nämlich selbst ein Lesebuch für die Grundschule geschrieben, das ich weder kenne noch beurteilen möchte. Das hat nämlich der Herr Brügelmann bereits in einem Gutachten getan, das er im Auftrag des Landesinstituts für Schule und Medien Berlin-Brandenburg erstellt hat, und er kommt zu dem unzweideutigen Schluss, dass man das Buch verbieten muss, und zwar aus folgenden Gründen:


  • Jansen/Streit nehmen die kognitive Wende in der pädagogischen 
  •       Psychologie,  die Einsichten konstruktivistischer Lerntheorien im 
          Anschluss an Piaget,  Wygotsky und andere, vor allem aber mehr 
          als 30 Jahre Schriftspracherwerbsforschung nicht zur Kenntnis.

    Das klingt vernünftig; wenn ein Autor die Forschungsergebnisse von Brügelmann nicht berücksichtigt, kann sein Buch ja nichts taugen. 
    • Vor allem aber wurde es nicht unter Normalbedingungen in Klassenzimmern evaluiert.
    Der ist echt gut. Brügelmanns Lesen durch Schreiben ist seit 15 Jahren in Gebrauch - wann wurde es unter Normalbedingungen in Klassenzimmern evaluiert? Wie die FAZ im März 2015 berichtet hat, sieht es so aus:
    •  Bei ihrer Tagung in Leipzig haben sich die Kultusminister dazu durchgerungen, zum ersten Mal bei einem Ländervergleich für die Grundschule auch die Rechtschreibung zu untersuchen. [ . . . ] Umso notwendiger wird es werden, bestimmte Unterrichtsmethoden und ihre Effekte auf den Lernerfolg zu erforschen. Auf diese Weise wird untersucht, ob das Schreiben nach dem Hören (phonetische Schreibung), das in nahezu allen Ländern in den ersten beiden oder gar drei Schuljahren der Grundschule üblich ist, zu schlechteren Rechtschreibkenntnissen führt.
    Nach 15 Jahren Schreiben nach Gehör wird also unter Normalbedingungen in Klassenzimmern untersucht, ob diese Methode zu schlechteren Rechtschreibkenntnissen führt. Das wird der Grundschulverband, so etwas wie der legale Arm von Brügelmann und Brinkmann, nicht gerne hören, denn das letzte, was das Duo möchte, ist, dass Kinder in der Grundschule Lesen und Schreiben lernen. Deshalb hat der Verband auch in einem offenen Brief Ministerpräsident Kretschmann  aufgefordert,  er möge seine Kultusministerin an die kurze Leine nehmen, nachdem diese das Schreiben nach Gehör kritisiert hatte. Inzwischen ist sie von einem Verbot des Schwachsinns aber wieder abgerückt.

    Das deutsche Bildungssystem ist echt nicht mehr zu retten.
      


    Freitag, 18. August 2017

    Realitätsnahe Aufgaben IV

    Bevor wir wieder einige besonders gelungene Beispiele dafür geben, wie man SuSen (Schüler und Schülerinnen, oder vermutlich Schüler*innen, damit die Kinder nicht in ein Geschlechtsschema gepresst werden und sich nicht schon mit 15 entscheiden müssen, ob sie gerade lieber Jungs oder Mädchen sind - ich frage mich jetzt schon, wie die Leute, die den Eintrag des biologischen Geschlechts in Ausweisen abschaffen wollen, sich später über den sogenannten gender pay gap aufregen wollen, den es nach der Abschaffung von Mann und Frau ja nicht mehr geben wird. Oder wird dann das finanzielle Geschlecht eingeführt? Aber auf welche Toilette sollen dann finanzielle Frauen gehen?) heutzutage von der Nützlichkeit der Mathematik überzeugt, erinnern wir die älteren Leser daran, wie man das früher gemacht hat.

    Ich halte mich heute an das Schulbuch Analysis 1 von Kurt Degen aus dem Jahre 1977. Damals hat man im Mathematikunterricht begonnen, die Analysis so sauber wie möglich darzustellen. Bevor es also in diesem Buch für Klasse 11 (und die Grundkurse in der Oberstufe) mit der Differentialrechnung losging, hat man etwas mehr als 100 Seiten für das Rechnen mit reellen Zahlen (Vollständigkeit, Beschränkheit, Intervalle, Umgebungen), vollständige Induktion (samt Binomialsatz), reelle Funktionen (surjektive, injektive, bijektive Abbildungen, Umkehrfunktion, Folgen (beschränkte, monotone, arithmetische und geometrische) und Grenzwerte (einschließlich des Begriffs der Stetigkeit von Funktionen) behandelt. Davon ist heute nichts mehr (in Worten: nichts mehr) Schulstoff.

    Auch die Ableitung wurde sauber definiert und nicht nur die Ableitungsregeln bewiesen (sogar für rationale Exponenten - heute wird die Ableitung von f(x) = x2 und von f(x) =  xplausibel gemacht und dann stillschweigend so getan, als gelte alles automatisch für beliebige Exponenten), sondern auch die Mittelwertsätze und der Satz von Rolle diskutiert, was für die saubere Begründung von Monotonie- und Extremwertfragen unabdingbar ist. Im Kapitel 9 ging es dann um Anwendungen der Differentialrechnung.

    9.1. Anwendungen in der Mathematik dreht sich um Extremwertprobleme. Am Schluss folgen 6 Seiten Aufgaben zu Extremwertaufgaben ohne ein einziges Bild.

    9.2. Anwendungen in der Physik: Hier wird Geschwindigkeit und Beschleunigung
    bei geradlinigen Bewegungen besprochen (und zwar anständig, und nicht so wie heute, wo es lapidar heißt, das Fallen eines Steins werde durch die Funktion s(t) = 5t2 beschrieben). Danach kommen harmonische Schwingungen und der Wechselstromkreis.

    9.3. Anwendungen in der Wirtschaftstheorie, wo Elastizität von Angebot und Nachfrage, Produktions- und Grenzkosten, sowie Grenzerlös und Grenzgewinn besprochen werden.

    Nach der Entwicklung der Integralrechnung (ohne irgendwelche Hinweise auf die ach so wichtige Rekonstruktion von Bestandsfunktionen) geht es weiter:

    11.6. Arbeit und Energie (beschleunigte Bewegung, Federn, Kondensator, Magnetfeld einer Spule), sowie Konsumenten- und Produzentenrente in der Wirtschaft.

    Nach der Einführung von natürlichem Logarithmus und der Exponentialfunktion folgen dann der radioaktive Zerfall, Stromverlauf beim Ein- und Ausschalten eines Gleichstromkreislaufs, Energiemaximum im Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers, und die barometrische Höhenformel.

    Das war, wie gesagt, das Buch für damalige Grundkurse. Wenn man sich das in Ruhe ansieht, wird man zugeben müssen, dass die Abschaffer der Mathematik unter den Didaktikern von Heymann bis Herget ganze Arbeit geleistet haben.  Die Mathematik ist inzwischen ganz verschwunden; Ableitungsregeln können mangels Definitionen gar nicht bewiesen werden, und im Falle etwa von trigonometrischen Funktionen wird heute ungeniert auf die Formelsammlung verwiesen: man kann das auch einen Beweis durch Autoriät nennen.

    Was die Anwendungen in Physik und Wirtschaft betrifft, sind sie alle verschwunden. Das gilt sogar für die Aufgaben zur Gewinnmaximierung, die heute von einer Qualität sind, dass man weinen möchte: Man lässt nur noch eine Kostenfunktion vom Himmel fallen, von der man die Einnahmen abzzuziehen und dann den Gewinn zu maximieren hat. Was man bei solchen Aufgaben lernt, ist mir ein Rätsel.

    Ein Beispiel aus der Landwirtschaft, das wie alle andern Aufgaben hier aus dem Lambacher-Schweizer für die Kursstufe seit 2004 stammt, ist die folgende:



    Die optimale Düngerzugabe ist offenbar diejenige, die den Ertrag maximiert. Qualität spielt keine Rolle, ebensowenig wie die Nitratbelastung der Böden. Die Einheiten stehen zwar dabei, spielen aber bei der Lösung des Problems keine Rolle. Schlimmer noch: welcher Schüler ist in der Lage, die korrekte Einheit der Konstanten 13500 und c in der Formel anzugeben? Wie kann man Schülern in der Physik die Bedeutung der Einheiten klarmachen (gab es früher auch schon Schüler, die als Antwort eine Geschwindigkeit von 50 kg angegeben haben?), wenn in der Mathematik damit Schindluder getrieben wird? Die Ertragsfunktion fällt selbstverständlich vom Himmel - das haben moderne Modellierungsaufgaben so an sich.

    Die echten Physikaufgaben aus den Schulbüchern der 70er und 80er Jahre sind inzwischen zu 100% ersetzt worden durch hanebüchene und vollkommen belanglose Aufgaben, die nur noch den Anschein erwecken, als hätten sie etwas mit Physik zu tun, und die alles mögliche zeigen, nur nicht, dass Mathematik eine nützliche und zum Studium der Physik notwendige Wissenschaft ist. Die folgenden Beispiele lassen sich beliebig vermehren, und es sind noch nicht einmal die schlimmsten.

    Beginnen wir mit einer belanglosen Aufgabe:


    Ein durchhängendes Seil haben alle Schüler schon einmal gesehen, die Aufgabe entstammt also ihrer Lebenswelt.

    • Welchen Sinn hat sie? Ich wüsste keinen. 
    • Was lernt man über Physik oder Mathematik? Im besten Falle nichts.
    • Welches Problem wird mit der Modellierung gelöst? Keines.
    Die Wahl des Koordinatensystems hat der Aufgabensteller erledigt, ohne dass dafür auch nur eine Silbe verschwendet wird; warum die Modellierung durch Parabeln schlechter ist als durch die Kettenlinie, wird nicht erklärt, es wird nicht eimal der Begriff der Kettenlinie erwähnt. Auch auf welcher Grundlage man hier was modelliert hat, bleibt völlig unklar: weder die Endpunkte, an denen das Seil befestigt ist, noch die minimale Höhe oder sonst irgendein physikalischer Begriff, der hier von Bedeutung sein könnte, ist allen Funktionen der Schar gemein. 

    Das nächste Beispiel:


    Auch hier fällt die Funktionenschar vom Himmel. Die 2 ist dimensionslos, x wird in m/s gemessen und die Einheit von x2/v2 ist s2. Addiert man diese Größen, kommen Meter heraus. Natürlich könnte man wenigstens nach der Verifizierung fragen, dass der Abwurfwinkel 45und die Abwurfgeschwindigkeit v ist, aber das wäre zu viel Physik. Wenn man die Einkleidung nicht ernst nimmt, warum benutzt man sie dann und fragt nicht einfach nach der Ortskurve der Hochpunkte? Natürlich, um die SuSen von der Nützlichkeit der Mathematik zu überzeugen. Welche Bedeutung hat die Ortskurve für das physikalische Problem des schiefen Wurfs? Das ist nicht so wichtig.

    Damit kommen wir zur Energie.

    Dass die Einheiten wie immer irgendwie zusammengepfriemelt sind: geschenkt. Dass die Frage nach dem minimalen Energieverbauch  des Vogels nicht dem Energieverbrauch des Vogels gilt, sondern dem Energieverbauch pro Gramm Körpergewicht und pro geflogenem Kilometer: auch geschenkt (selbstverständlich braucht man zur Lösung der Aufgabe nicht zu wissen, was Energie, Masse oder Geschwindigkeit ist). Die Formel für E(v) fällt, ebenfalls wie immer, einmal mehr vom Himmel. Allerdings nicht ganz, denn anscheinend beruht die Aufgabe auf diesem Artikel aus der Zeit. Der Aufgabensteller hat also die 35 km/h, bei welcher der Energieverbrauch pro Gramm und Zeiteinheit minimal ist, hergenommen und daraus eine Funktion gebastelt (diejenige im Zähler von E(v): im Originalartikel wurde denn auch die Leistung bestimmt, also der Energieverbrauch pro Zeiteinheit), die er durch die Geschwindigkeit dividiert hat, damit die Lösung nicht offensichtlich ist und man den GTR braucht, um das Minimum zu bestimmen.

    Wer wissen möchte, wie es in Tuckers Arbeiten zu diesem Thema wirklich zugeht, kann einen Blick in diesen hier werfen, der von der Karikatur im LS aber meilenweit entfernt ist. Wer sich dafür näher interessiert, mag sich das Buch The Simple Science of Flight: From Insects to Jumbo Jets von Hendrik Tennekes anschauen.

    Zum Abschluss die Krönung aller physikalischen Aufgaben aus dem LS. Was mit Vögeln geht, kann man mit Fischen sicherlich auch machen:

    Wie man dieser Formel Einheiten geben kann, vermag ich nicht zu sagen. Die Einheit des Zählers xk hängt von k ab, während c eine Konstante ist; wie soll man da auf die Einheit Joule auf der linken Seite kommen? Das geht wohl nur, wenn c keine Konstante, sondern eine Funktion von k ist. Die größten Probleme mit solchen Aufgaben haben vermutlich diejenigen Schüler, die a) lesen können und b) ein bisschen Physik verstehen.

    Von den Aufgabenstellern kann man das nicht behaupten. Vögel haben ihren geringsten Energieverbrauch bei einer positiven Fluggeschwindigkeit, weil sie vom Himmel fallen, wenn sie zu langsam fliegen. Fische dagegen verbrauchen am wenigsten Energie, wenn sie gar nichts tun außer zu atmen, also bei einer Geschwindigkeit von 0 m/s. Der Energieverbrauch hängt sicherlich vom Widerstand des Fischs im Wasser ab, der in der Tat zwischen v2   und v3  liegen sollte (Physiker bezeichnen die Geschwindigkeit selten mit x). Allerdings braucht man zum Bestimmen des Minimums einer Funktion der Form f(x) = c xkeine Ableitung, also muss man die Funktion so abändern, dass sie diesem Anspruch genügt. Das ist einfach: man braucht die Funktion nur durch x-2 zu teilen.

    Weil c>0 ist, muss die Geschwindigkeit des Fischs x > 2 (also vermutlich größer als 2m/s) sein. Sollte der Fisch doch mal langsamer schwimmen, gibt er Energie ab, und die Energieprobleme der Menschheit sind gelöst. Wenn das mal keine nützliche Anwendung der Mathematik ist, dann weiß ich auch nicht. 

    Eine andere nützliche Anwendung irrationaler Zahlen stammt aus einem US-amerikanischen Lehrbuch - da ist man uns wie immer ein paar Jährchen voraus:



    Es gab Zeiten, da wäre jeder Mathematiklehrer, der gefragt hätte, ob die in Fuß gemessenen Seitenlängen eines Labyrinths in Dallas rational oder irrational sind, stante pede vom Blitz niedergestreckt worden. Heute wird die Seitenlänge eines quadratischen Labyrinths nicht einmal mehr gemessen, sondern durch Ziehen der Quadratwurzel aus der Fläche berechnet. Und wo sind Thor und Odin, wenn man sie braucht? Nun ja, dafür haben wir heute Modern Educayshun vom Feinsten:



    Samstag, 12. August 2017

    Heureka!

    Die wichtigste Zutat zur Durchsetzung von Reformen - ein Lateiner würde hier von einer conditio sine qua non sprechen - ist die Verächtlichmachung der Art und Weise, wie man zuvor unterrichtet hat. Das ist auch in den USA so, wo der bis vor kurzem dümmste Präsident aller Zeiten mit seinem "No child left behind" und sein Nachfolger, der für die Tatsache, dass er weniger dumm war, gleich den Friedensnobelpreis bekommen hat, mit den "Common Core Standards" grobe Keile auf einen groben Klotz gesetzt haben. Seither maulen Republikaner über CCS und Demokraten über NCLB und alte Lehrer über beides - man kennt das.

    Eine Umsetzung der CCS stammt von Eureka Math und wird auf sehr vielen Seiten recht gelobt (nicht auf allen - dieser Seite etwa verdanke ich die Erkenntnis, dass excel und open office, also die von deutschen Didaktikern über den grünen Klee gelobten Tabellenkalkulationsprogramme, die im modernen Mathematikunterricht unverzichtbar sind, den Ausdruck -2beide falsch berechnen). Jedenfalls lobt sich die Seite selbst - sicher ist sicher:

              Eureka Math unterscheidet sich vermutlich grundlegend von 
              Ihrem Mathematikunterricht und der Art und Weise, wie Sie 
              Mathematik gelernt haben.

    Das werden wir weiter unten bestätigt sehen.

              Um diesen neuen Herausforderungen zu begegnen, müssen wir 
              unsere Schüler darauf vorbereiten, Denker und Problemlöser zu
              sein und Mathematik wirklich zu VERSTEHEN.
     
    Was am alten Unterricht falsch war, wird der Sicherheit halber noch einmal unterstrichen:

               Mathematik wurde traditionell als "Tatsachen" und Formeln 
               gelehrt. Schülern wurde nur beigebracht, Formeln auswendig
               zu lernen und Probleme auf eine bestimmte Art zu lösen.

    Ich dagegen, und ich war nicht der einzige, habe Mathematik gemocht, weil man nichts lernen musste, wenn man die Sache verstanden hatte. Das ging nicht allen so:

                Das Problem an dieser Art des Unterrichts war, dass viele von 
                uns die Mathematik, mit der wir uns beschäftigt haben,  nicht 
                wirklich verstanden haben.

    Auch das mag stimmen. Das wirkliche Problem beginnt aber dort, wo die Leute, die als Schüler in Mathematik nichts verstanden haben, plötzlich Lehrbücher schreiben. Dazu schauen wir in die Lesson 4 auf dieser Seite, das sich mit der Berechnung von Flächeninhalten von Dreiecken in Klasse 6 beschäftigt. Aufgabe 5 geht so:


    Realitätsnahe Mathematik - wir kennen das inzwischen auch. Wirklich realitätsnah ist das auf der anderen Seite auch nicht, denn in Geschäften für Segelbootzubehör kann man selten Segel in der Form eines solchen Dreiecks kaufen. Als Laie würde ich vermuten, dass man den Stoff erst zuschneiden und den "Abfall" ebenfalls bezahlen muss. Aber vermutlich weiß man nach 6 Jahren realitätsnaher Mathematik, wann man der Realitätsnähe Grenzen setzt und einfach das ausrechnet, was man vermutlich ausrechnen soll, nämlich den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Dass man dies tatsächlich machen muss, scheint aus dem Satz

                 If the sailboat sales on are sail for $2 a square foot

    hervorzugehen, allerdings hatte ich als nicht-native-speaker so meine Probleme mit dem Satzbau. Aber wozu gibt es google translate?

               Wenn der Segelbootverkauf auf Segel für $2 ein Quadratfuß ist

    hilft uns aber nicht wirklich weiter, und auch auf Spanisch oder Französisch klingt das nicht sehr verständlich - anscheinend finden die Segelbootverkäufe dort nicht auf Segel, sondern auf einem Schiff statt. Nach langen Minuten des Nachdenkens über diesen Satz bin ich wohl auf die richtige Interpretation gekommen - die Lösung gibt's aber erst unten.

    Sei's drum, als Schüler weiß man ohnehin, dass man die Fläche des Dreiecks ausrechnen soll. Als Sechstklässler weiß man noch nicht, dass Dreiecke mit den Seiten 5, 12 und 13 rechtwinklig sind, weil 52 + 122 = 132 ist, aber es ist schön zu sehen, dass die Lehrbuchautoren dies wissen. Weil das große Dreieck mit den Seiten 12, 13 und 20 mit dem kleinen den rechten Winkel gemeinsame hat, sollte man annehmen, dass auch 122 + 132 = 202
    ist, aber wegen 122 + 13= 313 kann das nicht recht sein.

    Eine kleine Skizze mit geogebra zeigt, dass die wirkliche Höhe eines Dreiecks mit den Seiten 8, 13 und 20 ft auf die Seite der Länge 8 ft nicht 12 ft sind, sondern 7,75 ft. Das werden die Anderson's (nur echt mit dem Deppenapostroph, den es auch im Englischen gibt) nicht gerne hören: offenbar hat man sie übers Ohr gehauen.

    Nun ja, Fehler passieren. Schauen wir uns die nächste Aufgabe an:



    Ich habe keine Ahnung, wie ich Russell erklären soll, warum seine Lösung korrekt sein soll. Es geht um ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundseite 43 cm und den Schenkeln 25 cm, und im rechtwinkligen Dreieck daneben (wieder ein pythagoreisches wegen 72 + 242 = 252) scheint die halbe Grundseite 24 cm lang zu sein. Nun ja, Fehler passieren.


    Die Apostrophe sind schon mal richtig gesetzt, das gibt uns Hoffnung. Auch die Mutter aller pythagoreischen Dreiecke, das mit den Seiten 3, 4 und 5, gibt sich die Ehre. Das große macht aber wieder Probleme, weil 152 + 42 einfach nicht 182  sein will. Damit hat Donovan das Problem sicherlich nicht richtig gelöst, während Darnell den Flächeninhalt des falschen Dreiecks ausgerechnet hat, dafür aber richtig. Wie groß ist nun die wirkliche Höhe des Dreiecks mit den Seiten 5, 12 und 18?

    Die Antwort verblüfft: ein solches Dreieck gibt es nicht, weil die Seiten 5 und 12 zusammen kürzer sind als die dritte Seite 18. Aber wie gesagt, so ein Fehler kann schon einmal passieren.

    Auch hier wieder ein pythagoreisches Dreieck, nämlich das mit dem Faktor 2 vergrößerte (3, 4, 5)-Dreieck, und ein größeres Dreieck, das wieder keines ist, weil 10 inches und 24 inches zusammen deutlich kleiner sind als 42 inches. Vermutlich bin ich etwas kleinlich heute.
     
    Von allen Dreiecken, die es nicht gibt, gefällt mir das hier am besten, und zwar weil es Wasser auf die Mühlen der Didaktiker ist, die auch hierzulande seit Jahrzehnten für Taschenrechner ab dem Kindergarten und Computeralgebrasystemen in der Grundschule kämpfen (Meißner, Krauthausen, Barzel, Herget): um den Flächeninhalt des Dreiecks so auszurechnen, wie sich die Autoren das vorgestellt haben, muss man in Klasse 6 zweifellos den Taschenrechner benutzen, was kurz nach der Einführung der Bruchrechnung zweifellos eine sehr gute Idee ist. Und wenn der Taschenrechner sagt, der Flächeninhalt sei 121,125 ft, dann kann es ja gar nicht sein, dass es das Dreieck gar nicht gibt, denn wenn es dieses nicht gäbe, dann hätte es keinen Flächeninhalt, den der Taschenrechner ausrechnen kann. Ein ontologischer Dreiecksexistenzbeweis vom Feinsten, gell?

    Ein Versprechen gilt es noch einzulösen: ich wollte die Bedeutung des Satzes

        If the sailboat sales on are sail for $2 a square foot, how much will 
        the new sale cost?

    nachreichen. Meine Vermutung:

        If the sailboat sails are on sale for $2 a square foot, how much will 
        the new sail cost?

    Im Nachhinein ganz einfach. Aber so ist das immer in der Mathematik: hat man es erst einmal verstanden, ist es trivial. In diesem Sinne: Sales of Silver von Steeleye Span.