Sonntag, 4. Dezember 2016

. . . und meine Frau ist auch Brian!


Ich möchte an dieser Stelle einige Bemerkungen zum Buch

   Büchter, H.-W. Henn, Elementare Analysis. Von der Anschauung zur Theorie, Spektrum 2010

machen, nicht weil es ein besonders wichtiges oder besonders schreckliches Buch wäre, sondern weil es aussieht wie Dutzende andere zeitgenössische Traktate, in denen der immergleiche Schmuh von praktisch der gesamten heutigen Generation der Didaktiker breitgetreten wird.

Alles ist Modell

Man wird bei der Energie, mit dem dieser Personenkreis alles in ein Schema presst (Modellierung ist nicht das einzige Modewort in diesem Zusammenhang; auch Grunderfahrungen, Leitideen und Kompetenzen sind Begriffe, denen man alles - und ich meine wirklich alles - unterordnen kann), unweigerlich an Monty Python erinnert (noch ältere Leser werden sich an das panta rhei von Heraklit erinnern). So heißt es auf S. 7:

          Dabei sind Funktionen selbst universelle mathematische Modelle . . .

Heutzutage ist, wie gesagt, alles ein mathematisches Modell, ebenso wie vor 40 Jahren alles eine Menge war. Timo Leuders, einer der vielen Päpste der modernen Didaktik, schreibt etwa in
Gruppen als Modelle - Horizontale und vertikale  Mathematisierungsprozesse  (Springer 2015)
auf S. 218

       In diesem Sinne lassen sich die natürlichen (und später die ganzen und rationalen Zahlen) 
       und ihre rechnerischen Verknüpfungen als Modelle für Situationen und Handlungen der 
      Realität auffassen.

Zahlen sind also auch Modelle. Und Gruppen natürlich auch:

         Aus einer Modellierungsperspektive betrachtet sind Gruppen aber auch Modelle, die 
        eine Vielzahl von (Real-) Situationen beschreiben.

Mengen dagegen scheinen keine Modelle zu sein. Das mag daran liegen, dass Mengen heute im Schulunterricht gar nicht mehr auftauchen, was wiederum seinen Grund darin hat, dass die prä-modellierende Generation der Didaktiker es mit den Mengen ein ganz klein wenig übertrieben hat. Aber mit Zahlen, Funktionen und Gruppen deckt man ja schon einen beträchtlichen Teil der Mathematik ab, und sicherlich sind Differentialgleichungen und Hypothesentests ebenso wie alle andern mathematischen Begriffe, welche den Didaktikern geläufig sind, ebenfalls  Modelle. Oder, wie man bei Leuders lesen kann:

        In der Grundschuldidaktik werden oft die konkreten Objekte, welche mathematische 
       Operationen veranschaulichen sollen, als Modelle bezeichnet: Das Vierhunderterfeld 
       wird beispielsweise als ein Modell  für die Multiplikation von Zahlen im Zwanzigerraum 
       aufgefasst.

Die Suche nach einem Modell für die Multiplikation von Zahlen im Zehnerraum überlassen wir dem Leser als Übungsaufgabe.

Grundvorstellungen

Mit Grundvorstellungen sind die Grundvorstellungen gemeint, welche die Schüler, von denen heutige Didaktiker keine mehr kennen, von Grundbegriffen der Analysis haben sollten oder eben nicht haben. Zuerst  wird aber auf S 7-8 ein Missverständnis ausgeräumt:

         Dies ist uns wichtig, weil die ``Funktionsuntersuchung'' mit Mitteln der  Analysis in der 
        Schule häufig unreflektiert auch als ``Kurvendiskussion'' bezeichnet wird.

Was heißt hier unreflektiert? Es hat Zeiten gegeben, da waren Kreis und Ellipse durchaus noch mathematische Objekte (also Modelle), die man auf der Schule durchgenommen hat. Aber daran mögen sich die wenigsten noch erinnern, denn dass man Inhalte abgeschafft hat, ist je nach dem Standpunkt, den ein Didaktiker gerade einnimmt, entweder eine falsche Behauptung oder gewollt gewesen.

Auf S. 12 kommt nach etwas Eigenwerbung für den Mathekoffer das ``Schnurproblem'', bei dem Höhen gewisser Dreiecke gemessen werden. Drei Seiten später folgt die Erklärung in einer zweizeiligen Rechnung mit Pythagoras. Natürlich kann man, wenn man Zeit hat, eine Doppelstunde 
lang darauf verwenden, die Höhen gleichschenkliger Dreiecke zu messen. Aber das gesamte Buch krankt daran, dass die Autoren nicht zu Potte kommen und bei jeder Gelegenheit meinen, sie müssten jeden einzelnen Begriff der Mathematik erst ein Dutzendmal in der Realität wiederfinden, bevor sie ihn mathematisch zu definieren versuchen. Langeweile pur. 

So heißt es auf S. 29

       In den Wirtschaftswissenschaften werden häufig . . . ``Konfektionierungsprozesse'' 
      [betrachtet], bei denen n Produkte in m unterschiedlichen Zusammenstellungen verpackt 
      werden. Im Folgenden  wird das stark vereinfachte Beispiel der Verpackung von einer 
     Sorte  Lakritz und einer Sorte Weingummi in vier unterschiedliche Packungsarten betrachtet:
  • ``Lakritztüten'' mit jeweils 100 Lakritzen,
  • ``Weingummitüten'' mit jeweils 80 Weingummis,
  • ``Mixtüten-Lakritz'' mit 75 Lakritzen und 20 Weingummis und
  • ``Mixtüten-Weingummi'' mit 60 Weingummis und 25 Lakritzen.
Das stellt die Süßwarenhersteller, man ahnt es bereits, vor mathematische Probleme. Aber zum Glück hat die Mathematik  ein Handwerkszeug (also ein Modell) bereitgestellt, nämlich die sogenannten ``Übergangsmatrizen'':

     Mithilfe der Matrizenrechnung lässt sich dies wie folgt durch  eine Funktion A : ℝ4 → ℝ2
     beschreiben:

     
Das wird Haribo freuen, kann der Betrieb nun, da das Problem mathematisch sauber modelliert ist, seine ursprüngliche Aufgabe mit Hilfe der Mathematik lösen. Allerdings ist der Ausflug ins Reich der Süßigkeiten genau an dieser Stelle vorbei, gerade so, als hätte es gar kein Problem gegeben, das es zu lösen galt. Aber es ist gut, mal darüber geredet zu haben . . .

Auf  S. 31 kommen die neuerdings vielbeschworenen  Grundvorstellungen ins Spiel, und zwar die Grundvorstellungen  von Variablen. Sicherlich keine schlechte Sache, wenn man Analysis machen möchte:

      Stellen Sie sich vor, Sie beobachten, wie der 9-jährige Malte seinem Vater empört berichtet, 
      die Evelyn aus seiner Klasse bekomme dreimal so viel Taschengeld wie er. Wenn Sie sich 
      ausschließlich auf diese Beobachtung verlassen müssen, wissen  Sie nicht, wie viel 
     Taschengeld Malte bekommt oder wie viel  Taschengeld Evelyn bekommt. Dennoch wissen 
    Sie mehr als nichts, da  Sie eine Aussage über die Beziehung zwischen den beiden Beträgen 
     machen können. Sie könnten z. B. notieren 
                          Evelyn = 3 x Malte,
      wobei der jeweilige Name als Variable für die Taschengeldhöhe des zugehörigen Kindes 
     steht. Wenn Sie von einem der beiden Kinder   die Taschengeldhöhe kennen, können Sie 
     direkt auch  die andere ermitteln - vorausgesetzt Malte hat kein zu instrumentelles 
     Verhältnis zur Wahrheit . . . .

Auch nach dem dritten Lesen bleibt die Geschichte vollkommen sinnfrei.  Weder weiß man, was eigentlich los ist, noch, wozu diese Exkursion dienen soll.

Später, auf S. 33, kommt dann heraus, dass das Beispiel erklären sollte, dass manche Variablen (wie hier Malte) keine Variablen sind, sondern nur für eine bestimmte Zahl stehen:

      Der Einzelzahlaspekt tritt bei allen obigen Beispielen zur Gegenstandsvorstellung in  
     Erscheinung, eine Variable steht hier für jeweils eine feste Zahl. Bei unserem 
     Einstiegsbeispiel ``Taschengeld'' steht der Name des Kindes für den jeweiligen 
     (feststehenden) Betrag.

Aus diesem Grunde hat man Variablen wohl Variablen genannt. Vermutlich handelt es sich dabei um Modellvariablen, bei denen man das Präfix ``Modell'' weggelassen hat, weil Variablen ja ohnehin Modelle sind.

Dieses Bemühen, sich der Realität anzubiedern, ist so widerlich,  dass die Lustlosigkeit, mit welcher innermathematische Dinge wie die  Quadratverdopplung auf S. 33 behandelt werden, Bände spricht. Dabei ist diese einfache mathematische Tatsache der Anfang für die Entdeckung der Irrationalen, der Anstoß für das Delische Problem - aber was sage ich da: das sind ja - bäh - innermathematische Probleme. Das klingt bei Didaktikers schon so, als müsste man die mit der Beißzange anfassen.

``Charity begins at home'', sagen die Engländer, und die Analysis auch. Auf S. 37 heißt es

      Birte soll ihrem Vater in den Schulferien 9 Tage helfen, den Garten neu zu gestalten. Als 
      Entschädigung für entgangene Ferienfreuden bietet er ihr ein zusätzliches Taschengeld an. 
      Dabei darf sie zwischen den folgenden ``Entgeltvarianten'' wählen:
  • Sie erhält einmalig 333 Euro.
  • Sie erhält jeden Tag 35 Euro.
  • Sie erhält am ersten Tag 5 Euro, am zweiten Tag 10 Euro, am dritten Tag 15 Euro usw.
  • Sie erhält am ersten Tag 1 Cent, am zweiten Tag 2 Cent, am dritten Tag 4 Cent usw.
 Solche Aufgaben erlauben es den Autoren darüberhinaus unter Beweis zu stellen, dass sie mit GTR, CAS und Tabellenkalkulationsprogrammen umgehen können. Andere wiederum könnten mit diesen aus der Lebenswelt der Schüler entnommenen  Aufgabe ganze Felder düngen . . .

Auf Seite 43 werden lineare Funktionen y = kx proportionale Funktionen genannt. Proportional wozu, fragt sich da der Lateiner, denn eine Proportion ist ein Verhältnis, und dazu gehören zwei. Wo es proportionale Funktionen gibt, existieren natürlich auch antiproportionale: 

        Eine Funktion f : ℝ \{0} → ℝ, die sich mithilfe einer geeigneten reellen Konstante k schreiben
        lässt als f(x) = k/x, heißt antiproportionale Funktion.

Selbstverständlich gibt es, bevor man die künftigen Lehrer mit so einer Definition erschlägt, erst ein Beispiel aus der Realität, in diesem Fall den antiproportionalen Zusammenhang zwischen 
``Durchschnittsgeschwindigkeit und Fahrtdauer''. Weil Durchschnittsgeschwindigkeit und Fahrtdauer aber positiv sind, wird dieser Sachverhalt nicht von einer antiproportionalen Funktion  beschrieben, denn solche haben Definitionsbereich ℝ \{0} → ℝ. In der richtigen Mathematik behilft man sich an dieser Stelle mit einer flexiblen Definition, wählt also als Definitionsbereich einer Funktion je nach Bedarf ein Intervall oder eine offene Teilmenge der reellen Zahlen. Schade nur, dass Mengen keine Modelle sind, denn dann könnten die Autoren dies ebenfalls tun.

Auch lineare Funktionen sind bedeutsam, wie der Leser auf S. 45 lernt:

       Innermathematisch ist die ``Mathematik der linearen Funktionen'' von Bedeutung, da jede 
       beliebige Gerade in der Ebene nach Wahl eines geeigneten Koordinatensystems durch 
      Gleichungen der Form y = a x + b beschrieben kann.

 Innermathematisch. Man kann lineare Funktionen also auch in der Mathematik benutzen und nicht nur zum Veranschaullichen des Handytarifs. Echt? Krass! Und, das sei nebenbei auch bemerkt,  nach Wahl eines geeigneten Koordinatensystems kann die Gerade sogar in der Form y = 0 geschrieben werden. Unverständlich bleibt auch die Aufgabe auf S. 48, den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen von f(x) = x2 und g(x) = √x ``möglichst exakt'' zu bestimmen. Ist damit gemeint, dass man x1 = 0 und x2 = 1 auf 10 Nachkommastellen genau angibt, oder meinten die Autoren, man solle die Schnittpunkte (bei mir kommen zwei raus) ``wenn möglich'' exakt angeben, weil die algebraischen Fertigkeiten der Schüler heutzutage für die dazu notwendigen Rechnungen nicht mehr ausreichen, da Algebra heute praktisch nicht mehr unterrichtet wird?

Ab S. 51 wird zwei Seiten lang Urgroßvaters Geld mit 6 % Jahreszinsen verzinst und nachgesehen, was heute davon da ist:

       Damit uns in diesem langen Zeitraum nicht Währungsreformen Scherereien bereiten, soll er 
      die Geldanlage in den USA getätigt haben 

Da gab es natürlich auch keinerlei Probleme mit Weltwirtschaftskrise und den beiden Weltkriegen, und auch Inflation ist in den USA ein unbekanntes Phänomen:

        und ca.  $ 200000 sind doch auch nicht zu verachten.

Eben.

Die Analysis taucht dann langsam auf S. 80 auf, und zwar als Problem:

       Dies ist einer der größten Problembereiche des Mathematikunterrichts in der 
       Sekundarstufe II. Häufig wird der  Kalkül als Selbstzweck entwickelt, trainiert und an 
       komplizierten Funktionen rein innermathematisch angewendet (``Kurvendiskussion'') 
      - damit werden die historische Entwicklung der Analysis und auch ihre Bedeutung in 
      den Anwendungsdisziplinen konterkariert.

Ich weiß nicht so recht, welche Anwendungen Archimedes durch den Kopf geschwirrt sind, als er die Fläche eines Parabelsegments bestimmt hat. Vermutlich wollte er den Temperaturverlauf in einer Mikrowelle aus deren Änderungsrate rekonstruieren.

Das letzte Mal, als die Analysis in der Schule innermathematisch angewendet wurde, muss in den 1990ern gewesen sein. Seither wird die historische Entwicklung der Analysis und auch  ihre Bedeutung in den  Anwendungsdisziplinen konterkariert durch die hanebüchenen Einkleidungen der sogenannten realitätsnahen Anwendungsaufgaben, die sich die Didaktiker haben einfallen lassen, weil sie von wirklichen Anwendungen allem Anschein nach wenig verstehen. In der Tat wird heutzutage der Anwendungsbezug als Selbstzweck entwickelt und an einfachsten Funktionen (Grad 3 ist in Ordnung, alles andere zu schwer) rein außermathematisch (eigentlich außerweltlich - in diesem Leben tauchen derartige Anwendungen nicht auf) bis zum Erbrechen trainiert - was damit konterkariert wird, ist schwer zu sagen; eine Bedeutung für Mathematik oder Anwendungsdisziplinen haben diese Aufgaben ohnehin nicht.

Nachdem auf S. 80 also die Analysis erstmals in Erscheinung getreten ist, wird auf Seite 105 erklärt, wozu das Buch (also vermutlich der Rest davon) gut sein soll:

      Das Ziel dieses Buchs ist die Entwicklung einer nützlichen [ . . . ] Theorie der Differenzial- 
      und Integralrechnung.

Anscheinend gibt es auch eine nicht nützliche Differential- und Integralrechnung; das muss die sein, in der keine Lakritze und Weingummis auftauchen.

Geschichte der Mathematik

Es gibt, in der Geschichte der Mathematik wie anderswo auch, reichlich Gelegenheit, Fehler zu machen. Tatsächlich lassen die Autoren fast kein Fettnäpfchen aus, vor allem, weil sie die Rolle der Geschichte der  Mathematik für den Schulunterricht missverstehen. Man kann einerseits mit Hilfe der heutigen Mathematik die antike verstehen wollen, und andererseits aufzeigen, dass die antike Mathematik teilweise einen ganz anderen Blickwinkel hatte als die heutige. Überflüssig wird der historische Bezug allerdings, wenn man die Geschichte nicht ernst nimmt und die antike Mathematik, aus was für Gründen auch immer, falsch darstellt. Das ist in etwa so, als ließe man Goethe über den Bahnhof in Frankfurt schreiben.

Auf S. 105 heißt es 

       Obwohl schon die Pythagoräer im 5. vorchristlichen Jahrhundert die Existenz nicht-rationaler            Punkte auf dem Zahlenstrahl entdeckt und damit die ``erste Grundlagenkrise''  der 
       Mathematik ausgelöst hatten,  . . . 

Nun - einen Zahlenstrahl gab es damals natürlich noch nicht, und es gab auch keine irrationalen Zahlen: Die Griechen sprachen von inkommensurablen Größen. Die berühmte ``erste Grundlagenkrise'' der Mathematik ist ebenfalls ein Märchen und mag einen wahren Kern  haben; aber Hinweise auf eine solche Krise gibt es nicht. Wikipedia  (dort haben die Autoren offenbar nicht nachgesehen) ist da deutlicher: ``In Zusammenhang mit der Legende vom Geheimnisverrat wurde in älterer Forschungsliteratur die Hypothese vertreten, die Entdeckung der Inkommensurabilität habe die Pythagoreer schockiert und habe eine  Grundlagenkrise der Mathematik bzw. der Philosophie der Mathematik  ausgelöst. Die Annahme einer Grundlagenkrise wird jedoch ebenso wie  der angebliche Geheimnisverrat von der neueren Forschung  abgelehnt. Die Entdeckung der Inkommensurabilität wurde als  Errungenschaft und nicht als Problem oder Krise betrachtet.''

      Aus der philosophischen Lehre des Pythagoras ergab sich zwingend, dass zwei beliebige
     Strecken a und b immer kommensurabel sein müssen, . . . 

Das ist mir neu. In den philosophischen Lehren des Pythagoras, soweit man sie zu kennen glaubt, taucht die Kommensurabilität nicht auf. Vermutlich spielen die Autoren auf den Leitspruch ``Alles ist Zahl'' an, aber die Frage bleibt, was dieser bedeutet hat und was daraus folgt.

     Alle Beweise, die auf der Grundlage kommensurabler Strecken geführt worden waren, brachen 
    auf einmal zusammen (vgl. Meyer (2005))

Tatsache ist, dass man sich fürchterlich anstrengen muss, um Beweise zu finden, die auf der Grundlage kommensurabler Strecken geführt werden können. Das klassische Problem der Verwandlung eines Rechtecks in ein flächengleiches Quadrat etwa kann man gar nicht auf der Grundlage kommensurabler Strecken führen, weil ein Rechteck mit den Seiten 1 und 2 zum Quadrat mit der Kantenlänge √2  flächengleich ist.

Und natürlich kann man Meyer (2005) ebenso zitieren wie Müller (2008)  oder Hinz und Kunz (2004); aber in Sachen griechische Mathematik wären Zitate zumindest der Sekundärliteratur vielleicht die bessere Wahl; es gibt immer noch einige Bücher über die Geschichte der Mathematik auf Deutsch, die man zitieren könnte,  jedenfalls wenn sich die Medienkompetenz der Autoren auch auf das Medium Buch erstrecken würde. Auch die  Bemerkung auf S. 110 lässt einen die Augen reiben:

    Unklar ist, ob Euklid tatsächlich eine historische Person ist und die ``Elemente'' (vollständig) selbst verfasst hat. Es gibt Vermutungen, dass er der Kopf einer Gruppe von Mathematikern war, die gemeinsam und auch über seinen Tod hinaus die ``Elemente'' geschrieben haben, oder dass er  möglicherweise nie gelebt hat und ``Euklid'' nur das Pseudonym einer Mathematikergruppe war.

Was wir über die Mathematik im antiken Griechenland wissen, ist in der Tat dürftig. Dass Euklid die Elemente vollständig selbst  verfasst haben soll, wird m.W. von niemandem behauptet. Dass es Vermutungen gäbe, wonach Euklid so etwas wie Bourbaki gewesen sein soll, scheint dem Zeitgeist geschuldet: Itard hatte 30 Jahre nach Bourbakis Gründung erstmals geschrieben, dass mit dieser Annahme manche, aber nicht alle Datierungsprobleme verschwinden würden. Ich würde das keine Vermutung nennen, schon gar nicht im Plural, und selbst wenn es eine wäre, hat sie nach Itard wohl kein ernstzunehmener Historiker übernommen. Bevor man also derartig wüste Spekulationen im Zusammenhang mit Euklid äußert, sollte man den Lesern erst einmal das, was man zu wissen glaubt, mitteilen. Aber  Medienkompetenz am Beispiel des Mediums Buch ist, wie gesagt, nicht die Stärke der Autoren.

Daher erstaunt es nicht, dass es geradeso weitergeht:

       In seiner Größenlehre subsumierte Eudoxos u. a. die Konzepte Länge und Zeit, die jeweils 
      ein Kontinuum darstellten und nach  Hippasos' Entdeckung auch nichtrationale Maßzahlen 
      umfassten.

In den 13 Büchern Euklids (das 5. wird Eudoxos zugeschrieben) sucht man den Begriff einer Maßzahl vergeblich. Die Griechen betrachteten nicht die Längen von Strecken, sondern die Verhältnisse zweier Strecken. Es ist mir auch ein Rätsel, wie man im Zusammenhang mit  Eudoxos auf das Konzept Zeit kommen kann - Euklid hat seine Elemente als rein innermathematisch, wie das heute zu heißen scheint, betrachtet; er wäre eher tot vom Stuhl gefallen als dort Anwendungen auf
die  ``Realität'' zu bringen (die gab es wohl und gehörten zum Bereich der Logistik; diese wurde aber in den Elementen nicht behandelt). Aber es kommt noch besser:

      In einer Weiterentwicklung dieses Ansatzes hat Archimedes (287 -- 212 v. Chr.) bei der            
      ``Parabelquadratur'' die Fläche unter einer Parabel durch ``Ausschöpfen mit Dreiecken'' 
      exakt bestimmt.

Die Fläche unter einer Parabel? Im kartesischen Koordinatensystem,  nehme ich an, benannt nach dem großen griechischen Philosophen Renos Deskartos.

         Aufbauend auf den Arbeiten vieler Vorläufer wurde im 17. Jahrhundert durch Isaac Newton 
        (1643 -- 1727) und Gottfried  Wilhelm Leibniz (1646 -- 1716) unabhängig voneinander die   
        Differenzial- und Integralrechnung entwickelt und gleich mit   großem Erfolg angewandt. 
       Ein bekanntes Beispiel ist Newtons   Theorie der Planetenbewegung.

Das einzige Problem an der Geschichte ist, dass Newton die Theorie der Planetenbewegung nicht mit Hilfe seiner Differential- und  Integralrechnung beschrieben hat, sondern mit geometrischen Hilfsmitteln, die auf Euklid und Apollonios zurückgehen. Die berühmte (offenbar nicht in den Kreisen, in denen die Autoren  verkehren) ``letzte Vorlesung Feynmans'' befasst sich mit der Newtonschen Herleitung.

       Euklid von Alexandria (ca. 325 -- 265 v. Chr.) hat in den 13 Bänden seiner ``Elemente'' 
      das mathematische Wissen seiner Zeit gesammelt.

Hat er nicht. Er hat die Grundlagen für die Mathematik seiner Zeit gelegt, eben die Elemente. Wenn die Elemente das gesamte Wissen der Zeit gewesen wären, warum hätte Euklid dann Bücher über die Teilung von Figuren oder über Kegelschnitte schreiben sollen?

In den ``Elementen'' findet sich der folgende Nachweis der Existenz irrationaler Zahlen, den Sie vielleicht aus der Schule kennen. Euklid zeigt, dass  √2  eine nicht-rationale Zahl ist:

Auch hier ist wieder zu erwähnen, dass in den Elementen Zahlen als die ganzzahligen Vielfachen der 1 definiert sind. In den Elementen tauchen also keine irrationalen Zahlen auf, und der vorgestellte Beweis,  dass Diagonale und Seite eines Quadrats inkommensurabel sind, steht  nicht in den Elementen, sondern war eine Hinzufügung im Mittelalter, die seit einem Jahrhundert wieder weggelassen wird.

Springen wir weiter zu Heron von Alexandria, dessen Methode zur Approximation von Quadratwurzeln auf S. 163 so kommentiert wird:

         Heron selbst kannte noch nicht die im Folgenden entwickelte Iteration mit Dezimalzahlen
         sondern drückte, wie es bei den alten Griechen üblich war, das Problem in geometrischer 
        Form  aus: Es war die Aufgabe, ein gegebenes Rechteck in ein flächengleiches Quadrat 
        umzuwandeln.

Sinn und Zweck des Heronverfahrens ist die Gewinnung einer numerischen Approximation. Geometrisch kann man Wurzeln exakt ziehen, und eine numerische Approximation ohne Zahlen ist relativ sinnfrei. Wie hat Heron  also seine Zahlen geschrieben? Wäre auf Seiten der Autoren
Medienkompetenz vorhanden, hätten sie das herausfinden können, und dieses Mal hätte es sogar genügt, dem Hinweis auf Wikipedia zu  folgen, um zumindest herauszufinden, dass Heron eine Approximation der  Quadratwurzel aus 720 berechnet hat.

Ein letztes Mal kommt die Geschichte auf S. 205 ins Spiel:

     Historische Bemerkung: In der menschenverachtenden Nazizeit hat das damalige Regime bekanntlich versucht, seine Ideologie alle  gesellschaftlichen Bereiche durchdringen zu lassen und sie so überall zu verankern. Im Bereiche der Wissenschaften gab es   z. B. nicht nur eine ``Deutsche Physik'' sondern auch eine  ``Deutsche Mathematik'' (sogar eine Zeitschrift dieses Titels  existierte damals), die sich u. a. dadurch auszeichnete, dass ``jüdische'' mathematische Begriffe ``eingedeutscht'' werden sollten. Wenn die Thematik nicht so ernst und tragisch wäre,  gäbe der Versuch, die Bezeichnung ``Differenzialquotient''  durch ``Null-durch-Null-Verschwinder'' zu ersetzen, schon fast Anlass zum Schmunzeln.

Es gibt viele Arten, sich den Ereignissen während der Nazizeit zu nähern, und auch die Mathematik bietet dafür reichlich Anlass. Dass die deutsche Mathematik damals versucht haben soll, ``jüdische'' mathematische Begriffe ``einzudeutschen'', ist mir neu. Nebenbei bemerkt  hat es das Wort Differenzialrechnung im Dritten Reich noch gar nicht  gegeben, weil es damals noch korrekt Differentialrechnung geschrieben  wurde. Der Begriff des Differentials wurde von Leibniz eingeführt - soll  der letzte Satz Humor sein oder wollen die Autoren sagen, der Begriff sei  von den Nazis als jüdisch empfunden worden? Eine Suche im Netz nach  Null-durch-Null-Verschwinder liefert jedenfalls nur einen Treffer, und zwar das vorliegende Buch.

Endlich: Analysis!!

Nach diesem Ausflug in die Geschichte der Mathematik kommen die Autoren jetzt langsam zum eigentlichen Thema ihres Buchs. Auf S. 116 wird die  Intervallschachtelung erklärt, die man, so lernt der Leser auf S. 123, in der Schule zwar braucht, aber:

        Bereits in der Sekundarstufe I werden Intervallschachtelungen implizit  an vielen Stellen 
        benötigt. Deshalb müssen sie nicht im  Unterricht thematisiert werden, sie bilden aber
       ein notwendiges Hintergrundwissen für die Lehrkräfte.

So sieht der heutige Mathematikunterricht aus: gewisse Begriffe werden zwar ständig benötigt (Intervallschachtelung, Grenzwerte, Kombinatorik und Binomialkoeffizienten), müssen aber im Unterricht nicht thematisiert werden, denn sonst könnte sich ja Verständnis breitmachen. Stattdessen werden die wesentlichen Begriffe als "black boxes" verwendet, d.h. mit diesen unverstandenen Begriffen wird dann gezeigt, wie man die Mathematik anwendet (genauer: wie man sie anwenden würde, hätte man verstanden, worum es geht).

Die Intervallschachtelung nun, dieses wichtige Objekt, fast möchte man  sagen Modell, muss den Schülern nahegebracht werden; eine Möglichkeit  ist folgende:

         . . . Ein passendes Bild hiervon ist die Vorstellung der Intervallschachtelung als ``nicht 
        endende Klorolle'', auf der unendlich viele Intervalle stehen,  die aber nur ein Objekt 
       darstellt, nämlich die Zahl x. 

Und dann drücken wir das Knöpfchen.

Auf S. 128 lernt der Leser die Gefahren der Bruchrechnung kennen:

        Zusammen ergibt sich die Definition der Potenz mit einem rationalen Exponenten r. Diesen 
        stellt man als Bruch r = p/q mit ganzzahligem p und natürlichem q dar und definiert ar  [als
       die q-te Wurzel aus] ap. Was darf man für  a einsetzen? Einerseits sollen die Potenzgesetze 
      gelten, andererseits ist die Darstellung von r als Bruch nicht eindeutig. Orientieren wir uns an 
      einem Beispiel:
                        -2 = (-8)1/3 =(-8)2/6 = ((-8)2)1/6 = 641/6 = 2. 
       Jedes Gleichheitszeichen ist korrekt gesetzt, aber das Ergebnis ist  unsinnig, was an den 
      unterschiedlichen Bruchdarstellungen des Exponenten  liegt.

Wenn jedes Gleichheitszeichen korrekt gesetzt wäre, würde wohl nicht -2 = 2 rauskommen. Dass so etwas trotz korrekt gesetzter Gleichheitszeichen passieren kann, muss dann wohl an den unterschiedlichen Bruchdarstellungen des Exponenten liegen.

Tatsächlich hat die falsche Aussage  (-8)1/3 =(-8)2/6 nichts mit Bruchrechnung zu tun, sondern mit der Definition der Bedeutung gebrochener Hochzahlen,  nämlich damit, dass Quadrieren und Wurzelziehen nur auf den nichtnegativen Zahlen Umkehrfunktionen voneinander sind.

Nun taucht der Begriff Umkehrfunktion im Buch sehr oft auf, angefangen bei Wurzelfunktionen über den Logarithmus, ja sogar die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen werden betrachtet. Dies bedeutet aber nicht, um die Autoren zu zitieren, dass dieser Begriff im Buch thematisiert  werden muss. Die Definition der Umkehrfunktion wird auf Seite 59 im
"Funktionenbaukasten" so behandelt:

     4. Umkehrung: f  -1, f -1(f(x)) = x, wobei f -1 Umkehrfunktion heißt (sofern existent).

Das sind Situationen, bei denen ich von meinen Schülern "einen ganzen Satz, bitte!" verlange. Wer weiß, was eine Umkehrfunktion ist, kann ahnen, was die Autoren meinen. Ein Hinweis auf die Gefahren der Notation, etwa im Zusammenhang mit sin-1(x) = 1/sin (x)$, sucht man vergeblich.

Der eigentliche Kern des Buches, die Darstellung der elementaren Analysis, ist passabel, unterscheidet sich aber kaum von den Hunderten anderer solcher Darstellungen.


Sonntag, 27. November 2016

Wank, wanka, am wanksten

Ich hatte mir eigentlich vorgenommen, Wortspiele über den Nachnamen unserer Bildungsministerin zu vermeiden, vor allem, weil der Sache ja auch anatomische Grenzen gesetzt sind. Aber meine Vorsätze zerbröseln langsam.

Wankas Digitalpakt, den die Bloggerszene als die großartigste Idee seit Erfindung des Feuers feiert, verdient eine bessere Berichterstattung. Einige Fakten habe ich bei meinem ersten Kommentar ebenfalls übersehen.

  1. Hier kann man folgenden Satz zum geistigen Ursprung des Wankaschen Sprungs nach vorne lesen: Mein Freund Jörg Dräger hat mich überredet, mir mal Lernsoftware anzuschauen. Da gibt es wunderbare Programme. Wankas Feund Jörg Dräger  ist im Vorstand der Bertelsmann-Stiftung. Von 2001 bis 2008 war er Senator für Wissenschaft und Forschung der Freien und Hansestadt Hamburg, sowie Mitglied der Kultusministerkonferenz. Die Frage bleibt, warum man Wankas wunderbare Lernsoftware nicht auch schon jetzt (und zwar von zu Hause aus) gebrauchen kann. 
  2. Spiegel online zitiert einen IT-Manager mit dem Satz "Das Programm ist ein Fest für die Industrie". Als der Vorsitzende  des deutschen Lehrerverbands Kraus etwas Ähnliches sagte, wurde er dafür fast gekreuzigt, unter anderem von Professorin Eickelmann, die nicht mit Bertelsmann, sondern mit der Telekom verbandelt ist.
Selbst wenn man, wie etwa Herr Wolfgang Ksollin seinen Kommentaren versprüht, wie wenig Ahnung von der Tätigkeit eines Lehrers man doch hat, wäre es gut, vielleicht einmal darüber nachdenken, wieso gerade die großen digitalen Medienkonzerne Bertelsmann und Telekom aus dem Lobpreisen nicht mehr herauskommen und als einzigen Kritikpunkt die bescheidene Zahl von 5 Milliarden Euro nennen, die natürlich vorn und hintern (pun intended) nicht reicht.

Samstag, 26. November 2016

Wie man heute binomische Formeln unterrichtet - und warum

In einem bereits etwas älteren Artikel der RP erfährt man, wie man heute binomische Formeln unterrichtet.  


       Natürlich könne man sie einfach auswendig lernen, sagt Gunter Fischer, Schulleiter am 
       Clara-Schumann-Gymnasium in Viersen-Dülken. Man kann sie aber auch als Summe 
       sich ergänzender Rechtecke verstehen.
   
Eine wirklich erstaunliche Erkenntnis der modernen mathematikdidaktischen Forschung. Denn es ist ja nun nicht gerade so, als hätten das die Babylonier vor 4000 Jahren, Euklid in seinem 2. Buch um 300 v.Chr., die italienischen Algebraiker um Cardano im 16. Jahrhundert oder die Schulbücher aus den 1990er Jahren anders gemacht. Was kann man da als nächstes erwarten? Die Erfindung von Anführungszeichen zum Kenntlichmachen der direkten Rede vielleicht?

Wie man lesen kann, hat die Neuerfindung der Mathematik und die im Gegensatz zu anderen Schulen perfekt umgesetzte Philosophie der Kernlehrpläne so ihre Tücken: zwei Jahre später 
mault der Schulleiter jedenfalls, dass die Eltern allem Anschein nach zu doof seien, die Qualität dieser Schule zu erkennen, weil sie ihre Kinder lieber woanders hin schicken. Die Welt ist einfach ungerecht.

Vielleicht hat man in Viersen-Dülken aber einfach nur verschlafen, dass die Entwicklung des Unterrichts der binomischen Formeln vor 2 Jahren nicht aufgehört hat, und dass man derartige Dinge in der Lebenswelt der Schüler verankern muss, damit diese sich vom Sinn dieser Formeln überzeugen können. In den USA macht man das nämlich so:




FOIL ist dabei die First-Outer-Inner-Last-Methode zum Ausmultiplizieren zweier Summen wie in (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd. Den Text kann ich nicht ins Deutsche übersetzen oder kommentieren, ohne dem Wahnsinn anheim zu fallen, deswegen sei diese Aufgabe den Lesern überlassen. Dass das kein Ausrutscher ist, zeigt die Tatsache, dass auch andere Bücher diese geniale Umsetzung binomischer Formeln übernommen haben, und zwar mit dem gleichen bescheuerten Text, aber einem anderen Bild:



Freitag, 18. November 2016

Wo liegt denn Stalingrad?

Das fragte sich Jupp in einem Lied von BAP vor vielen Jahren - nicht, weil er es nicht wusste, sondern weil er es verdrängt hatte. Heute wäre diese Frage sinnlos, denn wer wissen will, wo Stalingrad liegt, kann es einfach nachgoogeln .Ob sich einem der Sinn des Liedes sofort erschließt, wenn man gelernt hat, dass es in der Sowjetunion lag und heute in Russland, sei dahingestellt.

And now for something completely different, wie es bei Monty Python immer hieß. Die Schwäbische Zeitung macht neuerdings regelmäßig Werbung für die digitale Revolution. Sie beginnt damit, den Präsidenten des Lehrerverbands Josef Kraus in die Dinosaurierecke zu stellen:

     "Mit seiner Meinung, dass Computer, Laptops und Tablets in Schulen kaum einen
      Mehrwert bringen, steht Josef Kraus ziemlich allein da"

kann man dort lesen. Das ist nicht die ganze Wahrheit, weil wir mindestens zu zweit sind. Inzwischen hat sich sogar die DMV dazugesellt, also die Vereinigung der deutschen Mathematiker. Ziemlich allein scheint jetzt nur noch Kevin zu sein, und der heißt heute Birgit Eickelmann. Frau Prof. Dr. phil. habil., wie sie mit voller Titelei (ich habe die t nachgezählt, sicher ist sicher) von der CDU-CSU Fraktion genannt wird, "kann diese Haltung nicht verstehen". Bei Schultafeln käme dieser Vorwurf ja auch nicht:

    "Diese Diskussion geht damit zu Lasten der jungen Generation und ist für mich nicht      
      nachvollziehbar", sagte sie der "Schwäbischen Zeitung".

Dass sie es nicht versteht, hatte sie ja bereits erwähnt, aber sicher ist sicher. Dass diese Diskussion zu Lasten der jungen Generation geht, ist wie die Einsamkeit um Herrn Kraus eine Behauptung, die durch keinerlei Fakten verunstaltet wird. Das wollen wir jetzt etwas ändern. Denn wie Jupp von BAP sind Frau Eickelmann gewisse Teile ihrer Vita "entfallen"; im Gegensatz zu einem Penner der 1980er hätten ihr aber die Segnungen der modernen Technik, die zu preisen sie nicht müde wird, zur Verfügung gestanden. Will heißen: sie hätte einfach in Netz nachsehen können, dass sie für ihren Einsatz digitaler Medien in Schulen von der Telekom bezahlt wird. Telekom? In welchem Land ist das?

Dass Frau Eickelmann an der Erhebung bzw. Auswertung zweier Studien beteiligt war, nämich an ICILS (2013) und an "Schule digital" (2015), wird im Artikel erwähnt, wohl um ihre Kompetenz in Sachen digitaler Bildung zu belegen. Die Sonderauswertung der ICILS durch Frau Prof. E. wurde
 von der Telekom in Auftrag gegeben, die zweite Studie von der Telekom bezahlt. Weiter hat Frau Prof. E. vergessen zu erwähnen, dass sie Mitautorin des von der Telekom bezahlten und für die Telekom geschriebenen Büchleins "Medienbildung entlang der Bildungskette" ist.

Ich vermute, dass diese Art der Prostitution in der akademischen Welt heute gang und gäbe ist bei allen, die ihren Professorenberuf für unterbezahlt halten. Auch dass eine Gruppe von mit Millionenbeträgen seitens TI gefütterten Didaktiker wie Hartwig Meissner und Bärbel Barzel jahrzehntelang das Hohe Lied der graphikfähigen Taschenrechner an Schulen gesungen haben ist nicht wirklich neu, jedenfalls nicht mir. Was neu ist ist die Chuzpe, die Diskussion über ein dahinterstehendes "a quoi bon" als eine Diskussion zu Lasten der armen Jugend von heute zu bezeichnen. Frech, dreist, und bodenlos unverschämt hätte ich das im vor-Trumpschen Zeitalter genannt.

    "In etlichen Bereichen rangiert der Südwesten im Ländervergleich im unteren Drittel", behauptet        Frau Eickelmann, "etwa bei der Frage, ob Lehrer glauben, dass Schüler dank Computer 
     besseren Zugang zu Informationsquellen bekommen". 

Ein Ländervergleich über eine Frage nach dem Glaubensbekenntnis von Lehrern? Geht's noch? Und nebenbei bemerkt, wenn man das Diagramm auf den Kopf stellt, dann sind wir im oberen Drittel. Wer legt denn hier fest, was oben ist? Ist der Glaube an das, was im Netz geschrieben ist, automatisch "oben"? Oder sollten Lehrer nicht auch wissen, dass man dank Computer auch Zugang zu verdammt miesen Informationsquellen hat? Trump, anyone?

Aber zum Glück gibt es hierzulande ja noch eine freie Presse. Die hat es allerdings versäumt, im allwissenden Internet nachzusehen, was die Frau Eickelmann so treibt, wenn sie nicht mit der Presse spricht.  Offenbar fehlte es hier nicht an einem Zugang zu besseren Informationsquellen, sondern an Wissen, wie und von wem hierzulande Bildungspolitik gemacht wird, sowie an einem gesunden Misstrauen gegenüber den Leuten, die unser Bildungssystem in den letzten 20 Jahren gegen die Wand gefahren haben. Aber wo soll das herkommen?

P.S. Meinen Leserbrief wollte die SZ nicht abdrucken.

Donnerstag, 3. November 2016

U'nd jetzt wird die Modellierung verändert . . .


Kritik an den schwachsinnig eingekleideten Abituraufgaben in Deutschland ist nicht wirklich neu. Neu ist, dass die letzten Abituraufgaben in  Baden-Württemberg, die nicht vom IQB stammen, allem Anschein nach von Leuten verfasst wurden, die den Kritikern dieses Aufgabenformats Munition liefern wollen. Dabei beginnt die Aufgabe A1 des Nachtermins 2016 wie alle andern auch: die Temperatur eines Dingsbums (ein Taschenwärmer, aber das tut nichts zur Sache) wird beschrieben von einer Funktion f, und es folgen Fragen nach dem Maximum, nach dem Zeitraum, in dem die Temperatur oberhalb  von 20o C liegt, und nach der größten Temperaturabnahme (gemeint ist die schnellste Temperaturabnahme, aber man muss die Fragen so stellen, dass Leute, die sich was dabei denken, ins Straucheln kommen). Auch die Fragen in Teil b) waren schon ein gefühltes Dutzend Mal dran: mittlere Temperatur und der rechnerische Nachweis, dass sich das Ding, nachdem die Temperatur maximal war, immer weiter abkühlt.

Inhaltlich ist auch Aufgabenteil c) eine Standardfrage, was diesen Nachtermin dann doch zum vermutlich einfachsten seit der Einführung von G8 macht. Eine Überraschung liefert dagegen die Formulierung:

Ab dem Zeitpunkt t=60 wird die Modellierung so verändert, dass die momentane Änderungsrate konstant bleibt.

Dann wird gefragt, wie sich die Realität durch die Modifikation des Modells ändert:

Wann hat der Taschenwärmer nach diesem Modell wieder die Umgebungstemperatur angenommen?

Ist das schon subversiv? Oder gibt man jetzt offen zu, dass die Modellierungsaufgaben nichts modellieren, also nur an den Haaren herbeigezogene Einkleidungen sind mit dem einzigen Zweck, das Fach Mathematik so lächerlich wie möglich erscheinen zu lassen?

Das IQB wird sich anstrengen müssen, um diesen Unsinn beim Abitur 2017 zu übertreffen. Ich hege allerdings nicht den geringsten Zweifel daran, dass ihm das gelingen wird.

Samstag, 15. Oktober 2016

Bigalke und die Katastrophe von Deli

Dass die heutigen Schulbücher für Mathematik zu den übelsten Druckerzeugnissen seit Gutenberg gehören, habe ich schon des hin und wiederen erwähnt. Ein Vorteil der Digitalisierung der Schulen durch Wanka wäre sicherlich, dass man künftig diese Bücher einfach wegwischen kann und sich stattdessen ein Video auf youtube reinzieht (etwa von - wenn er annimmt - Literaturnobelpreisträger Robert Zimmerman aka Bob Dylan; even the president of the United States sometimes has to stand naked - das sind Zeilen, die man nicht mehr aus dem Kopf bekommt, wenn dieser Präsident erst einmal Trump heißt). Vorläufig geht das allerdings noch nicht, und so werden Schüler, bis das goldene Zeitalter des goldenen Smartphone-Kalbs anbricht, noch mit Medien aus dem letzten Jahrtausend malträtiert.

Dabei ist die Referenz auf das letzte Jahrtausend auf die Form, nicht auf den Inhalt bezogen. Erstaunlicherweise ist ja der gymnasiale Mathematikunterricht just zu dem Zeitpunkt de facto abgeschafft worden, als die Gruppe um Herrn Barth in Bayern das mit Abstand beste Mathematiklehrwerk des letzten Jahrhunderts auf den Markt gebracht hatte: Algebra, Geometrie, Analysis, analytische Geometrie, mit phantastischen Aufgaben und fundierten historischen Beiträgen.

Keine 20 Jahre später haben wir Bücher, die zu gar nichts taugen: als Klopapier sind sie ebensowenig geeignet wie als Brennmaterial für kalte Winterabende. Der "Fortschritt" ist derselbe wie von der Glühbirne zur Energiesparlampe, nur dass jene erst dann zum Sondermüll werden, wenn sie nicht mehr tun. Ein besonderes Werk in dieser Hinsicht scheint das von Bigalke und Köhler herausgegebene Mathematikwerk für NRW zu sein, aus dem mir Alexander Röntgen zwei Seiten herauskopiert hat. Im Buch für Klasse 10 werden dort Potenzen mit rationalen Exponenten eingeführt. Auf den ersten Blick haben diese Seiten genauso gut (also genauso schlecht) ausgesehen wie die entsprechenden Seiten im Lambacher-Schweizer (oder was die neueren Autoren aus dieser Reihe gemacht haben). Bei näherem Hinsehen stellt sich aber heraus, dass es tatsächlich noch miserabler geht als dort.

Die Einführung rationaler Exponenten beginnt mit dem Geschichtchen über das Delische Problem der Würfelverdopplung. Mit diesem aus er Lebenswelt der Schüler gegriffenen Problem führen sich rationale Hochzahlen praktisch von alleine ein, und zwar so.

Beispiel: Lösung des Delischen Problems der Würfelverdopplung.
Ein Würfel hat die Kantenlänge a=1 und daher das Volumen 1. Wie groß müsste die Kantenlänge sein, damit der Würfel das doppelte Volumen hat? 

Schön. Bei mir haben Längen und Volumina, wenn sei aus einem realen Problem kommen, Einheiten, etwa Ellen. Aber sei's drum. Kümmern wir uns um die

Lösung:
Der Würfel mit der Kantenlänge a hat das Volumen V = a3. Bei der Verdopplung des Volumens muss also a3 = 2 gelten. Dies führt auf a  = ∛2 bzw. a=21/3.

Im Problem war a=1, in der Lösung ist plötzlich a3 = 2. Mich erinnert das an Humpty Dumpty aus Alice im Wunderland: "When I use a word", Humpty Dumpty said, in rather a scornful tone, "it means exactly what I choose it to mean - neither more nor less". Aber was machen Schüler, die Alice in wonderland nie gelesen haben?

Im letzten Satz führen sich, wie oben schon angemerkt, die rationalen Exponenten selbst ein - Deli sei Dank. Aber was bedeutet das bzw. zwischen a  = ∛2 und a=21/3 ? Dass beide Ausdrücke offensichtlich dasselbe sind? Schließen Schüler daraus, dass rationale Exponenten bereits eingeführt worden sind und sie es nur vergessen haben?

Schauen wir uns die Fortsetzung an:

Diese irrationale Zahl konnten die Delier nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren

Welche irrationale Zahl? ∛2 oder a=21/3 ? Die Delier kannten irrationale Zahlen gar nicht, weil diese erst in der Neuzeit erfunden worden sind. Und warum in aller Welt hätten die Delier diese Zahl, die sie nicht kannten, mit Zirkel und Lineal konstruieren wollen? Was kann sich ein Schüler, der von Didaktikern und Bildungsforschern um jegliche Geometrie betrogen worden ist, darunter vorstellen? Wie konstruiert man 2, wie √2 ? Welchen Sinn hat dieser Satz, wenn man als Schüler davon nichts weiß?

Diese irrationale Zahl konnten die Delier nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren, weil dies schlichtweg unmöglich ist.

Wie bitte? Weil es schlichtweg unmöglich ist? Jetzt könnte man Geschichte lebendig werden lassen mit Euklid, Gauß und Wantzel. Ich übersetze "schlichtweg" mit ""Scheiß auf den Inhalt, scheiß auf die Geschichte". Hat jemand was Besseres?

Diese irrationale Zahl konnten die Delier nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren, weil dies schlichtweg unmöglich ist. Allerdings wurde das Problem der Würfelverdopplung bereits in der Antike gelöst, z.B. durch die Darstellung der Schnittstelle der beiden Parabeln y = x2 und y2 = 2x.

Ist das Problem jetzt gelöst, obwohl es schlichtweg unmöglich ist? Und wie haben die Leute in der Antike die Schnittstelle  der beiden Parabeln im kartesischen Koordinatensystem bestimmt (die Zeichnung wird mitgeliefert), wo doch das kartesische Koordinatensystem erst vom französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes im 17. Jahrhundert eingeführt worden ist?

O je. Ich gehöre ganz bestimmt nicht zu denjenigen, die irgendetwas in der ehemaligen DDR nachtrauern. Aber im Lehrbuch Mathematik 10 der VEB von 1971 steht unter den Autoren "Prof. Hans Wußing - Historische Abschnitte". Man hat damals also einen (um nicht zu sagen "den") Fachmann für Geschichte der Mathematik verpflichtet. um dafür zu sorgen, dass die historischen Abschnitte im Lehrbuch Hand und Fuß haben.

Für die Verdopplung des Quadrats kommen die Autoren im Bigalke mit einem indischen Altar daher, anstatt mit Hilfe des Dialogs zwischen Sokrates und dem Sklaven des Menon zu klären, was Quadratverdopplung mit Zirkel und Lineal bedeutet, um den Schülern überhaupt eine Chance zu geben, diese Seite (53) auch nur ansatzweise zu verstehen.

Weiter im Text.

Wir betrachteten bisher nur Potenzen mit ganzzahlign Exponenten. Beim Delischen Problem trat als Lösung 21/3   auf., also eine Potenz, deren Exponent eine rationale Zahl ist.

Aufgetreten ist sie wohl, aber nur. weil sie jemand unmotiviert im Text versteckt hat. Und jetzt folgt die Aufgabe:

Bestimmen Sie den Wert der Potenz 21/2   mit Hilfe der Potenzrechengesetze.

Ich fürchte, die Autoren meinen das genauso, wie es dasteht. An keiner Stelle wird deutlich, ob die Autoren wissen, dass die Festlegung von a1/n   eine Definition und kein Satz ist, Offenbar haben diese Begriffe  in modernen Lehrbüchern keinen Platz mehr. Wie soll man das ganze denn dann nennen? Hier haben die Autoren eine glänzende Idee: man nennt die Tatsache, dass Potenzen mit rationalen Hochzahlen als Wurzeln interpretiert werden können, einfach eine "Konsequnz". Eine Konsequenz wovon? Scheiß drauf!

Es ist auf diesen beiden Seiten auch nicht einmal erwähnt, dass es vielleicht eine gute Idee wäre, die Grundzahl a bei solchen Sachen als positiv vorauszusetzen  Vielleicht kommt das ja, wie das zweite Loch der Dampfmaschine in der Feuerzangenbowle, etwas später. Wenn nicht als Voraussetzung, dann wenigstens als Konsequenz. Oder, in modernisierter  Interpunktion: Wenn nicht als Voraussetzung, dann wenigstens, als Konsequenz.

Wanka goes digital

Die Kurzversion der Bildungsoffensive am Ende von Wankas Dienstzeit: 5 Mrd Euro zur Digitalisierung der Schulen: smartphones, tablets, laptops und freies WLAN. Alle sind dafür, nur die ewiggestrigen Lehrer nicht.

Sabine Lennartz hat die Sache in der Schwäbischen Zeitung vom 13.10.2016 etwas ausgeschmückt.

Auch wenn sie wenig von Rankings hält, ist sich Wanka sicher, dass Deutschland nicht gerade einen der ersten Plätze in puncto Digitalisierung einnimmt.

Ich halte auch wenig von Rankings, und ich bin mir sicher, dass Deutschland nicht gerade  einen der ersten Plätze in puncto Heroinkonsum einnimmt. Aber warum sage ich das dann?

"Hier ist Klotzen richtig", kräht Frau Lennartz:

Doch richtig ist der Digitalpakt. Denn natürlich dürfen deutsche Schulen die Entwicklung nicht verschlafen - und auch deutsche Lehrer nicht.

Die deutschen Lehrer hätten womöglich auch die Mengenlehre in den 1970ern verschlafen, wenn man sie nicht rechtzeitig geweckt hätte.

Sie sind in einer Schlüsselfunktion für die Vermittlung moderner Lehrinhalte.

Das sind sie wohl. Gerne hätte man mehr über den Rest -also altmodische Lehrinhalte - erfahren.
Was sollen wir mit denen machen? Stattdessen kommt ein kleiner Schwenk:

Und da macht es schon sehr nachdenklich, dass ausgerechnet der Vorsitzende des Deutschen Lehrerverbandes, Josef Kraus meint. das Milliardenprogramm solle besser in die Sanierung der Gebäude fließen.

Der Behauptung, die Bemerkung mache sie nachdenklich, folgt leider nichts, was irgendwie an Nachdenken erinnert:

Sicher, Kraus ist wie alle jenseits von 55 Jahren kein "digital native". Er ist noch ohne Computer groß geworden, und viele Schulkinder sind ihm wohl in der digitalen Welt voraus.

Bei der ganzen Diskussion um Trump weiß man langsam nicht mehr, ob man zu Frauen noch Dumpfbacke sagen darf. Fangen wir mal ganz langsam an:

  • Die komplette digitale Welt, in der die vielen Schulkinder Herrn Kraus voraus sind, ist nicht im Jahre 2000 vom Himmel gefallen: Computer, Programmiersprachen, Betriebssysteme, Internet und vieles andere mehr wurde von Leuten entwickelt, die heute jenseits von 55 Jahren sind.
  • Was meine Person betrifft: ich habe auf der Schule Informatik gehabt, BASIC gelernt. später in Tübingen im ersten Semester mit Pascal und Lochkarten eine Univac programmiert, und habe später mit C, pari, sage, LaTeX und weiteren Programmen Bekanntschaft gemacht. Die Tatsache, Frau Lennartz, dass ich keine facebook-Freunde besitze, gibt Leuten wie ihnen nicht das Recht, öffentlich zu verbreiten, wir lebten irgendwo hinter dem Mond. Was Sie hier machen, ist einfach nur schäbig.

Doch in welchem Jahrhundert lebt der Lehrerverbandschef, wenn er digitale Bildung immer noch nicht für nötig hält?

Wenn Sie rechts oben auf die Seite der Schwäbischen Zeitung schauen, steht dort eine vierstellige Zahl, nämlich 2016. Davon nehmen sie die ersten beiden Ziffern und lassen sich von jemandem in der Redaktion 1 dazuaddieren, dann haben Sie das richtige Jahrhundert.

Natürlich muss der Schimmel von den Wänden in den Schulen. Doch genausowenig darf man die Lehrpläne Schimmel ansetzen lassen.

Dieser Satz krönt eine außerordentliche journalistische Leistung. Ich weiß nicht, wann Lehrpläne zu schimmeln beginnen, aber ich bin seit 8 Jahren Lehrer und erlebe inzwischen das dritte neue Lehrbuch für Mathematik in diesem Zeitraum. Und ich wünschte. ich könnte sagen, dass irgendetwas an den neuen Büchern besser ist als in den alten.

Wo wir schon bei Krönung sind: den Artikel ziert bas Bild einer Grundschullehrerin.

Diese schaut allem Anschein nach auf ihrem Tablet nach, wie man Quadrate (oder sollen es Kreise sein?) auf die Tafel malt. Es ist nicht auszudenken, was sie gemacht hätte, wenn sie in einem Jahrtausend geboren worden wäre, als es solche Hilfsmittel noch gar nicht gab.

Auch Fachleute werden interviewt, nämlich Professor Michael Henniger von der PH Weingarten, dort  Direktor der Zentrums für Lernen mit digitalen Medien, und zwar von Sarah Schababerle (der einzig positive Aspekt der ganzen Leserei: den Namen kannte ich noch nicht).

Dabei sind doch manche Schulgebäude sanierungsbedürftig. 
Die Infrastruktur auf der baulichen Ebene ist eine ganz andere Baustelle. Aus meiner Sicht geht es um die Zukunftsfähigkeit unserer Kinder, und da würde ich einen Schwerpunkt setzen. Die digitalen Inhalte sind wichtiger, als die baulichen Defizite in Schulgebäauden.

Eine ganz erstaunliche Antwort. Fangen wir hinten an: die Bewohner von Aleppo können sich glücklich schätzen: ein smartphone in der Hand ist besser als ein Haus, das einem unter dem eigenen Hintern weggebombt wird.

Ich weiß nicht, wann die deutschen Journalisten begonnen haben, vor jedem als ein Komma zu setzen. Es ist wohl schon eine Weile her; inzwischen heißt es zwar
I know more than you do
Je sai plus que toi
Yo se mas que tu
aber:
Ich weiß mehr, als du.
Es ist zum Verzweifeln. Das ganze erinnert an die Hanswurste von Fußballkommentatoren, die seit einigen Monaten ständig mit der Anzahl der überspielten Gegner kommen und meinen, das würde irgendetwas bedeuten. Wenn Mats Hummel bei jedem Ballkontakt den Ball über das ganze Spielfeld hinter die gegnerische Torauslinie drischt, überspielt er jedesmal 11 Gegner, wird aber vom Trainer vom Platz genommen. Zumindest heute noch - vermutlich sieht der Fußball in 5 Jahren ganz anders aus.

Zurück zu Professor Henniger. Ich weiß nicht, wie intelligent man sein muss um zu glauben, es sei für das Lernen wichtiger, ein digitales Spielzeug in der Hand zu halten als dass es auf den Schreibtisch tropft, wenn es regnet. Ich ahne aber, dass die Antwort darauf "eher wenig" heißt.

Zum Glück für die Leser der Schwäbischen Zeitung wurde Professor Henniger auch gefragt, wozu das alles gut sei:

Welche Chancen und Risiken bietet die digitale Infrastruktur?
Das Thema digitale Bildung hat sich in den letzten Jahren ziemlich abgenutzt. Es wurde unter dem Thema E-Learning malträtiert, und es ist immer weiter in den Hintergrund geraten. Aber es ist natürlich kein altes Thema. Wenn Sie die Stichworte Industrie 4.0 und die globalen Trends anschauen, dann ist es klar, dass sich Deutschland und sein Bildungssystem diesen Inhalten nicht verschließen können. Und ich glaube, dass durch diese Initiative das Thema auf der Agenda wieder weiter nach vorne rückt.

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe den Eindruck, dass Professor Henniger von der Frage
intellektuell überfordert war. Was hat sein Gestammel, man möge sich das Stichwort Industrie 4.0 anschauen, mit Chancen und Risiken der Digitalisierung der Schulen zu tun? Seine Antwort klingt in meinen Ohren wie die Persiflage einer Politikerrede von Loriot.

Inwiefern stellt das die Lehrer vor Herausforderungen?
Es ist nicht damit getan, dass Lehrer wissen, wie ein Tablet oder Facebook funktioniert. 

Was wollen uns, um mit Otto zu sprechen, diese Worte sagen? Dass Lehrer wissen müssen, wie ein Tablet oder Facebook funktioniert? Weil sie das cool macht? Weil der Unterricht besser wird? Weil die Schüler dann mehr lernen? Weil  jemand Professor Henniger eine Frage gestellt hat und jetzt eine Antwort hören will? Nein, nein, mein Freund:

Diese Inhalte sind so wichtig, dass sie m Lehrplan stehen müssen. Wir müssen unsere Lehrer mit diesen Inhalten auch systematisch qualifizieren. Im Moment geschieht da zu wenig.

"Diese Inhalte" hat der Herr Professor in den zwei Zeilen dazwischen nicht konkretisiert. Ist aber auch nicht so wichtig. Wichtig ist, dass diese unbekannten Inhalten in den Lehrplan müssen. Warum?
Ganz einfach: jede Publikation eines modernen Didaktikers endet mit dem Satz, dass noch viele Fragen offen sind und noch mehr Geld benötigt wird,um weitere Untersuchungen zu finanzieren. Professor Henniger will die Digitalisierung im Lehrplan, weil er dann über Heerscharen von qualifizierten Didaktikern gebieten kann, die den dummen Lehrern im Lande zeigen, wie ein Tablet oder Facebook funktioniert.

Die Lehrer dagegen freuen sich noch nicht auf den Unterricht von 30 Schülern, die im Unterricht mit laptops im Netz unterwegs sind. Angeblich könne dadurch der Unterricht etwas leiden. Die baden-württembergische Kultusministerin Susanne Eisenmann (CDU) widerspricht:

Sie widersprach, dass die Qulität des Unterrichts unter der Digitalisierung leide, wie Kritiker des Deutschen Lehrerbundes warnten.

Es tut gut, von Politikerinnen regiert zu werden, die einfach in die Zukunft blicken können und jetzt schon wissen, wie sich die Digitalisierung auf den Unterricht auswirkt, und das, ohne im ganzen Leben auch nur einmal an einer Schule unterrichtet zu haben.

Nun, in die Zukunft blicken kann ich auch:




"Das ist nicht die Zukunft!", sagen Sie? Da haben Sie auch wieder recht.

Selbstverständlich gibt es auch Lob, wenn jemand so viel Gutes tut: die Telekom Stiftung preist die Ankündigung als großen Schritt in die richtige Richtung, was den Laien erstaunt und den Fachmann wundert, würde sich doch die Telekom eine goldene Nase dabei verdienen.